Cap

1
Capítulo 7

• Teoría de Colas

2
Objetivos del Capítulo

• La distribución Poisson y exponencial.
• Cumplimiento de las medidas de seguridad para los
  modelos M/M/k, M/G/1, M/M/k/F y M/M/1/m.
• Análisis económico de los sistemas de colas
• Balance de líneas de ensamble

3
7.1 Introducción

• Se estudian las filas de espera o colas.
• El objetivo del análisis de colas es diseñar un
  sistema que permita la organización óptima de
  acuerdo a alguno criterios.
• Criterios Posibles
• - Ganancia máxima
• - Nivel de atención de deseado

4

• El análisis de los sistemas de colas requiere de
  una comprensión de la medida del servicio
  apropiada.
• Posibles medidas del servicio
• - Tiempo promedio de atención de clientes
• - Largo promedio de la cola
• - La probabilidad de que un cliente que llega
  deba esperar en la cola para ser atendido.

5
7.2 Elementos del proceso de colas

• Un sistema de colas consta de tres componentes
  básicas
• - Quien llega El cliente que llega a la cola
  para ser atendido de acuerdo a un patrón de
  llegada.
• -El que espera en la cola El cliente que llega
  debe esperar en una o más colas por el servicio.
• -Servicio El cliente recibe el servicio y
  abandona el sistema.

6

• Proceso de llegada a la cola.
• - Existen 2 tipos de procesos de llegada
• Proceso de llegada deterministico.
• Proceso de llegada aleatoria.
• - El proceso aleatorio es más común en la
  empresa.
• - Bajo tres condiciones, una distribución
  Poisson puede describir el proceso aleatorio.

7

• Las tres condiciones necesarias para la
  existencia del proceso de llegada Poisson
• Continuidad Al menos un cliente debe llegar a
  la cola durante un intervalo de tiempo.
• Estacionario Para un intervalo de tiempo
  dado, la probabilidad de que llegue un cliente es
  la misma que para todos los intervalos de tiempo
  de la misma longitud.
• Independencia La llegada de un cliente no
  tiene influencia sobre la llegada de otro.
• - Estas condiciones no restringen el problema y
  son satisfechas en muchas situaciones.

8

• Distribución de llegada Poisson

Donde l esperanza de llegada de un cliente
por unidad de tiempo t intervalo de
tiempo. e 2.7182818 (base del logaritmo
natural). k! k (k -1) (k -2) (k -3) (3) (2)
(1).
9

• HARDWARE HANKS
• Un problema que ilustra la distribución Poisson.
• - Los clientes llegan a Hanks de acuerdo a una
  distribución Poisson.
• - Entre las 800 y las 900 a.m. llegan en
  promedio 6 clientes al local comercial.
• - Cuál es la probabilidad que k 0,1,2...
  clientes lleguen entre las 800 y las 830 de la
  mañana?

10
SOLUCION
0
0
0
0

• Valores de entrada para la Dist. Poisson
• l 6 clientes por hora.
• t 0.5 horas.
• l t (6)(0.5) 3.

0
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
0
2
3
0

1
0.049787
0.149361
0.224042
0.224042
2
3
0!
1!
2!
3!
11

• La fila de espera.
• - Factores que influyen en el modelo de colas
• Configuración de la fila
• Tramposos
• Contrariedades
• Prioridades
• Colas Tendem
• Homogeneidad.

12

• - Configuración de la fila
• Una sola cola de servicio
• Múltiples colas de servicio con una sola fila
  de espera
• Múltiples colas de servicio con múltiples
  filas de espera.
• Colas Tendem (sistema de servicios múltiples)
• - Tramposos
• Corresponden a clientes que se mueven a través
  de la cola sin seguir los criterios de avance.
• - Contrariedades
• Ocurre cuando los clientes evitan llegar a la
  fila porque perciben que esta es demasiada larga.
  

13

• - Reglas de prioridad
• Las reglas de prioridad definen la disciplina
  en la fila.
• Estas reglas seleccionan el próximo cliente
  en ser atendido
• Criterios de selección comúnmente usados
• - Primero en entrar primero en salir (FCFS).
• - Ultimo en entrar primero en salir (LCFS).
• - Tiempo estimado de atención
• - Atención de clientes aleatoria.
• - Homogeneidad
• Una población homogénea de clientes es
  aquella en la cual los clientes requieren
  esencialmente el mismo servicio.
• Una población no homogénea es aquella en la
  cual los clientes pueden ser ordenados de acuerdo
  
• A los patrones de llegada
• Al tipo de servicio requerido.

14

• El proceso de servicio
• - Alguno sistemas de servicio requieren de un
  tiempo de atención fijo.
• - Sin embargo, en muchos casos, el tiempo de
  atención varía de acuerdo a la cantidad de
  clientes.
• - Cuando el tiempo de atención varía, este se
  trata como una variable aleatoria.
• - La distribución exponencial es usada, en
  algunos casos, para modelar el tiempo de atención
  del cliente.

15

• Distribución exponencial del tiempo de atención

donde m es el número de clientes promedio
que pueden ser atendidos por período de tiempo.
16
Ilustración esquemática de la distribución
exponencial
f(X)
Probabilidad de que la atención sea
completada dentro de t unidades de tiempo
X t
17
7.3 Medida del performance de los sistemas de
colas

• El performance puede ser medido concentrandose
  en
• - Los clientes en la cola
• - Los clientes en el sistema
• Los períodos transitorios y estáticos complican
  el análisis del tiempo de atención.

18

• Un período transitorio ocurre al inicio de la
  operación.
• - Un comportamiento transitorio inicial no es
  indicado para un largo período de ejecución.
• Un período estacionario sigue al período
  transitorio.
• - En un período estacionario , la probabilidad
  de tener n clientes en el sistema no cambia a
  medida que transcurre el tiempo.
• - De acuerdo a lo anterior, la tasa de llegada
  puede ser menor que suma de las tasas de atención
  efectiva.
• llt m llt m1 m2mk
  llt km
• Para un servidor Para k servidores Para k
  servidores con tasa se serv. m
• cada uno

19

• Medida del performance en períodos
  estacionarios.
• P0 Probabilidad de que no existan clientes en
  el sist.
• Pn Probabilidad de que existan n clientes en
  el sistema.
• L número de clientes promedio en el sistema.
• Lq número de clientes promedio en la cola.
• W Tiempo promedio de permanencia de un
  cliente en el sistema.
• Wq Tiempo promedio de permanencia de un
  cliente en la cola.
• Pw Probabilidad de que un cliente que llega
  deba esperar para ser atendido.
• r Tasa de uso de cada servidor (porcentaje
  del tiempo que cada servidor es ocupado).

20

• Formulas
• - Las fórmulas representan las relaciones entre
  L, Lq, W, y Wq.
• - Estas fórmulas se aplican a sistemas que
  cumplen con las siguientes condiciones
• Sistemas de colas simples
• Los clientes llegan según una tasa finita de
  llegada
• El sistema opera bajo las condiciones de
  períodos estacionarios.
• L l W Lq l Wq L Lq l / m
• Para el caso de una población infinita.

21

• Clasificación de las colas.
• - Los sistemas de colas pueden ser clasificados
  por
• Proceso de llegada de clientes
• Proceso de atención
• Número de servidores
• Tamaño (lineas de espera finitas/infinitas)
• Tamaño de la población
• - Notación
• M (Markovian) Proceso de llegada Poisson o
  tiempo de atención exponencial.
• D (Determinístico) Tasa constante de llegada
  o de atención
• G (General) Probabilidad general de
  llegada o de atención

Ejempo M / M / 6 / 10 / 20
22
7.4 Sistema de colas M/M/1

• Características
• - Proceso de llegada Poisson.
• - El tiempo de atención se distribuye
  exponencialmente
• - Existe un solo servidor
• - Cola de capacidad infinita
• - Población infinita.

23

• Medidas del Performance para la cola M / M
  /1
• P0 1- (l / m)
• Pn 1 - (l / m) (l/ m)n
• L l / (m - l)
• Lq l 2 / m(m - l)
• W 1 / (m - l)
• Wq l / m(m - l)
• Pw l / m
• r l / m

La probabilidad de que un cliente espere en el
sistema más de t es P(Xgtt) e-(m - l)t
24

• Zapatería Marys
• Los clientes que llegan a la zapatería Marys son
  en promedio 12 por minuto, de acuerdo a la
  distribución Poisson.
• El tiempo de atención se distribuye
  exponencialmente con un promedio de 8 minutos por
  cliente.
• La gerencia esta interesada en determinar las
  medidas de performance para este servicio.

25
SOLUCION

• Datos de entrada
• l 1/ 12 clientes por minuto 60/ 12 5 por
  hora.
• m 1/ 8 clientes por minuto 60/ 8 7.5
  por hora.
• Calculo del performance

P0 1- (l / m) 1 - (5 / 7.5) 0.3333 Pn 1
- (l / m) (l/ m) (0.3333)(0.6667)n
L l / (m
- l) 2 Lq l2/ m(m - l) 1.3333 W 1 /
(m - l) 0.4 horas 24 minutos Wq l / m(m -
l) 0.26667 horas 16 minutos
26
Datos de entrada para WINQSB
27
Medidas de performance
Medidas de performance
Medidas de performance
Medidas de performance
Medidas de performance
28
(No Transcript)
29
7.5 Sistema de cola M/M/k

• Características
• - Clientes llegan de acuerdo a una distribución
  Poisson con una esperanza l.
• - El tiempo de atención se distribuye
  exponencialmente.
• - Existen k servidores, cada uno atiende a una
  tasa de m clientes.
• - Existe una población infinita y la posibilidad
  de infinitas filas.

30

• Medidas de performance

Para nlt k
Para n gt k
31
Las medidas del performance L, Lq, Wq,, pueden
ser obtenidas por las formulas.
32

• OFICINA POSTAL TOWN
• La oficina postal Town atiende público los
  Sábados entre las 900 a.m. y la 100 p.m.
• Datos
• - En promedio, 100 clientes por hora visitan la
  oficina postal durante este período. La oficina
  tiene tres dependientes.
• - Cada atención dura 1.5 minutos en promedio.
• - La distribución Poisson y exponencial
  describen la llegada de los clientes y el proceso
  de atención de estos respectivamente.

• La gerencia desea conocer las medidas relevantes
  al servicio en orden a
• La evaluación del nivel de servicio prestado.
• El efecto de reducir el personal en un
  dependiente.

33

• SOLUCION
• Se trata de un sistema de colas M / M / 3 .
• Datos de entrada
• l 100 clientes por hora.
• m 40 clientes por hora (60 / 1.5).
• Existe un período estacionario (l lt km )?
• l 100 lt km 3(40) 120.

34
(No Transcript)
35
(No Transcript)
36
7.6 Sistemas de colas M/G/1

• Supuestos
• - Los clientes llegan de acuerdo a un proceso
  Poisson con esperanza l.
• - El tiempo de atención tiene una distribución
  general con esperanza m.
• - Existe un solo servidor.
• - Se cuenta con una población infinita y la
  posibilidad de infinitas filas.

37

• Formula para L de Pollaczek - Khintchine.
• - Nota No es necesario conocer la distribución
  particular del tiempo de atención. Solo la
  esperanza y la desviación estándar
• son necesarias.

38

• TALLER DE REPARACIONES TED
• Ted repara televisores y videograbadores.
• Datos
• - El tiempo promedio para reparar uno de estos
  artefactos es de 2.25 horas.
• - La desviación estándar del tiempo de
  reparación es de 45 minutos.
• - Los clientes llegan a la tienda en promedio
  cada 2.5 horas, de acuerdo a una distribución
  Poisson.
• - Ted trabaja 9 horas diarias y no tiene
  ayudantes.
• - El compra todos los repuestos necesarios.
• En promedio, el tiempo de reparación esperado
  debería ser de 2 horas.
• La desviación estándar esperada debería ser
  de 40 minutos.

39
Ted desea conocer los efectos de usar nuevos
equipos para 1. Mejorar el tiempo promedio de
reparación de los artefactos 2. Mejorar el
tiempo promedio que debe esperar un cliente
hasta que su artefacto sea reparado.
40

• SOLUCION
• Se trata de un sistema M/G/1 (el tiempo de
  atención no es exponencial pues s 1/m).
• Datos
• Con el sistema antiguo (sin los nuevos equipos)
• l 1/ 2.5 0.4 clientes por hora.
• m 1/ 2.25 0.4444 clientes por hora.
• s 45/ 60 0.75 horas.
• Con el nuevo sistema (con los nuevos equipos)
• m 1/2 0.5 clientes por hora.
• s 40/ 60 0.6667 horas.

41
7.7 Sistemas de colas M/M/k/F

• Se deben asignar muchas colas, cada una de un
  cierto tamaño límite.
• Cuando una cola es demasiado larga, un modelo de
  cola infinito entrega un resultado exacto,
  aunquede todas formas la cola debe ser limitada.
• Cuando una cola es demasiado pequeña, se debe
  estimar un límite para la fila en el modelo.

42

• Características del sistema M/M/k/F
• - La llegada de los clientes obedece a una
  distribución Poisson con una esperanza l.
• - Existen k servidores, para cada uno el tiempo
  de atención se distribuye exponencialmente, con
  esperanza m.
• - El número máximo de clientes que puede estar
  presente en el sistema en un tiempo dado es F.
• - Los clientes son rechazados si el sistema se
  encuentra completo.

43

• Tasa de llegada efectiva.
• - Un cliente es rechazado si el sistema se
  encuentra completo.
• - La probabilidad de que el sistema se complete
  es PF.
• - La tasa efectiva de llegada la tasa de
  abandono de clientes en el sistema (le).

44

• COMPAÑÍA DE TECHADOS RYAN
• Ryan atiende a sus clientes, los cuales llaman
  ordenan su servicio.
• Datos
• - Una secretaria recibe las llamadas desde 3
  líneas telefónicas.
• - Cada llamada telefónica toma tres minutos en
  promedio
• - En promedio, diez clientes llaman a la
  compañía cada hora.

45

• Cuando una línea telefónica esta disponible, pero
  la secretaria esta ocupada atendiendo otra
  llamada,el cliente debe esperar en línea hasta
  que la secretaria este disponible.
• Cuando todas las líneas están ocupadas los
  clientes optan por llamar a la competencia.
• El proceso de llegada de clientes tiene una
  distribución Poisson, y el proceso de atención se
  distribuye exponencialmente.

46

• La gerencia desea diseñar el siguiente sistema
  con
• - La menor cantidad de líneas necesarias.
• - A lo más el 2 de las llamadas encuentren
  las líneas ocupadas.
• La gerencia esta interesada en la siguiente
  información
• El porcentaje de tiempo en que la secretaria
  esta ocupada.
• EL número promedio de clientes que están es
  espera.
• El tiempo promedio que los clientes permanecen
  en línea esperando ser atendidos.
• El porcentaje actual de llamadas que encuentran
  las líneas ocupadas.

47

• SOLUCION

• Se trata de un sistema M / M / 1 / 3
• Datos de entrada
• l 10 por hora.
• m 20 por hora (1/ 3 por minuto).
• WINQSB entrega
• P0 0.533, P1 0.133, P3 0.06
• 6.7 de los clientes encuentran las líneas
  ocupadas.
• Esto es alrededor de la meta del 2.

sistema M / M / 1 / 4
sistema M / M / 1 / 5
P0 0.508, P1 0.254, P2 0.127, P3 0.063,
P4 0.032 P5 0.016 1.6 de los
cltes. encuentran las linea ocupadas La meta
del 2 puede ser alcanzada.
P0 0.516, P1 0.258, P2 0.129, P3 0.065,
P4 0.032 3.2 de los clntes. encuentran
las líneas ocupadas Aún se puede alcanzar la
meta del 2
48

• Otros resultados de WINQSB

Datos de entrada para WINQSB
49
(No Transcript)
50
7.8 Sistemas de colas M/M/1//m

• En este sistema el número de clientes potenciales
  es finito y relativamente pequeño.
• Como resultado, el número de clientes que se
  encuentran en el sistema corresponde a la tasa de
  llegada de clientes.
• Características
• - Un solo servidor
• - Tiempo de atención exponencial y proceso de
  llegada Poisson.
• - El tamaño de la población es de m clientes (m
  finito).

51

• CASAS PACESETTER
• Casas Pacesetter se encuentra desarrollando
  cuatro proyectos.
• Datos
• - Una obstrucción en las obras ocurre en
  promedio cada 20 días de trabajo en cada sitio.
• - Esto toma 2 días en promedio para resolver el
  problema.
• - Cada problema es resuelto por le V.P. para
  construcción
• Cuanto tiempo en promedio un sitio no se
  encuentra operativo?
• -Con 2 días para resolver el problema
  (situación actual)
• -Con 1.875 días para resolver el problema
  (situación nueva).

52

• SOLUCION
• Se trata de un sistema M/M/1//4
• Los cuatro sitios son los cuatro clientes
• El V.P. para construcción puede ser considerado
  como el servidor.
• Datos de entrada
• l 0.05 (1/ 20)
• m 0.5 (1/ 2 usiando el actual V.P).
• m 0.533 (1/1.875 usando el nuevo V.P).

53
Resultados obtenidos por WINQSB
54
7.9 Análisis económico de los sistemas de colas

• Las medidas de performance anteriores son usadas
  para determinar los costos mínimos del sistema de
  colas.
• El procedimiento requiere estimar los costos
  tales como
• - Costo de horas de trabajo por servidor
• - Costo del grado de satisfacción del cliente
  que espera en la cola.
• -Costo del grado de satisfacción de un cliente
  que es atendido.

55

• SERVICIO TELEFONICO DE WILSON FOODS
• Wilson Foods tiene un línea 800 para responder
  las consultas de sus clientes
• Datos
• - En promedio se reciben 225 llamadas por hora.
• - Una llamada toma aproximadamente 1.5 minutos.
• - Un cliente debe esperar en línea a lo más 3
  minutos.
• -A un representante que atiende a un cliente se
  le paga 16 por hora.
• -Wilson paga a la compañía telefónica 0.18 por
  minuto cuando el cliente espera en línea o esta
  siendo atendido.
• - El costo del grado de satisfacción de un
  cliente que espera en línea es de 20 por minuto.
• -El costo del grado de satisfacción de un
  cliente que es atendido es de 0.05.

Que cantidad de representantes para la atención
de los clientes deben ser usados para
minimizar el costo de las horas de operación?
56
SOLUCION

• Costo total del modelo

Costo total del grado de satisfacción de los
clientes que permanecen en línea
Total horas para sueldo
Costo total de las llamadas telefónicas
Costo total del grado de satisfacción de los
clientes que son atendidos
57

• Datos de entrada
• Cw 16
• Ct 10.80 por hora 0.18(60)
• gw 12 por hora 0.20(60)
• gs 0.05 por hora 0.05(60)
• Costo total del promedio de horas
• TC(K) 16K (10.83)L (12 - 3)Lq
• 16K 13.8L 9Lq

58

• Asumiendo una distribución de llegada de los
  clientes Poisson y una distribución exponencial
  del tiempo de atención, se tiene un sistema M/M/K
• l 225 llamadas por hora.
• m 40 por hora (60/ 1.5).
• El valor mínimo posible para k es 6 de forma de
  asegurar que exista un período estacionario
  (lltKm).
• WINQSB puede ser usado para generar los
  resultados de L, Lq, y Wq.

59

• En resumen los resultados para K 6,7,8,9,10.

Conclusión se deben emplear 8 rep para la
atención de clientes
60
7.10 Sistemas de colas Tandem

• En un sistema de colas Tandem un cliente debe
  visitar diversos servidores antes de completar el
  servicio requerido
• Se utiliza para casos en los cueles el cliente
  llega de acuerdo al proceso Poisson y el tiempo
  de atención se distribuye exponencialmente en
  cada estación.

Tiempo promedio total en el sistema suma de
todos los tiempo promedios en las estaciones
individuales
61

• COMPAÑÍA DE SONIDO BIG BOYS
• Big Boys vende productos de audio.
• El proceso de venta es el siguiente
• - Un cliente realiza su orden con el vendedor.
• - El cliente se dirige a la caja para vcancelar
  su pedido.
• - Después de pagar, el cliente debe dirigirse al
  empaque para obtener su producto.

62

• Datos de la venta de un Sábado normal
• - Personal
• 8 vendedores contando el jefe
• 3 cajeras
• 2 trabajadores de empaque.
• - Tiempo promedio de atención
• El tiempo promedio que un vendedor esta con
  un cliente es de 10 minutos.
• El tiempo promedio requerido para el proceso
  de pago es de 3 minutos.
• El tiempo promedio en el área de empaque es
  de 2 minutos.
• -Distribución
• El tiempo de atención en cada estación se
  distribuye exponencialmente.
• La tasa de llegada tiene una distribución
  Poisson de 40 clientes por hora.

Cuál es la cantidad promedio de tiempo , que un
cliente que viene a comprar demora en el local?
Solomante 75 de los clientes que llegan hacen
una compra
63
SOLUCION

• Estas son las tres estaciones del sistema de
  colas Tandem

M / M / 2
M / M / 3
l 30
M / M / 8
l 30
l 40
2.67 minutos
W2 3.47 minutos
Total 20.14 minutos.
W1 14 minutos
64
7.11 Balance de líneas de ensamble

• Una línea de ensamble puede ser vista como una
  cola Tande, porque los productos deben visitar
  diversas estaciones de trabajo de una secuencia
  dada.
• En una línea de ensamble balanceada el tiempo
  ocupado en cada una de las diferentes estaciones
  de trabajo es el mismo.
• El objetivo es maximizar la producción

65

• COMPAÑÍA DE MAQUINAS Mc MURRAY
• Mc Murray fabrica cortadoras de césped y
  barredoras de nieve.
• La operación de ensamble de una cortadora consta
  de 4 estaciones de trabajo.
• El tiempo máximo en cada estación de trabajo es
  de 4 minutos. De este modo, el número máximo de
  cortadoras que pueden ser producidas es de 15 por
  hora.
• La gerencia desea incrementar la productividad
  mejorando el balance de las líneas de ensamble.

66

• Datos
• La operación completa toma 12 minutos
• La estación 2 es una

67

• SOLUCION
• Existen diversas opciones de balance para las
  líneas de ensamble.
• - Probar con un esquema de operaciones que ocupe
  el total de los 3 minutos asignados a cada
  estación de trabajo.
• - Asignar trabajadores ala estación de trabajo
  de manera tal de balancear la salidas de la
  estación
• - Asignar múltiples estaciones de trabajo para
  ejecutar cada una de las operaciones.

68

• -Usar técnicas de optimización, para minimizar
  la cantidad de tiempo ocioso de las estaciones
  de trabajo.
• - Usar heurísticas tales como Técnica de
  clasificación de posiciones según el peso para
  encontrar el menor número de estaciones de
  trabajo necesarias para satisfacer las
  especificaciones del ciclo de tiempo.

69

• Técnica de clasificación de posiciones según el
  peso.
• 1. Para cada tarea encuentre le tiempo total
  para todas las tareas de las cuales esta es un
  predecesor.
• 2. Clasifique las tareas en orden descendiente
  según el tiempo total.
• 3. Considere la estación de trabajo 1 como la
  estación actual.
• 4. Asigne las tareas ubicadas en los lugares
  inferiores de la clasificación si cumplen con las
  siguientes condiciones
• La tarea no ha sido asignada anteriormente.
• El tiempo de la estación actual no excede el
  tiempo deseado para el ciclo.
• 5. Si la segunda condición del paso 4 no se
  cumple, designe una nueva estación como la
  estación actual, y asigne tareas a esta.
• 6. Repita el paso 4 hasta que todas las tareas
  hayan sido asignadas a alguna estación de trabajo.

70

• Mc Murray - Continuación
• La demanda por las cortadoras de césped ha
  subido, y como consecuencia el ciclo de tiempo
  programado debe ser menor que los 3 minutos
  programados.
• Mc Murray desea balancear la línea usando la
  menor cantidad de estaciones de trabajo.

71

• Datos
• Tareas que se requieren para fabricar una
  cortadora de césped

72
SOLUCION
73

• Pasos 1 y 2
• Tareas seleccionadas según clasificación

74

• Paso 3 y 4
• Diseñado por Rubén Soto T. Diciembre de 1998.

Ciclo de tiempo actual 170. Este se debe
reducir a 160, moviendo K de la estac. 4 a la
estación 5.