Di Sessa Valentina

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Tesina di matematica

• Di Sessa Valentina
• Classe 5 c tur.

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INDICE

• Nastro di Moebius (cosè, come costruirlo e che
  proprietà ha)
• Il Nastro di Moebius e larte
• Linfinito
• Linfinito e larte
• Escher
• Limiti di funzione.

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• Le superfici "ordinarie", cioè quelle che
  capitano di solito sotto i nostri occhi, hanno
  due facce, e questo vale sia per le superfici
  chiuse (cioè prive di contorno), come la sfera,
  che per quelle aperte (cioè delimitate da curve),
  come un rettangolo. Questo significa che, per le
  superfici chiuse, è possibile colorare le due
  facce con colori diversi senza che ci sia alcun
  punto di incontro tra i due colori, per le
  superfici aperte che i due colori possono
  incontrarsi solo lungo i bordi. Esistono però
  alcune superfici con una sola faccia e anche un
  solo bordo l'esempio più classico è il nastro di
  Möbius, chiamato così in onore di A.F.Möbius
  (1790-1860), che per primo lo considerò nel 1858.
  

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• Come costruire un Nastro di Moebius   
• 1. Dato un rettangolo
• 2. Si ruota di mezzo giro una delle due estremità
  (ad esempio il lato indicato con A)

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• 3. Infine si incollano insieme le due estremità.

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• Alcune proprietà
• La proprietà caratteristica del Nastro di
  Moebius è che ha una sola faccia e un solo bordo
  (al contrario delle superfici che vediamo di
  solito, che hanno due "facce" o due "pagine").
• Per chiarire meglio questa affermazione
  consideriamo un cilindro se immaginiamo di
  camminare sulla faccia esterna del cilindro non
  possiamo sperare di arrivare sulla faccia interna
  senza attraversarne il bordo superiore e così,
  viceversa, se ci troviamo sulla superficie
  interna inoltre, se camminiamo sul bordo
  superiore, non possiamo mai arrivare sul bordo
  inferiore senza attraversare la superficie del
  cilindro.

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• Questo può invece accadere sul nastro di
  Moebius camminando sulla parte interna si arriva
  su quella esterna senza dover mai attraversare
  l'unico bordo del nastro.
• Possiamo fare un ulteriore esempio per capire
  meglio se consideriamo un rettangolo e
  immaginiamo di disporre una formica su una delle
  due facce e del cibo sull'altra, se provvediamo a
  spargere dell'insetticida lungo tutto il bordo,
  la formica non potrà mai raggiungere il cibo (a
  meno che non faccia un buco nel rettangolo!).
  Similmente se consideriamo una mosca fuori da una
  sfera di cristallo e del cibo posto all'interno
  della sfera stessa, la mosca non riuscirà mai a
  raggiungere il cibo. Considerando invece il
  Nastro di Moebius la nostra formica potrebbe
  raggiungere il cibo senza pericolo in qualunque
  posto del nastro si trovi.

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Una seconda proprietà consiste nel fatto che,
tagliando questa superficie lungo la linea
mediana, anziché ottenere due oggetti distinti,
come si potrebbe pensare, si ottiene un solo
nastro, anche se più lungo, a differenza di
quello che si ottiene se si tagliasse in due la
superficie cilindrica che si ha piegando il
quadrato nel modo "tradizionale", cioè senza
torsione.
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• É molto importante l'osservazione che il nastro
  di Möbius non si può incapsulare nel piano
  evitando intersezioni delle sue parti basta
  provare a costruire un modello di carta per poi
  schiacciarlo fino a farlo diventare piatto, si
  otterrà una figura del tipo rappresentato qui a 
  fianco. In ogni caso, anche se lo schiacciamento
  in due dimensioni del nastro produce una figura
  con parti che si sovrappongono, è comunque
  possibile, da questa rappresentazione
  bidimensionale, ricavare la proprietà essenziale
  della figura di essere ad una faccia basterà
  immaginare che anche la nostra formica che
  insegue il cibo sul nastro sia stata schiacciata
  (senza farle del male naturalmente!) fino a farla
  diventare un essere piatto.

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I nastri di Moebius e l'arte

• Max Bill, scultore di fama, costruì il primo
  nastro di Moebius per decorare un caminetto
  elettrico nel cercare una forma che salisse
  verso l'alto, ne ideò una che chiamò nastro
  infinito (in realtà già 80 anni prima il
  matematico Moebius aveva studiato la stessa
  superficie).
• I nastri di Moebius di Max Bill abbelliscono
  città, parchi, musei. Due esempi notevoli sono
•    il museo del Pompidou a Parigi
•    il parco di Anversa

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L'opera Immortality è un nastro di Moebius d'oro
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I nastri di Moebius hanno qui una funzione di
arredamento piccola tenda
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• Per i filosofi greci, Aristotele in testa, il
  concetto di infinito è inteso come ciò che non è
  compiuto, o come ciò che non ha limite. Il
  termine "infinito" non designa una realtà ma un
  processo, si chiama infinito quello che ha sempre
  qualcosa oltre a sé, si tratta in altre parole di
  una concezione "operativistica" dell'infinito.
  Esso è qualche cosa che noi costruiamo
  indefinitamente, ma non che esiste già come
  sistema dato di tutte le cose. Questo tipo di
  infinito, così come lo intendevano i greci, viene
  detto infinito potenziale, al quale si
  contrappone l'infinito attuale, cioè realmente
  esistente come tale in atto, introdotto
  successivamente nel neoplatonismo e poi entrato a
  far parte della tradizione teologica e filosofica
  cristiana. La "legittimità" del concetto di
  infinito attuale è, sul piano propriamente
  logico, una conquista recente dovuta
  essenzialmente ai lavori svolti da Dedekind, il
  quale nel 1872 dà la definizione di insieme
  infinito, e da Cantor, il quale qualche anno dopo
  si accorge che non tutti gli insiemi infiniti
  sono dello stesso tipo, introducendo la nozione
  di numero transfinito.
• Definizione di Cantor e Dedekind un insieme si
  dice infinito se è equipotente a qualche sua
  parte propria.

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Linfinito nellarte

• Lultima cena (1495-1497 ca. ), convento di
  Santa Maria delle Grazie a Milano

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• Leonardo da Vinci ( 1412-1519 ), pittore,
  scultore, scienziato ed inventore toscano,
  perfezionò ulteriormente questa tecnica,
  introducendo effetti incredibili, degni solo
  della sua mano dartista. Il più incredibile è
  leffetto ad infinitum, presente in celebri opere
  quali La Madonna delle rocce e Lultima cena. Il
  paesaggio sullo sfondo di entrambi i dipinti è
  composto da diverse catene di montagne che si
  susseguono ripetutamente. La bravura di Leonardo
  fu nel saper dipingere montagne sempre più
  piccole e lontane, con una minuziosità unica, in
  modo da creare leffetto dellinfinito.

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Vincent van Gogh, Vista di Vessenot vicino a
Auvers ( Francia del Nord )
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• Così il celebre pittore olandese Van Gogh (
  1853-1890 ) esclamò, nellatto di dipingere sulla
  sua tela le immense pianure della Francia
  settentrionale. Egli e molti altri, tra pittori,
  scrittori, filosofi, matematici ed esploratori,
  aspirarono sempre a raggiungere linfinito, ad
  assaporarne un poco della sua immensità. Alcuni,
  invece, provarono il sentimento opposto lebreo
  Martin Buber ( 1878-1995) scrisse addirittura di
  aver sfiorato il suicidio per la sua paura di
  fronte allinfinito. E linfinito acquista per
  ognuno una diversa raffigurazione per gli
  esploratori è il mare, i grandi deserti, le vaste
  pianure per altri, come il pittore Vasilij
  Kandinskij o il fisico John Tyndall o il
  musicista Gustav Mahler, linfinito è associato
  al silenzio, eterno e vuoto, e lo spagnolo Joan
  Mirò associò a questo perenne silenzio il blu,
  forse attingendo al colore del cielo.

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• Il concetto dinfinito è stato diverse volte
  motivo dispirazione per opere pittoriche e
  scultoree.
• La prospettiva in pittura non fu usata fin
  dallinizio. Nel Medioevo, le diverse figure in
  un quadro non rispettavano la prospettiva, quindi
  le più lontane più piccole delle più vicine, ma a
  seconda dellimportanza. La Madonna o Gesù erano
  dipinti più grandi rispetto agli angeli o agli
  altri personaggi del quadro. Con Giotto e poi con
  i pittori del XV sec., si sviluppò la vera e
  propria prospettiva dei paesaggi, ovvero si
  iniziò a raffigurare i paesaggi così come
  apparivano allocchio in modo più realistico
  possibile. Per dare prospettiva ad un quadro
  bisogna innanzitutto tracciare lorizzonte, detto
  pure retta allinfinito per il motivo che
  rappresenta lo spazio più lontano possibile,
  verso cui tutte le figure si rimpiccioliscono, e
  sullorizzonte, il cosiddetto punto di fuga. In
  questo punto particolare, che varia assieme
  allorizzonte a seconda del punto da cui si
  guarda il paesaggio, tutte le linee tendono a
  convergere, comprese due parallele. Ma se per
  definizione due parallele si incontrano solo
  allinfinito, allora quel punto rappresenta
  linfinito, che per uno che guarda un paesaggio
  molto esteso, si identifica con un punto.

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• Nastro di Moebius II, 1963M. C. Escher

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• Unopera interessante da citare è Nastro
  infinito ad anello II di Escher realizzato tra il
  1947 e il 1948.
• Questopera è costituita da un striscia
  metallica chiusa ad anello, ma caratterizzata da
  una sola faccia.
• In pratica, se si avesse una riproduzione in
  carta e si tracciasse con una matita una linea,
  partendo da un punto qualsiasi della superficie,
  si ritornerebbe al punto dopo aver percorso tutta
  la superficie possibile della figura.
• È un oggetto davvero affascinante e curioso per
  il fatto di avere una sola faccia, pur essendo
  costruito con una striscia a due facce!

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• Egli fu lartista che forse si dedicò più di
  tutti allinfinito. Maurits C. Escher nacque in
  Olanda nel 1898, la sua attività di grafico lo
  portò ad agire sul piano bidimensionale, ma fu da
  subito evidente il suo interesse per le
  caratteristiche della realtà tridimensionale,
  talmente forte da impegnarlo a ricercare mezzi
  espressivi adatti a sottomettere la forma
  spaziale alle leggi limitative dell'immagine
  piana.Sulle sue tele, raffigurò inizialmente
  paesaggi, in particolar modo, quelli luminosi del
  Mediterraneo.
• Tuttavia nel 1936, in seguito ad una visita
  allAlhambra di Granata in Spagna (il magnifico
  palazzo arabo del XIV sec.) , Escher rimase
  colpito dalle decorazioni minuziose della
  costruzione e da lì in poi le sue opere avrebbero
  acquistato un carattere più geometrico.

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Le sue opere posteriori si raggruppano in tre
serie, a seconda del tema trattato1. Cicli
infiniti. In questa serie, Escher è affascinato
dal continuo, dalla regolarità e dalla
periodicità. Nei quadri raffigura il nastro di
Möbius, oppure situazioni irreali con una
prospettiva ingannevole, in cui il corso
dellacqua o i gradini di una scala sembrano in
un percorso chiuso.
Salita e discesa
Cascata
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"Relatività"litografia cm 27,2x29,3
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• Anche ad esempio in questa "Relatività", del
  1953, ci vengono proposti da Escher tre diversi
  livelli di applicazione dello stesso paradosso
  tre mondi paralleli e separati coesistono
  all'interno di un edificio in cui sulle pareti,
  sul soffitto e sul pavimento si aprono finestre e
  porte da cui partono scale. Sedici figure umane
  si muovono nell'ambiente, suddivise in tre
  gruppi. Ciò che per un gruppo è il soffitto, per
  un altro gruppo è la parete, e ciò che per un
  gruppo è una finestra per un altro gruppo è
  un'apertura nel pavimento.Diverse realtà
  impossibili condividono un'impossibile
  convivenza.

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• 1. Divisione regolare del piano. In questa
  seconda serie il piano viene sezionato in parti
  uguali tantissime volte in modo da rendere lidea
  di ripetizione e di infinito. Labilità di Escher
  sta nel trovare geniali figure che si
  incastravano perfettamente tra loro, come cavalli
  alati bianchi e neri, lucertole o farfalle.

Lucertole
Farfalle
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• 1. Limiti. Molte delle opere di Escher,
  soprattutto quelle ad impronta apparentemente
  decorativistica, hanno in realtà alla base il
  concetto matematico dell'infinito. Ossessionato
  dal concetto di divisione regolare del piano,
  Escher studia ed inventa simmetrie di vario tipo,
  cercando di utilizzare questa divisione come
  mezzo per catturare e fermare il concetto di
  infinito, realizzando opere in cui la
  tassellatura può continuare indefinitamente,
  avendo come sfida finale il contenere l'infinito
  entro i confini di una sola pagina.Lultima seria
  include dipinti che ripropongono la scomposizione
  del piano in parti uguale come la serie
  precedente, ma questa volta le figure si
  rimpiccioliscono mano a mano o verso la
  circonferenza di un cerchio o verso linterno di
  una spirale. Leffetto ottico ricavato è di
  profondità e di infinitamente piccolo. Anche se
  Escher non si distinse mai in matematica, pare
  che i suoi quadri si ricollegassero a concetti
  matematici astratti.

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"Limite del cerchio III"
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• Ad esempio, nel suo Limite del cerchio III,
  sono rappresentati dei pesci stilizzati, tutti
  della stessa forma, ma che rimpiccioliscono mano
  a mano che si avvicinano al bordo esterno del
  cerchio, incastrandosi perfettamente l'uno
  nell'altro e costituendo essi stessi il limite
  del proprio "mondo".
• Limite del cerchio III è la raffigurazione
  artistica del modello di Poincarè, il quale fu
  lideatore di una geometria non-euclidea che si
  sviluppa sulla superficie di una sfera, anziché
  di un piano.

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LIMITI DI FUNZIONI

• Per limiti di una funzione y f (x), per x
  tendente ad un certo valore che indichiamo con x
  , si intende il valore che la funzione tende a
  raggiungere quando alla variabile indipendente x
  si attribuiscono valori che si avvicinano sempre
  di più a x .

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• Esempio pratico
• Lim 2x 6
• x -3 3 x
• Lim 2(x 3) 2
• x -3 3x

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• FONTI UTILIZZATE
• WWW.GUIDE.SUPEREVA.IT/ARTE_MODERNA
•  
• WWW2.POLITO.IT/DIDATTICA/POLYMATH
•  
• WWW.BATHMAN.IT/MATEMATICA/CURIOSITà/MOEBIUS.HTM
• WWW.VIALATTEA.NET/ESPERTI/MAT/INFINITO.HTM
• SCHEDE UTILIZZATE DURANTE LANNO SCOLASTICO