ESPINTR

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ESPINTRÓNICA
Jonnathan A. López Mecánica Cúantica II UNAH-CU,
27-Abril-11

• Problemas Resueltos

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NOTAS

• Se pretende a continuación exponer la resolución
  de problemas relacionados a la espintrónica
  extraídos de distintos libros de texto que tratan
  tal materia.
• Esta presentación contiene muchos hipervínculos
  asociados con conceptos, personajes, etc. para
  una fácil lectura y acceder a información
  ampliada al respecto.
• Las operaciones matemáticas están vinculadas a
  Wolfram Alpha, el cúal se encarga de computarlas
  en una interfaz similar a un buscador
  tradicional.

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Ecuaciones de la mecánica cuántica
Ecuación de Schrodinger
Ecuación de Dirac
Ecuación de Klein Gordon
Ecuación de Pauli
1926 No relativista No toma en cuenta espín
1927 No relativista Partículas espín ½ (e.g.
electrón)
1927 Relativista No toma en cuenta espín (e.g.
pión)
1928 Relativista Partículas spin ½ (e.g.
electrón)
Línea de tiempo
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Ecuaciones de la mecánica cuántica
Irwin Schrödinger
Wolfgang Pauli
Paul Dirac
Oscar Klein
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Problema I 1

• Mostrar que los operadores , y
  satisfacen las siguientes ecuaciones

6
Solución

• Los componentes del espín podemos expresarlos en
  función de tres matrices adimensionales ,
• y como sigue

7
Solución

• A este punto, es importante mencionar que las
  matrices , y son llamadas matrices
  de Pauli cuyos valores propios son . Los
  vectores propios correspondientes a éstos se les
  conoce como espinores y se denotan como .
• Matemáticamente y mostrando la analogía con algún
  operador con vector propio y valor propio
  

8
Solución

• Por ejemplo, los vectores propios para son
• De modo que debe cumplirse (haz encima para
  verificarlo en Wolfram)

9
Solución

• Entonces, por sustitución directa

sigue.
10
Solución

• continúa

11
Solución

• Para corroborar la segunda identidad procedemos
  de forma similar

sigue.
12
Solución

• continúa

13
Problema II 2

• Suponga que un electrón se prepara en el espinor
  del vector propio de , con valor
  propio y mediciones repetitivas se
  realizan del componente de su momento angular
  intrínseco, calcular el valor promedio y
  la desviación estándar de estas
  mediciones.

14
Solución

• Podemos expresar (y cualquier operador) de
  una forma conveniente llamada descomposición
  espectral, dado por 3
• Esta forma es de gran utilidad ya que nos permite
  calcular las probabilidades de obtener una valor
  propio en particular.

15
Solución

• Para nuestro caso específico
• Y respecto al valor esperado

16
Solución

• Pero hay un método más fácil. Recordemos que el
  valor esperado lo podemos obtener como sigue
• Esto es
• Precisamente es lo que esperábamos ya que el
  electrón se encuentra en el está polarizado
  1

17
Solución

• Por último, la desviación la podemos calcular por
  definición

18
Bibliografía

• Bandyopadhyay, S., Cahay, M. (2008).
  Introduction to Spintronics. In S. Bandyopadhyay,
  M. Cahay, Introduction to Spintronics (p. 33).
  CRC Press.
• Bandyopadhyay, S., Cahay, M. (2008).
  Introduction to Spintronics. In S. Bandyopadhyay,
  M. Cahay, Introduction to Spintronics (p. 40).
  CRC Press.
• Griffiths, D. Introduction to Quantum Mechanics.
  In D. Griffiths, Introduction to Quantum
  Mechanics (pp. 105, 119). New Jersey Prentice
  Hall.