??? ??????????, ????? ?????? ???????? ?????????? ???????? ? ??????? ?????????

1
?????????????? ???????? ????????????
??????? ????????, ???????? ????????? 26
??????? 2006?.
2
???? ???????

• ????????
• ???????
• ?????????? ???????????
• ??????? ???? ???????
• ?????????? ???? ???????

2 / 57
3
????????

• ??? ??????????, ????? ?????? ???????? ??????????
  ???????? ? ??????? ????????? ??? ?? ?????
• ?????????? ?? ??? ??? ???????, ? ??????? ?? ???
  ????? ?????????? ??? ??????? ?? ???????????

3 / 57
4
????????

• ??????????????? (??? ???????????) ?????????????
  (selfish routing) ????? ????????????? ????????
  ? ????????????????????? ?????.
• ?????? ???????????? ?????????? ???? ???????,
  ?????????????? ???????????? ??????????,
  ?????????? ?? ??????.

4 / 57
5
??????? ??????????
????????? ?????? ????????? ?? ???????? ???????????
? ????? ????????, ???

• ???????????? ????
• ???????? ????
• ????????????? ????????

5 / 57
6
???? ???????

• ????????? ??????????? ????????????? ????????
  ?????? ??????????? ?????????????.
• ???? ??????? (The Price of Anarchy) -
  ?????????????? ???? ????? ???????????????.

6 / 57
7
???? ???????

• ????????
• ???????
• ?????????? ???????????
• ??????? ???? ???????
• ?????????? ???? ???????

7 / 57
8
???????? ????????????

• ?????? ??? ?????? ? ????
• ? ??????? ?????? ?? ????? ?? ??? ?????
  ???????????? ? ???????????
• ?????? ????? ???????? ???? ????? ???, ????? ??
  ????? ?????? ?????
• ??????? ??????? ?????? ??????? ?? ?????? ????
  ?????? ????????

8 / 57
9
???????? ????????????
????????? ??????

• ??? ??????? ???????????? ?????? ???????? 300
  ???????? ?? ?????.
• ??? ??????? ??????????? ?????? ?????????? ??
  10 ????????
• ???? ?????? ????????????, ??????
  ??????????? ?????? ?????????? ?? 100 ????????,
  ?????? ???????? 500.

??? ?? ??????? ?? ? ???? ?????????
9 / 57
10
???????? ????????????

• ?????????? ?? ?????? ??????? ??????, ??????
  ??????? ?????? ???????????!
• (?????? 10 ???????? ??? ?????? ???????
  ?????? ? ??????? 500 ??? ??? ??????????, ??????
  ?????? 100 ??? ???????? 300 ? ?????? ?????
  ??????????)
• ???? ?????? ??? ?????????? ????? ?????
  ??????????? ???????? ??????, ??? ??????
  ????????? ? ??????
• (??? ???, ??? ??? ????? ???????? ?? 300
  ???????? ??????)

10 / 57
11
?????? ???????

• ???????? ???????????? ???????? ??????????, ???
  ??????????? ?????????????? ????????? ????? ??????
  ???? ????? ?? ?????? ???????.
• ????? ?? ?????????? ??? ?????? ???????
  ????????????? ?????, ? ?? ?????? ???? ????????
  ??????? ?????? ??????????????.

11 / 57
12
?????? ???? (Pigou)

• ?????? ???? ?? ???? ?????? ????????? ? ?????, ?
  ???? ???????????? ????? ????? ????.
• ?? ???? ?????????? ?????????? ??????? ????????
  (???????), ?????????????? ????? ???????
  ??????????? ??????????? ?????????????.
• ???? ????? ??????? ?? ???????? ?? ????.

12 / 57
13
?????? ???? (Pigou)

• ?????? ???? ? ???????? ?????????? (?????), ? ?
  ?????????????? ?????????? (??????)
• c(x) ??????? ????????? ????? ?? ???????? ?? ????

13 / 57
14
???????? ?????? ????

• ????????, ??? ?????? ???? ??????? ?? ??????
  ?????? ????????
• (? ?????? ???????, ???? ???? ???-?? ???????
  ??????? ????)
• ?????????????, ??? ???????????? ??????? ??????
  ????.
• ?????, ????????? ???? ??????? ???????????? 1.

?????????? ?? ?????? ????????
14 / 57
15
???????? ?????? ????

• ???????????, ??? ?? ????? ???????????????
  ????????? ?????????? ?????????????.
• ???????? ???????? ????????????? ?? ???????? ????,
  ????????? ?? ???????.
• ????????? ????????? ???? ??? ??????????
  ???????????? 1 (?? ????, ?????? ???? ?? ?????)
• ??????? ????????? (1/2)1 (1/2)(1/2) 3/4

15 / 57
16
?????????? ?????? ????

• ? ?????????? ?????? ??? ??????? ????
• ? ??????????????? ?????? ??? ????? ??????? ??????
  ????, ??????? ????????? 1.
• ???????? e ????????????? ?? ???????? ????,
  ????????? (1-e) ?? ???????.
• ??????? ????????? - e(1-e)p1 ? ?????? p
  ????????? ? ???? ??? e?0.

16 / 57
17
???? ??????? ? ??????? ????

• ????????? ???? ??????? ??? ????????? ?????????,
  ?????????? ? ??????????????? ??????, ?
  ??????????? ????????? ?????????.
• ???? ??????? ??????? ???? 4/3 ? ????????
  ??????, ? ????????????? ?????? ? ??????????? p
  ? ??????????.

17 / 57
18
???? ??????? ? ??????? ????
????????? ??? ?????? ????????

• ????? ?? ???? ??????? ???? ?????? ??? ????????
  ???????????
• ?????? ?? ???? ??????? ? ??????????? ?????????
  ?????
• ???? ?? ???? ??????? ? ????? ? ??????????? ??????
  ????????-?????

????? ?? ??? ??? ??????? ???, ??? ?????
???????? ?????.
18 / 57
19
???????? ?????? (Braess)

• ???????? ?????? ??? ???? ??????????? ??????
  ????????? ??????????????? ????????.
• ?????? ???? ?? ???? ?????? ????????? ? ?????, ?
  ???? ????????????? ?????? ????? ????.
• ??????? ???-?? ???????? ????????, ?? ?????????
  ?????????? ????? ????? ?????????????? ?????????.

19 / 57
20
???????? ??????

• ?????? ?????? ??????? ???????? ?????????? ? ????
  (?????), ?? ????????? ????? ??????? ?????????
  (??????).

??? ????????? ??????? ????????? ? ???????????
20 / 57
21
???????? ??????

• ?? ?????????? ????? ??? ???? ??????????,
  ???????????? ??????? ??????? ????? ???? ??
  ??????? ?????????? 3/2.
• ??? ?????????? ????? ?????????? ?????? ?????????
  ?? ??????? s?v?w?t. ??? ????????? 2x, ??? ??
  ???? ?????? ?? ?????????????? (1x) ??? ?????
  ??????? ???????? (? ?????? ?????, ???? ????
  ???-?? ?????? ???? ?? ??????????????)
• ?????????????, ?????? ???? ????????????? ???????
  ??????? ?????? ???? ???????!
• ??????? ????????? ? ???? ?????? ????? ?????? 2.

21 / 57
22
???????? ??????

• ?????????? ????? (????????? ??????) ???????
  ????????? ???? ???????? ?????????...
• ??????????, ??? ???????? ???????????? ???????? ?
  ????????? ????? ?????, ?? ?????? ?? ???????????
  ????? ?????, ?? ? ?????? ?????? ????? ?????????!

• ????? ?? ????????? ????? ? ????? ??????? ?????,
  ??? ? ????? ? ??????????? ????????? ?? ??????
  ??????? ????????? ? ??????? ????? ???, ??? ???
  ???????? ??? ??????? ??????

22 / 57
23
???? ???????

• ????????
• ???????
• ?????????? ???????????
• ??????? ???? ???????
• ?????????? ???? ???????

23 / 57
24
???? ? ??????

• ???????? ??????? ??????? ? ?????
• ???? ???????? ?????? G(V,E) ? ?????????? ?? k
  ??? ?????????? ? ?????? ?????? s1..k ?
  t1..k
• Pi ????????? ???????? ??????? ????? ?? si ? ti
  P ??????????? ???? Pi
• ????????????, ??? Pi ???????

24 / 57
25
???? ? ??????

• ????? ? ???? G ?????? fp
• ??? ?????? f ? ???? p ?? Pi fp ???? ????
  ???????? ?? si ? ti , ???????????? ???? p.
• ????? ?? ????? fp ????????? ????? ?? ?????? fe
  fe ?fp, ?? ???? ????? p ?? P, ?????????? ?????
  ????? e.
• ????? ???????? ???????? ?? ?????? ???? (si,ti)
  ?????? ri
• ????? ?????????? ??????????, ???? ?? ????????????
  ??? ???????? r ??? ??????? i1k ?fpri, p ??
  Pi

25 / 57
26
??????? ?????????

• ??? ????????????? ??????????? ??????? ??????????
  ???????? ?? ???? ?????? ?? ?????? ???????
  ????????? ?? ???????? ce(x)
• ce(x) ??????????????, ??????????, ???????????.
• ???? ? ??????????????? ?????????????? ????????
  ??????? (G,r,c) ??????, ????????? ???????? ?
  ????????? ?????????.

26 / 57
27
?????????? ???????? (Wardrop)

• ??? ??????????????? ????????????? ?????? ????????
  ????????? ?????????????? ????????? ??????
  ???????????? ????
• ?????????? ????? f ?????????? ???????????
  ????????, ???? ??? ????? ???? ????? p ? q, ??? fp
  gt 0 (?? ???? ???? p ???-???? ????????????),
  ????????? ???????????
• cp(f) cq(f)
• ??? cp(f) ????????????, ??? ????? ??????????
  ?? ???? ?????? ?? p.

27 / 57
28
?????????? ???????? (Wardrop)

• ????????, ??? ????????? ???? ?????, ???????
  ???????????? ?????????????? ???????, ?????.
• ? ????? ???? (G,r,c) ????? ?????????? ??????????,
  ? ??? ???????????.
• ????????? ?(f) ??????????? ?????? f
• C(f) ?cp(f)fp, ?? ???? ????? p ?? P.
• ?????????? ????? ???????? ???????????, ???? ???
  ????????? ?????????? ????? ???? ??????????
  ???????.

28 / 57
29
???? ???????

• ???? ??????? ???? (G,r,c)
• ?(G,r,c) C(f) / C(f)
• ??? f ?????????????? ?????, ? f -
  ??????????? ?????.
• ? ?????? ????????????? ??????????????? ??????
  ??????? ????????? ?????????? ???? ??????? ??? 1.
• ???? ??????? ?? ????????? ????? X
• ?(?) sup ?(G,r,c) ?? ???? ????? (G,r,c) ?? ?

29 / 57
30
???? ???????

• ????????
• ???????
• ?????????? ???????????
• ??????? ???? ???????
• ?????????? ???? ???????

30 / 57
31
??????? ???? ???????

• ????????? ????????????? ?????????? ????? ? ???? ?
  ??????????????? ???????????????
• ?????? ???? ? ??? ?????????? ??????? ??????????
  ??????????? ???? ??????? ?? ?????? ????????????
  ??????? ?????????.
• ????? ?? ????????? ???????? ??????? ? ??????
  ?????? ???? ??????? ?? ?????? ??????? ???????.

31 / 57
32
??????? ????

• ??? ?????? ????????? C ??????? ????????? ???????
  ?????? ?????? ?? ?????? ???????? ????.
• ????????, ? ??? ??????????? ?????? ????

32 / 57
33
??????? ????

• ????? C ???????? ??? ?????????? ??????? ???? c(x)
  a
• ??????? ??????? ????????? ??????? ????? c2 ?? C ?
  ???????? r 0
• ???????? ??????? ????????? ???????? ????? c1,
  ?????? ????? c2(r)
• ???? ??????? ??? ????? ????
• max (c2(r)r / (c2(x)x (r-x)c2(r)))
• ?????????? xr ?? ???????? ???????????? ??-??
  ?????????? c2

0xr
33 / 57
34
??????? ????

• ?????? ??????? c2 ? ???????? r ?????????
  ????????? ???????, ??????? ?????? ?????? ????
  ???????, ????????? ??? ??????? ????
• a(C) sup (sup (c(r)r / (c(x)x (r-x)c(r))),
  x,r0), ?? ???? c ?? C
• ??? ???? ????????? 0/0 ?????????????? ??
  ??????????? ???? ??????? ? 1.
• ??????? ??????
• ??? ?????? ???????? ??????? a(C) 4/3
• ??? ?????? ????????? ? ????????????????
  ?????????????? ??????? p
• a(C) (1-p(p1)-(p1)/p)-1

34 / 57
35
??????? ????

• ?????????? ??????? ???? ??????????? ??????? ? C
  ????? ???????? ????? ??????? ??????????? ???????
  ? C ???? ?? ????? ??????? c, ??? ??????? c(0) gt
  0.
• ? ???? ?????? ?? ???????? ??????????? ??????? ?
  ??????? ?????????? ? ???? ?????????????
  ?????????? ???????????? ?????

• ? ???? ??????? ?????? ?????? ????? ??????????

35 / 57
36
??????? ??????

• ??????? ??????? ?????? ???? ???????
• ?? ??????????? ??????? ????
• c(x)x c(r)r / a(C) (x-r)c(r)
• ??? ???? x, r 0, ? ??? ???? ??????? ?? C.
• ???????. ??? ????? ???? (G,r,c) ? ????????? ?? C
• ?(G,r,c) a(C)
• ?? ????, ??????? ???? ???????? ????? ? ???????
  ????????.

36 / 57
37
??????? ??????

• ??? ?????????????? ??????? ??????? ????? ????
• ?????????? ????? f ? ???? (G,r,c) ????????
  ??????????? ???????? ? ??? ? ?????? ? ??? ??????,
  ???? ?????????
• ?ce(fe)fe ? ce(fe)fe
• ??? ???? ?????????? ??????? f ? ????
  (G,r,c)
• ??? ?????????????? ??????????? ??????? ?????????
  ????????? ?? ??????????? ?????????? ????????
• ?cp(f)fp ? cp(f)fp
• ??? ???? ?????????? ??????? f.
• ????????? cp(f) ?? ??????????? ??? ?ce(fe), ?
  ??????? ??????? ????????????, ???????? ?????????.

37 / 57
38
??????? ??????

• ??????????????
• ????? f - ??????????? ?????, f - ??????????
  ????????. ?????
• c(f) ?ce(fe)fe
• (1/a(C))?ce(fe)fe ?(fe-fe)ce(fe)
• c(f) / a(C)
• ??? ? ??????????? ????????.

38 / 57
39
?????

• ?? ???????? ?????? ?????? ???? ??????? ??? ??????
  ??????? ??????? ?????????, ? ?????????, ???
  ???????? ??????? ???? ??????? ????? 4/3
• ??? ??? ??? ?????? ??????????? ??? ?? ??????????
  ????????, ???? ??????? ????? ?? ??????? ??
  ????????? ????, ? ??????? ???? ?? ????????????
  ??????? ?????????.

39 / 57
40
???? ???????

• ????????
• ???????
• ?????????? ???????????
• ??????? ???? ???????
• ?????????? ???? ???????

40 / 57
41
?????? ????????? ??????

• ??????????? ? ?????? ?????? ?????? ? ????? ?? 4
  ????? ???? ??????? ????????

• ??? ????? ??????? ????? ?????????? ???????
  ????????? ????? ???? ????? ?????? ??????

41 / 57
42
??????????? ??????

• ?? ??????? ??? ????? ???????? ????????? ??????,
  ?????? ????????? ????? ?? ?????
• ??? ???????? ??????????? ??????
• ß(G,r,c) max (C(f) / C(fH))
• ??? H ???????????? ??????? G, ?????????? ????
  ?? s ? t, f ? fH ?????????????? ?????? ? ?????
  G ? H ??????????????.

42 / 57
43
??????????? ??????

• ??????????? ?????? ????? ????? ? ???????????
  ??????? ????
• ???????. ??? ?????? n2 ?????????? ???? (G,r,c)
  ?? n ??????, ????? ???
• ß(G,r,c) n/2
• ??????????????. ??????? ???????????? ??????
  ?????? n 2k2 ??? ??????????? k. ?????? ???????
  ?????? ??????.

43 / 57
44
????? ??????

• ???? ?????? Bk(Vk,Ek)
• Vk s,v1..k,w1..k,t
• Ek A U B U C
• A (vi,wi), i1..k
• B (vi,wi-1), i2..k U (s,wk) U (v1,t)
• C (s,vi),i1..k U (wi,t), i1..k
• ???? ?????? B1 ???????? ?????? ??????.

44 / 57
45
????? ?????? B2 ? B3

• ??????? ?????? ?????? ???????? 2 (?????) ? 3
  (??????)

45 / 57
46
????? ??????

• ????????? ??????? ?????????? ?? ?????? ??????
  ?????
• A c(x) 0
• B c(x) 1
• C ??? ????? (wi,t) ? (s,vk-i1) c(k / (k1))
  0, c(1) i
• ??????????? ???? (Bk,k,c) ?????? ?????? ???
  ??????? ??????.
• (???? ???? ??????? ??? ??????????????)

46 / 57
47
?????? ???????????? ??????

• ?????????????? ? ???? (Bk,k,c) ????? ??????????
  ????? ??????????? ??????? ???????? ?? ?????? ?? k
  ????? ???? s?vi?wi?t
• ????????? ??????? ?????? ???? k1
• ???? ????????? ??? ????? ???? A, ?? ?? ????
  ?????????? k1 ????? ?????? ???? ????????, ??????
  k/(k1)
• ????????? ??????? ?????? ???? 1
• ??????????? ?????? ???? ????
• ß(G,r,c) k1 n/2
• ??? ? ??????????? ????????.

47 / 57
48
?????? ? ?????????? ??????

• ????? ?? ??? ?????? ???? ? ????????? ?????????
  ????????? ?????????? ?? ?????????????? ?????
  ???? ?? ? ??? ??????? ?????-???? ?????, ? ????
  ??, ?? ??????
• ???? ??????, ?? ?????????? ???? ?? ????????????
  ???????? ?????? ???????????? ???????

????? ???????? ????????, ????? ??????????? ??
????, ? ???????
48 / 57
49
?????? ? ?????????? ??????

• ????????? (???? ? ???????????) ????????
  ???????? ?? ????? ???????? ????.
• ???????? ?? ?? ????? ??? ? 4/3 ????, ?????????
  ???? ??????? ?? ????????? ??????? ????, ???????
  ??? ???????? ??????? ????????.
• ????? ??????? ?????????, ??????????? ??
  ?????????????? ?????, ?? ??????????.

49 / 57
50
?????? ? ???? ?????

• ? ???????????????? ?????? ???????? ?????????
  NP-?????? ?????? ? ???? ???????? ????????????????
  ????? ? ?????
• ????? ????? ??????????????? ???? G(V,E) ?
  ?????????? ????????? s1,s2,t1,t2. ?????????? ??
  ???? ???????? ???????????????? ????? P1 ? P2, ??
  s1 ? t1 ? ?? s2 ? t2 ???????????????

50 / 57
51
?????? ? ???? ?????

• ?????????? ??? ??????????? ????????? ?????? ?????
  ???? ?? ?????? ??? ?????? ???? ????? ???? ?????
  ?? ??????????, ?? ? ???????????? ????? ????????
  ????? ?????????? ????????? ??????? ?????
  ????????? 3/2, ????? ???? ????????? 2.

51 / 57
52
?????????? ???? ???????

• ?????? ????????? ?????? ?????????? ???? ???????
  ????????
• ??????????? ?????
• ???????????????? ?????????? ?????? ??????
• ???????? ?????????????? ????? ?? ??????

52 / 57
53
??????????? ?????

• ?????? ????????? ????????? ???????????????
  ?????? ???????? r ?? ????????? ?????????
  ???????????? ?????? ? ??? ?? ???? ???????? 2r.
• ???? ?? ??????? ??????? ????????? ce(x) ?? c'e(x)
  ce(x/2)/2, ?? ?????????????? ????? ? ????? ????
  (G,r,c') ????? ?? ???? ???????????? ?????? ?
  ???????? ????.
• ?????? ?????? ??????????? ??????? ??? ??, ??? ?
  ?? ??????????? ?????? ????????????? ????
  ??????? ? ???????? ????.

53 / 57
54
???????????????? ??????????

• ????????? ???? ???????? ?? ????? ???????????? ??
  ???? ??????????
• ??????, ??? ????? ????????? ????????? ????? ??
  ???? ?????? ?? ?????????????, ??? ????? ?????? ??
  ??? ???? ??????.
• ?????? ?????? ?????? ???? ??? ??????????? ???????
  ????
• c(x)xp/(1-?)
• ??? 0 ? 1 - ???? ??????????? ????????.

54 / 57
55
???????? ????? ?? ?????

• ???? ????????? ?????? ?????????????? ?????????
  te, ??????? ??????? ?????????
• ce(x)ce(x) te
• ???? ?? ?????????? ????????????? ???????? ??????
  ????????, ?? ???????? ?????????????? ????? ?????
  ?????????? ???? ??????? ?? ?????

55 / 57
56
?????????? (???????? ???????)

• ?????????????? ?????????? ??????????, ?????
  ?????? ????????? ? ??????????? ?????????, ?????
  ???? ???????????? ??? ????
• ?? ?????? ??????? ??????? ???? ???????????????
  ???????? ???? ?????? ? ????????? ??????? ???
  ????? ???? ??????
• ?????? ??????? ???????? ?????????
• ?????????? ?????????? ???????????? ????????????
  ??????????

56 / 57
57
?????????

• 1 Selfish Routing and the Price of Anarchy
• http//theory.stanford.edu/tim/papers/optima.ps
  
• 2 ?????? ????? ?????????? ???????
• http//www.mista.ru/fant/gen/12.htm
• 3 ???????? ? ??????, ?????? ? ?????????????
  ?????????? ????? ? ????????????????
• http//www.imm.uran.ru/RUS/WIN/PUBLIC/JRN/POPOV/p
  opov1.pdf

57 / 57