Pretpostavljamo da je signal stacionaran

1
Furijeova transformacija
Pretpostavljamo da je signal stacionaran
2
Furijeova transformacija
3
Furijeova transformacija
Analiza nestacionarnih signala
4
Kratkotrajna Furijeova transformacija (Short
Time Fourier Transform - STFT)

• Uvodi se lokalna frekvencija, tj. spektralne
  komponente u odredenom trenutku
• Ova notacija je slicna notaciji koja se koristi u
  muzici, notama se prikazuju frekvenicje koje se
  sviraju u odredenom vremenskom trenutku
• Kratkotrajna Furijeova transformacija djeluje
  na jedan dio nestacionarnog signala koji možemo
  smatrati stacionarnim, a koji se vidi kroz prozor
  konacnog trajanja pomjeren u odredeni trenutak
• Dobijamo predstavu u ravni vrijeme-frekvencija

5
Kratkotrajna Furijeova transformacija

• Parametar f je slican frekvenciji kod Furijeove
  transformacije
• Zavisnost od oblika prozora
• Alternativna interpretacija preko banka filtara
• Rezolucija u vremenu i frekvenciji ne može
  istovremeno biti proizvoljno mala
• Hajzenbergova nejednakost (Gausov prozor)

6
Multirezoluciona analiza
U cilju prevazilaženja ogranicenja STFT u pogledu
rezolucije, dopušta se da rezolucije u vremenu i
frekvenciji variraju. Intuitivno, sa porastom
frekvencije rezolucija u vremenu treba da raste
da bi bili u mogucnosti da uocimo kratkotrajne
nagle promjene signala
Banka filtara koja se koristi za analizu signala
tad ima konstantan relativni propusni opseg, tzv.
constant-Q analiza.
7
Multirezoluciona analiza
Za razliku od STFT, WT koristi uske (kratkog
trajanja ) prozore na visokim frekvencijama, a
široke prozore na niskim frekvencijama. Na taj
nacin je moguce postici proizvoljno veliku
rezoluciju u vremenu na visokim frekvencijama i
proizvoljno veliku rezoluciju u frekvenciji na
niskom frekvencijama.
Prema tome, ova vrsta analize je dobra za signale
koji imaju visokofrekventne komponente kratkog
trajanja i niskofrekventne komponente dugog
vremenskog trajanja, što je veoma cest slucaj u
praksi.
Kontinualna Wavelet (talasic) transformacija
prati ovaj princip uz uvodenje dodatnog
pojednostavljenja svaki impulsni odziv iz banke
filtara se definiše kao skalirana verzija
prototipa h( t ).
8
Multirezoluciona analiza
Podjela vremensko-frekvencijske ravni i bazisne
funkcije STFT i WT.
9
Kontinualna Wavelet transformacija
Ako se posmatra interpretacija preko banke
filtara onda koeficijenti kontinualne Wavelet
transformacije predstavljaju filtrirani dio
signala kroz odgovarajuce propusnike opsega.
Posmatrano u vremenu ovi koeficijenti daju mjeru
slicnosti (autokorelacija) signala sa baznim
funkcijama wavelet-ima
10
Kontinualna Wavelet transformacija
Ako je filtar sa impulsnim odzivom h(t) propusnik
opsega i ako ima konacnu energiju onda važi i
inverzna WT
gdje je c je konstanta koja zavisi samo od izbora
h( t )
Dakle, moguce je signal predstaviti preko
skaliranih i pomjerenih verzija originalnog
(majka) wavelet-a. Wavelet-i se ponašaju slicno
kao ortogonalne baze. Sinteza signala se dobije
kad se sumiraju sve orogonalne projekcije signala
na wavelet-e. Iako ne cine ortogonalnu bazu vec
sadrže velik stepen redundantnosti, sinteza je
moguca pod navedenim uslovom.
11
Kontinualna Wavelet transformacija
Wavelet transformacija u osnovi imaju ideju
posmatranja signala na razlicitim skalama i sa
razlicitim rezolucijama.
Interpretacija () sa porastom skale impulsni
odziv filtra se širi u vremenu.
Interpretacija () sa porastom skale se kroz
prozor fiksne dužine vidi sve veci dio signala
jer se vrši njegovo komprimovanje. Na ovaj nacin
posmatrano vidimo da skala kod WT ima isto
znacenje kao skala na mapama velika skala
odgovara globalnom pogledu, dok mala skala
odgovara detaljnom pogledu. Na malim skalama
bolje su uocljivi promjene (detalji) signala tako
da mala skala odgovara visokim frekvencijama i
obrnuto.
12
Kontinualna Wavelet transformacija
WT preslikava signal u domen vrijeme-skala.
STFT
13
Kontinualna Wavelet transformacija
skalogram (WT)
spektogram (STFT)
Dirakov impuls
tri sinusoide
14
Kontinualna Wavelet transformacija
15
Diskretizacija kontinualne Wavelet transformacije
Ako je u ravni vrijeme-frekvencija frekvencija
odmjeravanja za skalu a0 jednaka f0, onda je za
skalu a1gta0 frekvencija odmjeravanja
Odmjeravanje se vrši na dijadickoj rešetci
Ova relacija postaje jednakost ako se pronade
takav h(t) da wavelet-i cine ortonormalnu bazu.
16
Diskretna Wavelet transformacija

• Zbog svojih karakteristika u frekvencijskom
  domenu diskretni Waveleti se biraju za impulsne
  odzive filtara kod
• Piramidalnog kodovanja
• Podopsežnog kodovanja

17
Multirezoluciona piramida
Podsjetimo se na velikim skalama prošireni
wavelet-i daju globalni pogled (signal sabijen -
subsampled), dok na malim skalama uski wavelet-i
analiziraju male detalje (razvucen signal).
g(n) impulsni odziv NF filtra sa propusnim
opsegom jednakim polovini cijelog opsega
18
Multirezoluciona piramida
19
Multirezoluciona piramida
Po Nikvistovom kriteriju, zbog odsijecanja pola
opsega, moguce je uraditi subsampling, odnosno
ispustiti svaki drugi odmjerak
Rezolucija se promijenila, izgubilo smo
visokofrekventne detalje. Promijena skale se
desila zbog subsampling-a, tako da pomak za dva u
originalnom signalu rezultuje pomakom za jedan u
filtriranom signalu.
20
Multirezoluciona piramida

• Rekonstrukcija
• upsampling sa dva (ubacivanje po jedne nule
  izmedu svaka dva odmjerka)
• interpolacija sa idealnim polupojasnim NF filtrom

x(n) se može rekonstruisati ako znamo a(n) i d(n)
Redundantnost d(n) sadrži samo VF detalje
signala x(n) a odmjeren je kao x(n), može se
uzeti dva puta manje odmjeraka!
21
Podopsežno kodovanje

• Nema redundantnosti
• Prva primjena u kompresiji govora

22
Dvodimenzionalne banke filtara i wavelet-i
Uobicajen nacin dvodimenzionalnog proširenja je
da se koristi tzv. separabilni wavelet-i. 2D
skalirajuca funkcija i 2D wavelet funkcije se
dobiju kao separabilni proizvodi 1D skalirajuce
funkcije i 1D wavelet-a
Separabilna dvodimenzionalna banka
filtara. Subsampling sa 2 po svakoj dimenziji,
tako da je promjena skale 4 puta.
23
Dvodimenzionalne banke filtara i wavelet-i
Multirezoluciona reprezentacija slike se u svakom
nivou dekompozicije sastoji od jedne diskretne
slike aproksimacije na nižoj rezoluciji i tri
slike detalja. Višestrukim ponavljanjem dolazi se
do slika sa sve nižom rezolucijom piramidalna
dekompozicija.
jedan nivo dekompozicije
24
Dvodimenzionalne banke filtara i wavelet-i
tri nivoa dekompozicije
25
Dvodimenzionalne banke filtara i wavelet-i
Jedan i dva nivoa dekompozicije
26
Dvodimenzionalne banke filtara i wavelet-i
27
Dvodimenzionalne banke filtara i wavelet-i
Uobicajen pristup kompresiji slike wavelet
transformacijom se svodi na piramidalnu
dekompoziciju slike u veci broj podopsega,
poslije cega se dobijeni podopsezi neovosno
koduju.
28
Dvodimenzionalne banke filtara i wavelet-i