LOGICA CLASICA DE PRIMER ORDEN Jos

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LOGICA CLASICA DE PRIMER ORDENJosé Alfredo
Amorjaam_at_hp.fciencias.unam.mx

• Resumen
• La lógica clásica de primer orden con igualdad es
  la rama más estudiada, aplicada y conocida de la
  lógica contemporánea. Desde luego, presuponemos
  que la lógica proposicional o lógica de
  enunciados, forma parte de la lógica de primer
  orden. La razón de esto es su riqueza expresiva,
  su versatilidad y aplicabilidad, sus teoremas
  fundamentales, así como su uso de modo importante
  en matemáticas, filosofía de la ciencia, ciencias
  de la computación y el razonamiento automático.
  Esto último ha tenido un desarrollo espectacular
  en la segunda mitad del siglo pasado. Por otro
  lado, la lógica clásica ha sido el punto obligado
  de referencia y comparación para la gran cantidad
  de lógicas no clásicas que se han desarrollado en
  ese siglo.
• El razonamiento deductivo clásico es el proceso
  de obtener conclusiones a partir de suposiciones
  o hechos esas conclusiones se conocen como
  consecuencias lógicas de las suposiciones o
  hechos. El razonamiento deductivo correcto es el
  razonamiento deductivo en el que las conclusiones
  se siguen necesaria e inevitablemente de las
  suposiciones o hechos. Podemos pensar a la lógica
  clásica como el estudio del razonamiento
  deductivo correcto.
• El objetivo fundamental de la lógica en
  general es explicar la noción de consecuencia
  lógica la cual es una relación que se da entre un
  conjunto de enunciados (llamados premisas) y un
  enunciado particular (llamado conclusión). Dicho
  concepto de consecuencia lógica, en el caso de la
  lógica clásica de primer orden con igualdad,
  representa con rigor matemático la idea intuitiva
  de inferencia válida o inferencia correcta. Para
  lograr este objetivo, la lógica clásica de primer
  orden con igualdad utiliza, al igual que muchas
  otras lógicas, un lenguaje formal propio,
  definido de un modo riguroso al estilo
  matemático, basado en formas y no en
  significados. Los lenguajes formales son muy
  diferentes a los lenguajes naturales, por ejemplo
  sus símbolos forman oraciones de un modo
  absolutamente preciso, lo que evita ambigüedades
  como las de los lenguajes naturales y su
  interpretación está definida también de un modo
  riguroso por lo que los conceptos de verdadero o
  falso quedan definidos también de modo preciso.

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Lógica de Predicadoso Lógica de Primer Ordeno
Lógica Cuantificacional

• José Alfredo Amor
• Facultad de Ciencias UNAM
• jaam_at_hp.fciencias.unam.mx
• Abril de 2005

3
En el lenguaje coloquial se llama lógico a lo
que es considerado de sentido común

• Este sentido común que aplicamos en situaciones
  reales debe dirigir la construcción del
  razonamiento lógico?
• o por el contrario, Son las normas de la lógica
  las que deben regir nuestra manera natural de
  razonar?

4
Es decir

• La manera natural de razonar determina a la
  lógica, o la lógica nos enseña a razonar
  correctamente? 
• Qué es lo lógico y lo no lógico?

5
Esto es lógico o no lógico ?
6
Esto es lógico o no lógico ?
7
LA LÓGICA

• Podemos pensar a la lógica clásica como el
  estudio del razonamiento deductivo correcto.
• El razonamiento deductivo correcto es el proceso
  de obtener conclusiones a partir de suposiciones
  o hechos, en el que las conclusiones se siguen
  necesariamente de las suposiciones o hechos.

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• Esto es sumamente importante en matemáticas, ya
  que las pruebas en matemáticas son sucesiones de
  argumentos, y estos deben ser argumentos
  correctos. Resulta pues obvia la importancia de
  saber si un argumento dado es correcto o no.

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DIPLOMADO EN LOGICAMódulo Lógica de Predicados

• I. LA LOGICA DE PREDICADOS(o cuantificacional
  o de primer orden)
• II. SEMÁNTICA DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN
• III. SINTAXIS DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN
• IV. LOGICA DE PRIMER ORDEN ENFOQUE COMPUTACIONAL

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I. LA LOGICA DE PREDICADOS (O CUANTIFICACIONAL O
DE PRIMER ORDEN)

• 1.Lenguajes naturales y lenguaje analítico.
• 2.Traducciones del lenguaje natural al lenguaje
  analítico, e inversamente.
• 3.Relación entre la lógica proposicional y la
  lógica cuantificacional.
• 4.Reglas de formación de fórmulas. Variables,
  enunciados. La igualdad.

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II. LA SEMÁNTICA DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN

• 1. Prerrequisitos de teoría de conjuntos.
• 2. Interpretaciones verdad o falsedad de
  enunciados respecto a una interpretación.
• 3. Definición de verdad de Tarski. Fórmulas
  lógicamente válidas.
• 4. Argumentos deductivos válidos e inválidos.
• 5. La igualdad. Fórmulas y argumentos que
  incluyen igualdades.

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III. LA SINTAXIS DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN

• 1. Deducción natural. Solo reglas. Correctud y
  Completud.
• 2. Sistemas axiomáticos axiomas, reglas de
  inferencia y definición de deducción. Metateorema
  de la Deducción. Correctud y Completud.
• 3.Otros conceptos relacionados teorías,
  consistencia, satisfacibilidad, completud,
  axiomatizabilidad, decidibilidad, etc.

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IV. LOGICA DE PRIMER ORDEN ENFOQUE
COMPUTACIONAL

• 1. Regla de RESOLUCION. Correctud y Completud
• 2. Demostración Automática de Teoremas
• 3. Programación Lógica

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Enunciados simples

• Paris es la Capital de Francia
• 2 2 1
• El Sol es una estrella
• Vincente Fox es el presidente de México en el año
  2005
• La UNAM tiene más de 250 mil estudiantes

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Enunciados simples

• Paris es la Capital de Francia C(p,f)
• 2 2 1 (22, 1)
• El Sol es una estrella E(s)
• Vincente Fox es el presidente de México en el año
  2005 PM(f,2005)
• La UNAM tiene más de 250 mil estudiantes
  est(u)gt250 mil

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Enunciados complejos

• Tegucigalpa es la capital de algún país y alguna
  ciudad es la capital de Costa Rica
• Caracas es la capital de Venezuela y San José es
  la capital de Costa Rica
• Si 22 4 y 4 es par, entonces 22 es par
• No existe alguien que rasure a todos los que no
  se rasuran a si mismos y sólo a esos

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CUANTIFICADORES Y VARIABLES

• El uso de cuantificadores y variables no es común
  en el lenguaje coloquial.
• Pero cuando se comprende su poder expresivo y
  riguroso se ha dado el primer paso para saber
  expresarse con él.

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Lenguaje formal LP símbolos básicos

• Parámetros de predicado letras mayúsculas del
  alfabeto P, Q, R, .
• Parámetros de constante letras minúsculas a, b,
  c, .
• Variables individuales x, y, z, w, .
• Símbolos lógicos ?, ?, ?, ?, ?,
• Símbolos de cuantificación ?, ?
• Símbolos auxiliares ), (

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Reglas de construcción de fórmulas de LP

• Todo parámetro de predicado aplicado a
  constantes o variables y toda igualdad de
  constantes o variables, es una fórmula (atómica)
  de LP
• Si ? y ? son fórmulas de LP, entonces
• (??), (? ? ?), (? ? ?), (? ? ?) y (? ? ?) son
  fórmulas de LP
• Si ? es una fórmula de LP y x es una variable
  entonces (?x?) y (?x?), son fórmulas de LP

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Formalizar el Lenguaje Coloquial

• No se pretende formalizar todo el lenguaje
  coloquial sino el de contenido preciso estilo
  matemático
• Todo S es P" y Algún S es P
• ?xS(x) ? P(x) y ?x S(x) ? P(x)
• S(x) simboliza x es S y P(x) x es P
• Estas expresiones son nuevas para el alumno por
  eso hay dificultad para representarlas

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Proposiciones Categóricas en LP

• UNIVERSAL UNIVERSAL
• AFIRMATIVA NEGATIVA
• A Todo S es P E Ningún S es P
• ?x S(x) ? P(x) ?x S(x) ? ?P(x)
• ? ?x S(x) ?
  P(x)
• PARTICULAR PARTICULAR
• AFIRMATIVA NEGATIVA
• I Algún S es P O Algún S no es P
• ?x S(x) ? P(x) ?x S(x) ? ?P(x)

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EXPRESIVIDAD DEL LENGUAJE LP (PERROS Y CARTEROS)

• 1. Todos los perros muerden a algún cartero
• ?xP(x) ? ?y(C(y) ? M(x, y))
• 2.Hay un cartero al que muerden todos los perros
• ?xC(x) ? ?y(?P(y) ? M(y, x)
• 3.Todos los carteros son mordidos poralgún perro
• ?xC(x) ? ?y (P(y) /\ M(y, x)
• 4. Hay un perro que muerde a todos los carteros
• ?x P(x) /\ ?y(C(y) ? M(x, y)

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Y SE PUEDE COMPLICAR!

• Todos los perros que asustan a algún cartero, lo
  muerden
• ?x?y P(x) /\ C(y) /\ A(x, y) ? M(x, y)
• o bien
• ?xP(x) ? ?y(C(y) /\ A(x, y)?M(x, y))
• Hay un perro que muerde a todos los perros que
  muerden a algún cartero
• ?xP(x) /\ ?y(P(y) /\ ?z(C(z) /\ M(y,z)) ?
  M(x,y))

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Ejemplos Fórmulas de LP

• Todos son amigos de alguien
• ?x?y A(x, y)
• Todos son amigos de todos
• ?x?y A(x, y)
• Juan vió a María con el telescopio VT(j, m)
  ? V(j, m) ? T(m) ?
• Alguien es amigo de todos
• ?x ?y A (x, y)

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Ejemplos de Fórmulas de LP

• ?x P(x, c) ? ?y P(y, c)
• ?x(P(x)?Q(x)) ? (?Q(x)? ?P(x))
• ?x P(x) ? ?y (P(y) ? x y)
• ?x P(x)??x?yP(x)?P(y)?x y

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CRITERIOS DE VERDAD

• Objetivos conocer los criterios de verdad de los
  conectivos, los cuantificadores y la igualdad.
• Saber analizar a partir de ellos, la verdad o
  falsedad de cualquier enunciado interpretado.
  Especialmente el caso del condicional.

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Negación

• "no P" denotada (?P), es verdadera respecto a la
  interpretación dada, si P es falsa respecto a esa
  interpretación.

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Disyunción

• "P o Q" denotada (P ? Q), es verdadera respecto a
  la interpretación dada, si P es verdadera
  respecto a esa interpretación o Q es verdadera
  respecto a esa interpretación.
• Queda incluida aquí la posibilidad de que ambas,
  P y Q, sean verdaderas respecto a esa
  interpretación.

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Conjunción

• "P y Q" denotada (P ? Q), es verdadera respecto a
  la interpretación dada, si P es verdadera
  respecto a esa interpretación, y Q es verdadera
  respecto a esa interpretación.

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Condicional

• A)Si P entonces Q denotada (P?Q) es falsa
  respecto a la interpretación dada, si P es
  verdadera y Q es falsa, respecto a esa
  interpretación.
• B) Si P entonces Q denotada (P?Q) es verdadera
  respecto a la interpretación dada, si no es falsa
  respecto a esa interpretación.
• Es decir si no sucede que P es verdadera y Q es
  falsa.

31
Bicondicional

• "P si y sólo si Q" denotada (P?Q), es verdadera
  respecto a la interpretación dada, si ambas P y Q
  son verdaderas, o bien ambas P y Q son falsas,
  respecto a tal interpretación.

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Cuantificación Existencial

• ?x Q(x) es verdadera respecto a la
  interpretación dada, si hay al menos un individuo
  en el universo de esa interpretación, tal que Q
  es verdadera respecto a ese individuo y respecto
  a esa interpretación.

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Cuantificación Universal

• ?x Q(x) es verdadera respecto a la
  interpretación dada, si para todos los individuos
  en el universo de esa interpretación, Q es
  verdadera respecto a cada uno de ellos ahí
  respecto a esa interpretación.

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Verdades Lógicas de LP

• TODA FÓRMULA QUE RESULTA VERDADERA, BAJO
  CUALQUIER INTERPRETACION PARA LOS PREDICADOS Y
  LAS CONSTANTES DE LA FÓRMULA,
• Y CUALQUIER ASIGNACIÓN DE INDIVIDUOS A LAS
  VARIABLES

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Ejemplo de Tautología en Lenguaje LP
 
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Ejemplos donde la validez lógica de primer orden
coincide con la proposicional

• P(c) ? ? P(c) forma A ? ? A
• c cumple la propiedad P o no la cumple
• P(c) ? Q(c) ? ?Q(c) ? ?P(c)
• forma A ?B ? ?B? ?A
• P(c) ?Q(c) ? ? P(c) ? ? Q(c)
• forma A ?B ? ? A ? ?B

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Ejemplos donde la validez lógica de LP NO
coincide con la proposicional o LE

• ?x ?y P(x,y) ? ?y ?x P(x,y) (A?B)
• Si hay alguien en la relación P con todos
  entonces para todos hay alguien en la relación P
  con ellos
• P(c) ? ?x P(x) (A ? B)
• Si c cumple la propiedad P entonces hay
  alguien que cumple la propiedad P

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Un último ejemplo

• ??x?y R(x,y) ? ?R(y,y)
• No hay en el universo de interpretación un
  individuo tal que esté en la relación R con todos
  los individuos (de ahí) que no están en la
  relación R consigo mismos, y sólo con esos

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Sabemos negar?

• La negación lógica del enunciado
• Si te portas bien entonces te llevo al cine es
• a)Si no te portas bien entonces no te llevo al
  cine
• b)Si te portas bien entonces no te llevo al cine
• c) Te portas bien y no te llevo al cine
• 2. Sean A, B conjuntos y sea w un objeto tal que
  w ? A?B, entonces
• a) w?A y w?B b) w?A o w?B
• 3.La negación lógica de ser blanco es
• a) ser negro b) no ser
  blanco
• c) ser de color distinto al blanco

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Sabemos negar?

• 4. La negación lógica de 3 lt x es
• a) 3 gt x b) 3 ? x c)
  3 ? x
• 5. La negación lógica de
• Todos los perros ladran es
• a) Hay perros que no ladran
• b) Ningún perro ladra
• c) Todos los perros no ladran

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Respuestas Correctas c,b,b,c,a.

• 1. La negación lógica del enunciado
• Si te portas bien entonces te llevo
  al cine es
• c) Te portas bien y no te
  llevo al cine.
• 2. Sean A, B conjuntos y sea w un objeto tal que
  w?A?B, entonces
• b) w?A o w?B
• 3. La negación lógica de ser blanco es
• b)no ser blanco.
• 4. La negación lógica de 3 lt x es
• c) 3 ? x
• 5. La negación lógica de Todos los perros
  ladran es
• a)Hay perros que no ladran.
  

42
Leyes de la Negación

• Si P y Q son proposiciones cualesquiera las
  siguientes son ejemplos de equivalencias lógicas
• ? ? P ? P
• ?(P ? Q) ? (?P ? ?Q)
• ?(P ? Q) ? (?P ? ?Q)
• ?(P ? Q) ? (P ??Q)
• ?(P ? Q) ? (P ? ?Q)? (Q ??P)
• ??x P ? ?x ?P
• ? ?x P ? ?x ?P

43
Otras Equivalencias Lógicas

• (P ? Q) ? (?Q ? ?P)
• (P ? Q) ? (? P ? Q)
• (P ? Q) ? ?(P ? ?Q)
• ?x P ? ??x ?P
• ?x P ? ??x ?P
• ?x (P ? Q) ? (?x P ? ?x Q)
• ?x (P ? Q) ? (?x P ? ?x Q)

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CONTRAEJEMPLOS

• ?x (P ? Q) ??? ?x P ? ?x Q
• ?x (P ? Q) ??? ?x P ? ?x Q
• Cuando no hay equivalencia
• la prueba es un contraejemplo

45
Símbolo para Consecuencia Lógica

• ______________
• ?

46
Símbolo para Consecuencia Lógica

• Premisas
• ______________
• ? Conclusión

47
Ejemplo de Razonamiento en LP

• P(a) ? Q(c)
• ? Q(c)
• __________________________________
• ? ? P(a)

48
Prueba de validez lógica por tablas de verdad.
PREMISAS CONCLUSION

P1 P2 C
49
Ejemplo de Razonamiento en LP

• ?x B(x) ? ?y R(x,y) ? ?R(y,y)
• __________________________________________________
  __________________________________________________
  
• ? ??x B(x)

50
Prueba de validez lógica de razonamientos en
lenguaje coloquial

• Traducir del lenguaje coloquial a LP
• Determinar la validez proposicional de la
  traducción por tablas de verdad
• Si es valido proposicionalmente, entonces es
  valido en LP
• Si no, entonces aplicar criterios de verdad de
  igualdad y cuantificadores (no hay algoritmo)

51
Diferencias entre lógica proposicional y lógica
cuantificacional

• No importa qué son A, B, C realmente?
  En primer orden si importa!
• A ?x
  P(x)B ? C P(a) ?
  Q(a)
• ________________________________
  
  ______________________________________
  _______? C ?
  Q(a)
• NO ES INF. CORRECTA SI ES INF. CORRECTA
• PROPOSICIONAL EN
  PRIMER ORDEN
• A P(c)
• B c
  b
• ? C ? P(b)
• NO ES INF. CORRECTA SÍ ES INF CORRECTA!

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Un razonamiento en lenguaje coloquial
Todos los borogroves son kismis, si alguien
tirila. Nito tirila y Pac es un
borogrove. ______________________________________
__________________________________________________
_________________________________________ Por lo
tanto, Pac es un kismi.
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Traducción del Razonamiento

• B predicado ser borogrobe
• K predicado ser kismi
• T predicado tirila (del verbo tirilar)
• n constante para el individuo Nito
• p constante para el individuo Pac
• (?xT(x)) ? ?xB(x) ?K(x)
• T(n) ? B(p)
• ? K(p)

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Un razonamiento en lenguaje coloquial

• Todos los borogroves son kismis,
• si alguien tirila
• ?xT(x) ? ?xB(x) ?K(x)
• Nito tirila y Pac es un borogrove
• T(n) ? B(p).
• ? B(p).
• ? T(n) ? ?xT(x) ? ?xB(x) ?K(x)
• ?B(p) ?K(p) ? K(p).
• Por lo tanto, Pac es un kismi.

55
QUE ES UN ARGUMENTO?

• Un argumento es un conjunto finito ordenado de
  afirmaciones de las cuales se dice que la última
  (conclusión), se sigue de las anteriores
  (premisas).
• Un argumento es lógicamente correcto o
  lógicamente incorrecto

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QUÉ ES UN ARGUMENTO CORRECTO?

• Un argumento es lógicamente correcto
• si y sólo si sucede que
• sin importar la interpretación,
• Si todas las premisas son verdaderas, la
  conclusión debe ser necesariamente verdadera.
• Dicho de otra manera, es lógicamente correcto,
  si no hay interpretación alguna para la cual las
  premisas sean todas verdaderas y la conclusión
  sea falsa.

57

• Hay ejemplos de los cuatro tipos de argumentos
• Correcto con conclusión verdadera
• Correcto con conclusión falsa
• Incorrecto con conclusión verdadera
• Incorrecto con conclusión falsa
• (Aquí verdadera o falsa es respecto a la
  interpretación natural)

58
Esto es correcto con conclusión falsa? O
incorrecto con conclusión verdadera?
59
ALGUNAS PRECISIONES

• Obsérvese que en un argumento correcto, si las
  premisas son todas verdaderas, la conclusión será
  necesariamente verdadera.
• Por lo tanto, en un argumento correcto, si la
  conclusión es falsa, entonces al menos una de las
  premisas debe ser falsa.
• No importa la interpretación!

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MEDITACIÓN

• Si un argumento es incorrecto, lo único que
  podemos decir es que hay una interpretación para
  la cual las premisas son verdaderas y la
  conclusión es falsa.
• Pero con otras interpretaciones puede suceder
  cualquiera otra cosa.

61
EJEMPLOS

• Considere el siguiente argumento
• Juan vendrá, si hay buen día.
• No hay buen día.
• ? Juan no vendrá
• a) El argumento es lógicamente correcto?
• b) El argumento es lógicamente incorrecto?

62
EJEMPLOS

• Juan vendrá, si hay buen día.
• No hay buen día.
• ? Juan no vendrá
• El argumento es lógicamente incorrecto
• la conclusión no se sigue de las premisas.
• Es posible una interpretación donde las
• premisas sean verdaderas y la conclusión
• falsa.

63
Una última observación

• Si en un argumento, la conclusión es falsa con
  alguna interpretación, sólo podemos concluir que
  
• o bien el argumento es incorrecto, o bien alguna
  de las premisas es falsa.

64
Ahora bien

• Cómo podemos demostrar que un argumento
  incorrecto es efectivamente incorrecto?
• La manera de hacerlo es dando una interpretación
  conveniente al lenguaje involucrado, de modo que
  resulte que las premisas sean todas verdaderas y
  la conclusión sea falsa.

65
Ejemplos con interpretación natural

• A)ARGUMENTO CORRECTO C)ARGUMENTO INCORRECTO
  CON CONCLUSIÓN VERD. CON CONCLUSIÓN VERD.
• Todo hombre es mortal. Todo pingüino es ave.
• Sócrates es hombre. Mi perro no es
  pingüino.
• ? Sócrates es mortal ? Mi perro no es ave.
• B)ARGUMENTO CORRECTO D) ARGUMETO INCORRECTO
• CON CONCLUSIÓN FALSA CON CONCLUSIÓN
  FALSA
• Toda ave es voladora. Todo pez es nadador.
• El avestruz es ave. El delfín no es
  pez(mamíf)
• ?El avestruz es volador ?El delfín noes nadador

66

• Los dos ejemplos de argumentos incorrectos C)
  y D) tienen
• la misma forma
• El hecho de que la conclusión pueda ser verdadera
  (con la interpretación usual) es una
  contingencia.
• Es decir, se debe a la casualidad, si únicamente
  consideramos las premisas dadas.

67
Para demostrar que el argumento C) es incorrecto,
la interpretación natural no sirve. Pero basta
con cambiar ave por animal

• Otra interpretación con igual forma lógica
  respecto a la cual las premisas son verdaderas y
  la conclusión falsa
• Todo pingüino es animal.
• Mi perro no es pingüino.
• ? Mi perro no es animal.

68
Ejemplos de argumentos, con la interpretación
natural de la aritmética, son los siguientes

• A)ARGUMENTO CORRECTO C)ARGUMENTO INCORRECTO CON
  CONCLUSIÓN VERD CON CONCLUSIÓN VERD
• Todo múltiplo de 6 Todo número con
  exactamente
• es múltiplo de 3. dos
  divisores es primo.
• 12 es múltiplo de 6. 4 no tiene
  exactamente n
  dos divisores(Tiene tres1,2,4)
• ?12 es múltiplo de 3. ? 4 no es
  primo.
• B)ARGUMENTO CORRECTO D)ARGUMETO INCORRECTO
  CON CONCLUSIÓN FALSA
  CON CONCLUSIÓN FALSA
• Todo múltiplo de 4 es par. Todo múltiplo de 6
  es par.
• 5 es múltiplo de 4. 8 no es
  múltiplo de 6.
• ? 5 es par. ?8 no es par.

69
Para demostrar que el argumento C) es incorrecto,
la interpretación natural no sirve, pues tanto
las premisas como la conclusión son verdaderas.

• Damos otra interpretación con igual forma lógica
  respecto a la cual las premisas son verdaderas y
  la conclusión falsa
• Todo polinomio con exactamente dos raíces es
  cuadrático.
• X2-4x4 no tiene exactamente dos raíces. (Su
  única raíz (doble) es 2)
• ? X2 - 4x 4 no es cuadrático.

70
Y cómo demostramos la correctud de un argumento?

• La manera directa de demostrar que un argumento
  es correcto, consiste en suponer verdaderas todas
  las premisas pero sin tomar en cuenta ninguna
  interpretación particular. A partir de eso,
  usando únicamente los criterios de verdad, hacer
  ver que la conclusión es necesariamente verdadera.

71
La manera indirecta

• En algunos casos la manera directa no es posible,
  por lo que hay que hacerlo de modo indirecto por
  reducción al absurdo, es decir suponiendo que
  hubiera una interpretación respecto a la cual
  todas las premisas fueran verdaderas y la
  conclusión fuera falsa. A partir de ahí, llegar a
  una contradicción.

72
Escribir el número y su respuesta

• 1. Considere el siguiente argumento
• Todos los borogroves son kismis, si alguien
  tirila.
• Nito tirila y Pac es un borogrove.
• ? Pac es un kismi.
• a) El argumento es lógicamente correcto
• b) El argumento es lógicamente incorrecto

73
Escribir el número y su respuesta

• 2. Considere el siguiente argumento
• Todos le tienen miedo a Drácula.
• Drácula sólo le tiene miedo a William.
• ? William es Drácula.
• a) El argumento es lógicamente correcto
• b) El argumento es lógicamente incorrecto

74
Escribir el número y su respuesta

• 3. Considere el siguiente argumento
• Si hoy es jueves entonces mañana será viernes.
• Mañana será viernes.
• ? hoy es jueves.
• a) El argumento es lógicamente correcto
• b)El argumento es lógicamente incorrecto

75

• 4. Considere el siguiente argumento
• Juan es hermano de todos los hermanos de Roberto.
• Juan no es hermano de sí mismo
• ?Juan no es hermano de Roberto
• a) El argumento es lógicamente correcto
• b) El argumento es lógicamente incorrecto

76

• 5. Considere el siguiente argumento
• X es un número menor que todos los números
  menores que Y.
• X no es menor que X.
• ? X no es menor que Y.
• a) El argumento es lógicamente correcto
• b) El argumento es lógicamente incorrecto

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• 6. Considere el siguiente argumento
• Algunos humanos son mexicanos.
• Algunos mexicanos fuman.
• ? Algunos humanos fuman.
• a) El argumento es lógicamente correcto
• b) El argumento es lógicamente incorrecto

78
7. Considere el siguiente argumento

• Hay una lanza que perfora a todos los escudos.
• Hay un escudo al que no lo perfora ninguna lanza.
• ? Hay una lanza que perfora y no
  perfora a un escudo.
• a) El argumento es lógicamente correcto
• b) El argumento es lógicamente incorrecto

79

• 8. Considere el siguiente argumento
• 2 divide al numerador de 6/8.
• 6/8 3/4.
• ? 2 divide al numerador de 3/4
• a) El argumento es lógicamente correcto
• b) El argumento es lógicamente incorrecto

80

• 9. Considere el siguiente argumento
• Romeo ama a Julieta.
• Julieta es una palabra de siete letras.
• ? Romeo ama a una palabra de siete letras.
• a) El argumento es lógicamente correcto
• b) El argumento es lógicamente incorrecto

81

• 10. Considere el siguiente argumento
• Cualquier barbero de Ensenada, rasura a todos los
  hombres de Ensenada que no se rasuran a sí mismos
  y sólo a esos.
• ? No hay barberos en Ensenada.
• a) El argumento es lógicamente correcto
• b) El argumento es lógicamente incorrecto

82
Respuestas Correctas

• 1. a)
• 2. a)
• 3. b)
• 4. a)
• 5. a)
• 6. b)
• 7. a)
• 8. a)
• 9. a)
• 10. a)

83
ENFOQUE AXIOMÁTICO

• Sistematización de razonamientos válidos y
  fórmulas lógicamente válidas de LP
• Mediante un sistema formal axiomático axiomas y
  reglas de inferencia
• Mediante un sistema formal de deducción natural
  sólo reglas

84
En el caso de LP, se han construido sistemas
formales completos

• Permiten derivar todas las fórmulas
  universalmente válidas
• Permiten derivar todos los razonamientos válidos
  en LP

85
Y por otro lado, son correctos

• Toda fórmula derivable en tales sistemas formales
  es una verdad lógica
• Todo razonamiento derivable de tales sistemas es
  válido

86
REGLAS DE INFERENCIA CUANTIFICACIONALES

• La letra f denota fórmulas, las letras x, y, z
  denotan variables.
• La letra t denota términos variables, constantes
  o funciones aplicadas a términos.
• Es muy importante precisar con rigor las
  restricciones. Es común cometer errores o
  entender mal estas reglas.

87
1. IU INSTANCIACIÓN UNIVERSAL

• ?xf(x)
• 
  
  __________________________________________________
  ____________________
• f(t)
• f(t) resulta de sustituir t en los lugares
• de las presencias libres de x en f(x)
• Ejemplos ?x P(x)
• 
  
  
  
  ______________________
  ________________________________________________
  
• P(c)
• ?xR(a, x) ?x?yR(x, y) ?x?yR(x, y)
• ______________________________________
  ____________________________________________
  
  __________________________________________________
  ________________________________________________
  _______________________________
  __________________________________________________
  ________________
• R(a, b) ?yR(c, y)
  ?yR(z, y)

88
1. IU INSTANCIACIÓN UNIVERSAL

• Restricción Si t es una variable y, o bien y
  aparece en t, entonces ninguna presencia de x en
  f(x) debe estar afectada por un cuantificador con
  esa variable y.
• Ejemplos de Error
• ?x?yR(x, y) ?x?y P(x) ? ? P(y)
• __________________________________________________
  _______________________________________________
  
  __________________________________________________
  __________________________________________________
  _____________________________________
• ?yR(y, y) ?y P(y) ? ? P(y)

89
2.GE GENERALIZACIÓN EXISTENCIAL

• f(t)
• 
  ___________________________________
• ?x f(x)
• f(t) resulta de sustituir t en los lugares
• de las presencias libres de x en f(x)
• Ejemplos P(c)
• 
  _______________________
  ________
• ?x P(x)
• R(a, b) R(a, b) ? P(a)
• _________________________________
  
  __________________________________________________
  _____________
• ?x R(x, b) ?x R(x, b) ? P(x)

90
2. GE GENERALIZACIÓN EXISTENCIAL

• Misma restricción de IU Si t es y, o bien y
  aparece en t, entonces ninguna presencia de x en
  f(x) debe estar afectada por un cuantificador con
  esa variable y.
• Ejemplos de Error
• ?y R(y, y) ?y P(y) ? Q(y)
• __________________________________________________
  _______________________________________________
  
  __________________________________________________
  __________________________________________________
  __________________________________
• ?x ?y R(x, y) ?x?y P(y) ? Q(x)

91
3. GU GENERALIZACIÓN UNIVERSAL

• Si x es variable que no aparece libre en fórmulas
  de G y además G f(x), entonces G ?x f(x)
• Intuición Si podemos probar f(x) sin ninguna
  suposición sobre x, podemos por ser arbitrario,
  afirmar que ?x f(x)
• Obs P(x) P(x), pero P(x) ? ?x P(x)
• Ejemplo ?x?y f(x, y) ?y?x f(x, y)

92
3. GU GENERALIZACIÓN UNIVERSAL

• ?x?y f(x, y) ?y f(x, y) IU(tx)
• ?y f(x, y) f(x, y) IU(ty)
• 3. ?x?y f(x, y) f(x, y) Trans1,2
• 4. ?x?y f(x, y) ?x f(x, y) GU,3
• 5. ?x?y f(x, y) ?y?x f(x, y) GU,4

93
4. IE INSTANCIACIÓN EXISTENCIAL

• Si c es una constante nueva que no aparece en
  f(x), ni en ?, ni en G, y además G, f(c) ?
• entonces G, ?xf(x) ?
• IE no afirma que ?xf(x) f(c) Esto es
  falso, por ejemplo
• ?x Vuela (x) ? Vuela (juan)

94
4. IE INSTANCIACIÓN EXISTENCIAL

• Si c es una constante que no aparece en f(x), ni
  en ?, ni en G, y además G, f(c) ? entonces
  G, ?xf(x) ?
• Intuición Supongamos que sabemos que hay x tal
  que cumple f. Es decir sabemos que ?xf(x).
  Llamemos c a tal individuo. Ahora, si a partir
  de f(c) probamos ?, entonces podemos probar ?

95
4. IE INSTANCIACIÓN EXISTENCIAL

• Ejemplo
• ?x ?y P(x, y) ?y ?x P(x, y)
• Por la regla IE, es suficiente probar
• ?y P(c, y) ?y ?x P(x, y).
• Donde c es una constante nueva que no aparece en
  f(x) ?y P(x, y) ni en ? ?y ?x P(x, y),
  ni en G ø

96
4. IE INSTANCIACIÓN EXISTENCIAL

• Prueba de ?y P(c, y) ?y?x P(x, y)
• ?y P(c, y) P(c, y) IU(ty)
• P(c, y) ?x P(x, y) GE(tc)
• 3. ?y P(c, y) ?xP(x, y) Trans1,2
• 4. ?y P(c, y) ?y?xP(x, y) GU,3
• 
  (y NO
  LIBRE EN HIPOTESIS)
• ??x?yP(x, y) ?y?xP(x, y) IE,4

97
RAZONAMIENTO AUTOMÁTICO

• Procedimientos de prueba automática de teoremas
  en cualquier teoría finitamente axiomatizable en
  un lenguaje de primer orden con igualdad.
• Para cualquier conjunto finito de enunciados A1,
  . . . ,An y cualquier enunciado B en un lenguaje
  de primer orden con igualdad.
• A1, . . . ,An ?? B ?

98
Teorema

• Para cualquier conjunto finito de enunciados A1,
  . . . ,An y cualquier enunciado B en un lenguaje
  de primer orden con igualdad
• B es teorema a partir de
• A1, . . . , An sí y sólo sí el
  procedimiento así lo indica

99
Ejemplos

• 1. Prueba de la cancelación para la
  multiplicación a partir de los axiomas de grupo.
• 2. Prueba de que una relación R es reflexiva,
  suponiendo que R sea simétrica, transitiva y sin
  puntos aislados (para todo x hay un z tal que x
  está R-relacionado con z o z está R-relacionado
  con x)

100
Dos ejemplos sencillos (argumentos)

• La conclusión del argumento es un teorema a
  partir de las premisas, que serán las hipótesis.
• ARGUMENTO 1
• Juan es hermano de todos los hermanos de Roberto.
• Juan no es hermano de sí mismo.
• Juan no es hermano de Roberto.
• ARGUMENTO 2
• Todos le tienen miedo a Drácula.
• Drácula sólo le tiene miedo a Pedro.
• ? Pedro es Drácula.

101
PRERREQUISITOS

• 1. HACEMOS LA TRADUCCIÓN Y LO VEMOS COMO
  CONSECUENCIA LÓGICA
• A1, . . . ,An ?? B
• 2. TEOREMA BÁSICO PARA PRUEBAS POR REFUTACIÓN
• A1, . . . , An ?? B si y sólo si
• (A1? . . . ?An? ?B) no es satisfacible
• 3. TRANSFORMACIÓN A FORMA CLAUSULAR (CONJUNCIÓN
  DE CLÁUSULAS)
• Las cláusulas son disyunciones de atómicas o
  atómicas negadas.
• Toda fórmula A puede transformarse a una
  conjunción de
• cláusulas, llamada forma clausular denotada CL
  (A).
• (A1? . . . ?An ? ?B) gt CL(A1? . . . ?An??B)

102
Teorema de Skolem

• A es insatisfacible si y sólo si CL(A) es
  insatisfacible
• MÁS GENERALMENTE
• Un conjunto de enunciados es insatisfacible si y
  sólo si el conjunto de formas clausulares de
  ellos es insatisfacible.

103
REGLA DE RESOLUCIÓN (Robinson 1965)

• La regla RESOLUCIÓN generaliza al silogismo
  disyuntivo
• A ? B
• A
• __________________________
• B
• A CASOS COMO
• A ? B ? D
• A ? C ? E
• ______________________________________
  _______________
• B ? C ? D ? E

104
La regla Resolución nos permite hacer todas las
inferencias de tipo

• L ? Q1 ? ... ? Qm
  Cláusulas
• L ? R1 ? ... ? Rn
  Padres
• ______________________________________________
  __________________
  ____________________
• Q1 ? ... ? Qm ? R1 ? ... ? Rn Resolvente
• Y en el caso especial de tener como cláusulas
  padres a L y L? El resolvente es nada y lo
  llamamos cláusula vacía denotado ? y significa
  que hubo una contradicción o es insatisfacible

105
RESOLUCIÓN CON UNIFICACIÓN

• Q(x,b) ? P(x,a)
• Q(a,w) ? R(w,b)
• -----------------------------------
• P(a,a) ? R(b,b) x/a, w/b es el
  u
  unificador
• Obsérvese que al hacer la sustitución del
  unificador Q(x,b) y Q(a,w) quedan como Q(a,b) y
  Q(a,b) por lo que se eliminan. Desde luego el
  resolvente queda afectado por la sustitución.

106
Teorema de Loveland

• Si K es un conjunto de cláusulas de un lenguaje
  de primer orden con igualdad, entonces K es
  insatisfacible si y sólo si hay una deducción
  de la cláusula vacía ? a partir de K, usando
  únicamente resolución.

107
COROLARIO D. A. T.

• Si B es teorema a partir de A1, ..., An
• 1. Negar B (?B)
• 2. Formar el conjunto K B, A1, ..., An en
  forma clausular.
• 3. Aplicar pasos de resolución a K hasta
• obtener la cláusula vacía ?.
• B es teorema a partir de A1, ...,An si y sólo si
  se obtiene la cláusula vacía ?, a partir de K.

108
EJEMPLO 1

• Juan es hermano de todos los hermanos de
  Roberto.
• Juan no es hermano de sí mismo.
  
• ? Juan no es hermano de Roberto
• SIMBOLIZACIÓN DE CONSECUENCIA LÓGICA
• ?x H(x,r)? H(j,x), ?H(j,j) ?? ?H(j,r)
• Por Teo. Básico, No Satisfacible
• ?xH(x,r)? H(j,x), ?H(j,j), ??H(j,r)
• Por Teo Skolem, No Satisfacible
• K ?H(x,r) ? H(j,x), ?H(j,j), H(j,r)
• X/j
  RESOLUCIÓN
• ? TEO.
  LOVELAND

109
EJEMPLO 2

• Todos le tienen miedo a Drácula.
• Drácula sólo le tiene miedo a Pedro
• ? Pedro es Drácula.
• SIMBOLIZACIÓN DE CONSECUENCIA LÓGICA
• ?xM(x,d), ?xM(d,x)? (xp) ?? (pd)
• Por Teo. Básico, No Satisfacible
• ?xM(x,d) , ?xM(d,x)? (xp) , (p?d)
• Por Teo. Skolem, No Satisfacible
• K M(x,d), ?M(d,x)?(x p), (p ? d)
• X/d Resolución
  y Paramodulación
• ? TEO.
  LOVELAND

110
PROGRAMA LÓGICO P

• padre(x, y) ? padre(y, z) ? abuelo(x,
  z)
• hijo(x, y) ? padre(y, x)
• padre(juan, raul).
• hijo(juan, roberto).
• Pregunta
• ?abuelo(roberto, w)
• Respuesta
• w raul
• Significado P ?? abuelo(roberto, raul)

111
(No Transcript)
112
BIBLIOGRAFIA BASICA

• La enseñanza del análisis lógico, J.A. Amor, en
  La Razón Comunicada II, TDL, 2003.
• Introducción a la lógica, LTF Gamut, Editorial
  Eudeba, Argentina, 2002.
• Lógica clásica de primer orden con igualdad, J.A.
  Amor, notas de clase.

113
BIBLIOGRAFÍACOMPLEMENTARIA

• Amor J. A., Paradojas, intuición y lógica,
  revista Ciencias no.29, Facultad de Ciencias,
  UNAM, 1993.
• Easley, J. A. Lógica y heurística en la reforma
  curricular de las matemáticas, Matemáticas y
  Enseñanza, Nos. 7 y 8, SMM, 1976.
• Solow, D. Cómo entender y hacer demostraciones en
  matemáticas, Limusa, 1987.
• Polya, G., Cómo plantear y resolver problemas,
  Editorial Trillas, 1965.
• Smullyan Raymond, Cómo se llama este libro?,
  Editorial Cátedra colec. Teorema, 1978.
• Tarski Alfred, Truth and proof, Scientific
  American, junio 1969.
• Torres Torija, Planteo y resolución de
  problemas, Editorial Trillas, 1976.

114
MÁS BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA

• Barwise, Jon et. al. Handbook of mathematical
  logic Amsterdam North-Holland, 1977.
• Una introducción Matemática a la lógica,
  2a.Edicion, E. Enderton, traducción de J.A. Amor,
  IIF-UNAM, 2004. Version original A mathematical
  introduction to logic, 2nd. edition, E. Enderton,
  Academic Press, 2001.
• Mendelson, Elliot. Introduction to mathematical
  logic. Pacific Grove, California Wadsworth,
  1987.
• Suppes, Patrick Colonel. Introducción a la lógica
  simbólica. Tr. por Gabriel Aguirre Carrasco.
  México Continental,1956