Title: E
1DefinizioniFluido
- E un corpo materiale che può subire grandi
variazioni di forma sotto lazione di forze
comunque piccole che tendono a diventare
trascurabili quando la velocità di deformazione
tende ad annullarsi - Un fluido non resiste ad apprezzabili sforzi di
trazione
In particolare, i fluidi possono essere distinti
in due grandi classi
LIQUIDI Oppongono grande resistenza alle
variazioni di volume (poco comprimibili) GAS Forz
e di modesta entità ne modificano il volume
(molto comprimibili)
2Definizioni
- Grandezze fondamentali per descrivere il
comportamento di un fluido sono - lunghezza (nel S.I. si misura in metri)
- massa (nel S.I. si misura in chilogrammi)
- tempo (nel S.I. si misura in secondi)
3Caratteristiche dei fluidi
- DENSITA r
- misura la massa dellunità di volume. Nel S.I. si
misura in kg/m3 - Per lacqua r vale circa 1000 kg/m3
- PESO SPECIFICO g
- misura il peso dellunità di volume. Si misura in
N/m3 - densità e peso specifico sono legati dalla
relazione - dove g è laccelerazione di gravità.
- Per lacqua g vale 9806 N/m3
4Caratteristiche dei fluidi
VISCOSITA misura gli attriti interni di un
fluido. In particolare caratterizza il
comportamento di un fluido nei confronti delle
resistenze che si oppongono al moto. Si
distingue una viscosità dinamica m, che si misura
in Ns/m2, da una viscosità cinematica n, pari a
n m/r che si misura in m2/s. Per lacqua n vale
circa 10-6 m2/s. Landamento della viscosità in
funzione della velocità di deformazione consente
di distinguere i fluidi newtoniani da quelli non
newtoniani. Per un fluido newtoniano la
relazione che lega gli sforzi t ai gradienti di
velocità (e alle velocità di deformazione) è
lineare
5Natura delle forze agenti su un fluido
FORZE DI MASSA F Sono forze che agiscono a
distanza su tutte le particelle del sistema,
proporzionalmente alla loro massa. Fra queste si
ricorda la forza di gravità, alla quale
corrisponde il peso G della massa fluida
considerata. FORZE DI SUPERFICIE P Sono forze
che vengono esercitate su parte del sistema
attraverso una superficie di contorno A. Quando
la superficie di contorno tende a zero il
rapporto tra la forza agente sulla superficie e
la superficie stessa tende ad un valore finito F,
detto sforzo. Lo sforzo dipende dalla posizione
del punto considerato e dalla giacitura. La
forza elementare agente sullarea dA si ricava
quindi come dPFndA dove il pedice n rappresenta
il versore normale allelemento dA.
6Statica dei fluidi pesanti incomprimibili legge
di Stevino
- z rappresenta la quota alla quale si trova il
punto considerato, viene detta quota geodetica. - p/g è anchessa dimensionalmente una lunghezza,
rappresenta laltezza corrispondente alla
pressione in quel punto e viene detta altezza
piezometrica. - La somma zp/g è detta quota piezometrica ed in
virtù della legge di Stevino è costante in tutti
i punti di un fluido in quiete.
7Statica dei fluidi pesanti incomprimibili legge
di Stevino
- Ad esempio dati due punti A e B si ricava
- che consente, nota la quota piezometrica in un
punto qualsiasi dellammasso fluido, di ricavare
la pressione in ogni altro punto.
8Statica dei fluidi pesanti incomprimibili legge
di Stevino
- Poiché nella maggior parte dei casi pratici
interessa non tanto la pressione bensì la
differenza tra la pressione e la pressione
atmosferica, usualmente si fa riferimento a tale
differenza denotandola come pressione relativa
per contro la pressione viene denominata
pressione assoluta. Si indica - pppatm
- dove si è indicato con p il valore della
pressione assoluta e con p quello della pressione
relativa.
9Statica dei fluidi pesanti incomprimibili legge
di Stevino
- Si dice piano dei carichi idrostatici assoluto il
piano orizzontale sul quale la pressione assoluta
è nulla. - Si dice piano dei carichi idrostatici relativo il
piano orizzontale sul quale la pressione relativa
è nulla, ovvero la pressione assoluta uguaglia la
pressione atmosferica. - Una applicazione molto importante della legge di
Stevino è rappresentata dalla misura della
pressione attraverso piezometri, manometri
semplici, manometri differenziali e manometri
metallici.
10CINEMATICA DEI FLUIDI
- Caratteristiche del campo di moto
- Velocità vv(u,v,w)dx/dt
- Accelerazione Adv/dt
- Vorticità wrot v
- Traiettoria
- Luogo dei punti successivamente occupati dalle
particelle fluide in moto - Linea di corrente o di flusso
- Curva tangente in ogni punto al vettore velocità
in quel punto - Linea di emissione o di fumo
- Luogo dei punti occupati al generico istante da
tutte le particelle transitate precedentemente da
un prefissato punto del campo di moto
11CINEMATICA DEI FLUIDI
- Se si considera una linea chiusa non coincidente
con una linea di corrente e tutte le linee di
corrente che passano per tutti i punti della
linea chiusa otteniamo un tubo di flusso che ha
la proprietà di non venire mai attraversato dal
fluido allistante considerato. - Con riferimento ad un tubo di flusso di sezione
dA, si definisce portata elementare dQ il volume
di fluido che transita attraverso la sezione dA
nellunità di tempo - dQv?ndA
- Con riferimento ad una sezione finita
- Si definisce velocità media il rapporto tra la
portata e larea della sezione - VQ/A
12CINEMATICA DEI FLUIDI
- Moto permanente
- Le grandezze caratteristiche del moto non
dipendono dal tempo - Moto uniforme
- Le grandezze caratteristiche del moto si
mantengono costanti lungo la traiettoria - Moto vario
- Le grandezze caratteristiche del moto possono
variare nello spazio e nel tempo
13Equazione di continuità
- Traduce il principio di conservazione della massa
La differenza tra la massa entrante allinterno
dellelementino attraverso la generica faccia e
quella uscente attraverso la faccia opposta
vale (ad esempio, lungo la direzione x)
il bilancio della massa entrante ed uscente
attraverso tutte le facce deve uguagliare
laccumulo o diminuzione di massa subita nello
stesso intervallo di tempo cioè
14Equazione di continuità
- Per un fluido incomprimibile (rcost) lequazione
di continuità assume la forma - div v0
- Integrando su un volume finito W lequazione di
continuità diventa
Per un fluido incomprimibile assume la forma
QeQu essendo Qe e Qu rispettivamente le portate
entranti ed uscenti dalla superficie
considerata. Per una corrente lequazione di
continuità si può scrivere nella forma Per un
fluido incomprimibile in moto permanente si ha
infine QAVcost
15Funzione di corrente
- Nellipotesi di moto bidimensionale piano di un
fluido incomprimibile, lequazione di continuità
è - si può definire una funzione di corrente y tale
che - Lungo una linea di corrente (tangente in ogni
punto al vettore velocità) la funzione di
corrente rimane costante, infatti si ha che
16Equazione di bilancio della quantità di moto
- Lequazione di conservazione della quantità di
moto in forma differenziale - Ovvero
- Considerando solo la forza di gravità come forza
di massa agente, si ottiene la ben nota equazione
del moto di Cauchy
17Equazioni di Navier-Stokes
- Nel caso di un fluido newtoniano il legame
costitutivo, ovvero la relazione tra sforzi e
deformazioni è del tipo - In cui p è la pressione idrostatica, l e m sono
due coefficienti di viscosità che dipendono dalle
condizioni termodinamiche del fluido, dij è il
delta di Kroenecker (d1 se ij, d0 se i?j). - Ipotizzando che l e m siano costanti , ovvero che
ci siano solo piccole differenze di temperatura
allinterno del fluido , sostituendo
nellequazione di conservazione della quantità di
moto si ottengono le equazioni del moto di
Navier-Stokes - Nel caso di un liquido (fluido incomprimibile,
rcost, per cui ) - In cui è la viscosità cinematica.
18Equazione di Eulero
- La relazione
- utilizzando la notazione tensoriale e
considerando solo la forza di gravità tra le
forze di massa, diventa - Nel caso di fluido incomprimibile e perfetto,
ovvero , si ha la nota equazione di
Eulero
19Il teorema di Bernoulli
- Nellambito nel corso di idraulica, sotto le
ipotesi di - fluido perfetto, pesante e incomprimibile
- moto permanente
- era stato ricavato il ben noto teorema di
Bernoulli - che esprime il fatto che il carico totale H si
mantiene costante lungo la traiettoria.
- z è la quota geodetica
- p/g è laltezza piezometrica
- v2/2g è laltezza cinetica
20Il teorema di Bernoulli
- Si può dimostrare che se il moto, oltre che
permanente, è anche irrotazionale (w0), il
carico totale è costante dappertutto.
Moto non stazionario irrotazionale Se il moto è
irrotazionale, può essere definito un potenziale
di velocità f tale che Infatti se il moto è
irrotazionale, la relazione precedente soddisfa
la condizione di irrotazionalità Si può ricavare
che in questo caso
21Il potenziale di velocità
- Sostituendo la definizione della funzione
potenziale di velocità - nella equazione di continuità si ottiene
lequazione di Laplace - Il potenziale di velocità, dovendo soddisfare
l'equazione di Laplace, è dunque una funzione
armonica della posizione. - La soluzione dell'equazione di Laplace con le
opportune condizioni al contorno consente di
determinare il campo di moto. Tale equazione,
largamente studiata anche in campi diversi dalla
Meccanica dei Fluidi ha alcune interessanti
proprietà. - In particolare, l'equazione di Laplace è lineare.
Date due soluzioni dell'equazione di Laplace,
qualsiasi combinazione lineare di tali soluzioni
(ed in particolare la loro somma e differenza) è
ancora soluzione. Questa proprietà consente di
sovrapporre potenziali di moti elementari per
ottenere i potenziali di moti più complessi. - Nota bene
- Poiché tutti i moti irrotazionali ammettono
lesistenza di una funzione potenziale, tali moti
vengono anche indicati come moti a potenziale.