Tipograf

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Tipografía, automóviles y arquitectura curvas
y superficies en la era del diseño
E.N.E.M. IX
24 de julio 2008
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Objetivo
Construir formas (curvas y superficies) diversas
de una manera fácil y exacta
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Antes de las curvas de Bézier
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Curvas Spline
Una curva definida mediante pesos y muelles
5
(No Transcript)
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Primer intento matemático

• Las funciones más sencillas son las polinómicas
• p(t) a0a1 t a2 t2 ... an tn
• Sin embargo, es difícil determinar cuál será la
  forma de la gráfica de la función a partir de los
  coeficientes. (Math)

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Interpolación de Lagrange
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Citröen y Casteljau
Aplicar recursivamente la interpolación lineal
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Propiedades de les curvas de Bézier, I

• Interpolación de los extremos.
• a(0) P0, a(1) Pn.
• Curvas polinómicas.
• Invariancia afín.
• Envoltura convexa.
• Disminución de la variación.
• Simetria.

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Envoltura convexa
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Disminución de la variación
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Renault y Bézier
Cambiar la base de polinomios
En lugar de la base usual 1, t, t2, t3
es mejor usar la base 1 13 (t(1-t))3 t3
3 t2(1-t) 3t (1-t)2 (1-t)3
t3, 3 t2(1-t), 3t (1-t)2, (1-t)3
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Definición según Bézier
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Gráfica de los 9 polinomios de Bernstein de
grado 8
Gráfica de los 9 polinomios de grado 8 de la base
usual
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La clave de la equivalencia entre las dos
definiciones
La base de Bernstein se puede generar mediante
interpolación lineal
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P0(0,2) P1(1,2) P2(0,0) P3(1,0)
(0,2)(1-t)3 (1,2)3t(1-t)2(0,0)3 t2 (1-t)
(1,0) t3
(t(3 - 6t 4t2), 2(-1 t)2 (1 2t))
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Un ejemplo de curva de Bézier en el espacio
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Propiedades de las curvas de Bézier, II

• Control pseudo-local.
• Propiedad de la precisión lineal.
• Derivada de una corba de Bézier.
• Subdivisión.

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Control pseudo-local
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Derivada de una curva de Bézier
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Subdivisión
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(No Transcript)
27
Tipografía y curvas de Bézier
La curva de Bézier en PostScript
La curva de Bézier ya impresa
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(No Transcript)
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Curvas de Bézier en el Museu de les Arts i les
Ciències
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(No Transcript)