?????????????? (sequences and series)

1
?????????????? (sequences and series)
?????????????? ??????????????? ???????
??????????????? ??? ??????????????
?????????????????????????????? ???? a.) 1,1,1,
b.)1,2,3,4,5, c.) 1,2,4,8,16, d.)
1,1,2,3,5,8,13, e.)1111 f.) 123456
2
????? (sequences)
????????????????? ????????????????????????????????
????????????????
???????? ?????????? n (nth-term)
3
????????????????????
????? Fibonacci
1 1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
http//www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibon
acci/fibnat.htmlspiral
4
http//www.popmath.org.uk/rpamaths/rpampages/sunfl
ower.html
http//www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibon
acci
5
???? an ????????????????
1,1,1,
???? an ????????????????
1,1.1,1.01,1.001,
6
???? an ????????????????
1,2,3,
???? an ????????????????
2,4,6,8,
7
???? an ????????????????
12,14,16,18,
8
???? a1 ,a2 ,a3,a4 ,a5 ????? an ?????
9
???? a1 ,a2 ,a3,a4 ,a5 ????? an ?????
10
???? a3 ,a4 ,a5,a6 ,a7 ????? an ?????
11
???????????? (arithmetic sequences)
???????????? ??????? ???????????????????? (common
difference) ???? ????????????
12
????????????????????
1,1,1,
???????????????????????????
13
????????????????????
1,2,3,4,5,
???????????????????????????
14
????????????????????
3,4,5,6,7,
???????????????????????????
15
?????????????????????
???????????? ?????????????
???????????????
16
??????????? 20 ??? 40 ???????????????????????
17
?????????? 6 ?????????? 10 ??????????????????????
??????? 22 ??? 38 ????????
??????????? 1 ??? 100 ???????????????????????
18
???????????? an ?????????????? 5 ??? 11 ?????????
3 ??? 15????????
???????????????????????????????? ???
1) 3
2) 2
3) 0
4) -2
5) -3
19
???????????? an ?????????????? 5 ??? 11 ?????????
3 ??? 15????????
a1 (??????????????????? 1) ??????????????????
1) -1
2) 1
3) 3
4) 5
5) 7
20
???????????? an ?????????????? 5 ??? 11 ?????????
3 ??? 15????????
a100 (??????????????????? 100)
??????????????????
1) 193
2) -193
3) 195
4) -195
5) 205
21
????????????? (geometric sequences)
????????????? ??????? ???????????????????????
(common ratio) ???? ????????????
22
?????????????????????
1,1,1,
??????????????????????????????
23
?????????????????????
1,-1,1,-1,1,
??????????????????????????????
24
?????????????????????
2,4,8,16,32,
??????????????????????????????
25
??????????????????????
????????????? ?????????????
???????????????
26
??????????? 5 ??? 10 ????????????????????????
27
?????????? 3 ?????????? 6 ???????????????????????
??????? 15 ??? 120 ????????
??????????? 1 ??? ????????????????????????????? ??
??????
28
????????????? rn ?????????????? 3 ??? 6 ?????????
8 ??? 1 ????????
???????????????????????????????????? ???
1) 2
2)
3)
4)
5)
29
????????????? rn ?????????????? 3 ??? 6 ?????????
8 ??? 1 ????????
r1 (???????????????????? 1) ??????????????????
1) 2
2) -4
3) 8
4) -16
5) 32
30
????????????? rn ?????????????? 3 ??? 6 ?????????
8 ??? 1 ????????
r10 (???????????????????? 10) ??????????????????
1)
2)
3) 1
4) -4
5) 16
31
????????????????????????
?????????? (finite sequences) ???????
???????????????????????????????? ? ?????????
1,2,3,,100
??????????????????????????? 100 ????
10,20,30,,100
??????????????????????????? ????
1,2,4,,1024
??????????????????????????? ????
32
??????????? (infinite sequences) ???????
??????????????????????????????? ????
1,2,3,,n,...
1,2,4,8,16,,2n-1,...
1.1,1.01,1.001,1.0001,, ,...
33
????????????
1.1,1.01,1.001,1.0001,, ,...
????? n ???????????????? ?????????????????
( ???????? ??? n tends to
infinity ???? n
???????????????)
34
???????????????????????
( ??????????? limit n tends to infinity of an
???? ????? n ???????????????? an)
???
35
???
????
???????????????
?????????????????? ????????????? A ????? n
???????????????
converges to A as n tends to infinity.
???
????
???????????????????????????
?????????????????? ??????
diverges as n tends to infinity.
36
????????????????? n ????????????????????? an ???
bn
???
???
????? c ???????????????
1.)
2.)
37
3.)
4.)
38
5.)
6.)
?????
39
7.)
8.)
???
9.)
???
?????????
40
??????????????????????????????????????????
?????????? ?????????????????????????
41
?????? (series)
?????????????????? ?????????????????????????????
???? 1111...
1234...
1-11-1-...
124816...
42
????????????? (arithmetic series)
????????????? ??????? ????????????????????????????
????????????????????? ???? ???
????????????????
43
?????????????????????
44
?????????????????????
45
??????????????????????
????????????? ?????????????
???????????????
46
????????????????????
47
????????????????????
48
???????????? an ?????????????? 5 ??? 11 ?????????
3 ??? 15????????
????????
????????????????????????????????????????
???????
1) -9400
2) -9800
3) -9600
4) 10400
5) 10600
49
?????????????? (geometic series)
?????????????? ??????? ???????????????????????????
??????????????????????? ???? ???
?????????????????
50
??????????????????????
51
??????????????????????
52
??????????????????????
53
???????????????????????
?????????????? ?????????????
???????????????
54
???????????????????????
????
?????
55
??????????????????????
56
?????????????????????
57
????????????????????? 8 ?????????????
58
????????????? rn ?????????????? 3 ??? 6 ?????????
8 ??? 1 ????????
????????
??????????????????????????????????????????
???????
1) 48
2) 56
3) 60
4) 62
5) 63
59
??????????????????????????
??????????? (finite series) ???????
????????????????????????????????????? ? ?????????
123100
???????????????????????????? 100 ????
????????????
1241024
???????????????????????????? ????
????????????
60
???????????? (infinite series) ???????
???????????????????????????????????????? ????
123n...
61
???
????
???????????????
??????????????????? ????????????? A ?????
n ???????????????
converges to A as n tends to infinity.
Series
???
????
???????????????????????????
??????????????????? ??????
Series
diverges as n tends to infinity.
62
???????? ???????????????
???????????????????
????????
63
(No Transcript)
64
??????????????
???
???????
???????
(
)
?????
65
???????????????????????????????????????????
?????????? ?????????????????????????
123n...
66
????????????? rn ?????????????? 3 ??? 6 ?????????
8 ??? 1 ????????
????????
???????
1) 512
2) 256
3) 128
4) 64
5) 32
67
?????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????????????
????? ???????????????????????? ???????????????????
?????????????????????????????????????????????
???? ?????? ??????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????
68
????????????????????????? ????????????????????????
???????? ?????????????????????????????????
?????????????????? ???????????????????????????????
??? Calculus ?????? ???? Stewart, J., Calculus,
early transcendental 6th ed., 2008, USA, Thomson
Brooks/Cole
69
???????
?????????
??????? ????
????????
?????????????
70
????????
????????????
???
????
???????????? ???????????????
????????????
??????????????????????
71
???????
???
???? ??????????????
???
??????
????
????????
?????????????
72
???????? ?????????????? ????????????????????
???
???
???
73
?????????
???????
???
??????????? ????????????????
???????????
(????? c ?????????????? ?)
,
???
74
????????
???????
75
????????????????????
(The Integral Test)
??????????????????????????????????????????????????
???????? ????????????????????????
?????????????????????????????? ???????????????????
??????????????????????????????????????????????????
?????
76
??????
???????
???????
???????
???????
???????
77
???????
???????
???????
???????
???????
???????
78
????????????????
Leonhard Euler (1707-1783) ??????????????????????
?????
?????????????????????????????? (Taylor
series) ??????????????????????????????????????????
???????????
79
??????
???????
???????
???????
???????
80
???????
???????
???????
???????
???????
??????????
81
????????????????
??????????????????
??????
82
???????
???
???????????????????????? ????????????? ???
??????????????
???????
??????
??????
1)
???
??????? ????
???????
2)
???
?????? ????
??????
????????
?????????????
83
????????
?????????????
84
????????
?????????????
85
???????
?????? p (p-series)
??????????
?????????
86
??????????????????????????
(The Comparison Test)
?????????????????????????? ????????????????? ????
??????????????????????????????????????????????????
????????????????????? ????????????????????????????
?????????? ???????????????????????????????????????
????????????
87
?????????
???????
????????????????????????????
???
??????????????
??????????
1) ???
??? ? ??? n ????
???????????
?????????
2) ???
??? ? ??? n ????
??????????
88
????????????????????????????????
???????
???
??????????????
1.
??????
???
???????
???
?????? p
2.
??????
???
89
?????????????????
????????
????????????????
90
?????????????????
????????
????????????????
91
?????????????????
????????
????????????????
92
?????????
???????
????????????????????????????
???
??????????????
???
????? c ???????????????????????????
(?????????????????????? ???? 0)
???????
????
1) ???
???????????
??????
????
??????????
2) ???
93
?????????????????
????????
????????????????
94
?????????????????
????????
????????????????
95
?????????? (alternating series)
?????????? ???????????????????????????????????????
?????????
????????????
96
?????????????????????????
????
?????????????
?????
????????????
97
?????????
???????
????
?????????????? ???
????????? ?
1)
2)
????????????????????????????????????????????
98
????????
?????
???
????????????????????????????????????????????
??? !!! ???????????????
??????
99
????????
100
????????
101
?????????????????? (absolute convergence)
?????????????
???????
???
???????
???????????????????
???????????????????????
102
????????
??????
???????
???????????????
?
?
?
?
?
?
103
???????????????????? (conditionally convergence)
?????????????
???????
???
??????????
???????
???
???????????????????
?????????????????????????
104
????????
??????
???????
?????????????????
???????????????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
105
?????????
???????
???????????????????????? ??????????
?????????????????
???????????????
?????????????????
????????
106
?????????????????????
(The Ratio Test)
????????????????????? ????????????????????????????
????????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????????????
??????????????????
107
?????????????????????
???? ??????
1) ???
??????????????
(??????????????)
???? ??????
2) ???
??????
???? ???????????????????????????????????????
3) ???
??????????????
108
?????????????????
????????
????????????????
109
????????
????????????????
?????????????????
110
?????????
????????????????????????????????????????
111
(No Transcript)
112
(No Transcript)
113
(No Transcript)
114
(No Transcript)
115
(No Transcript)
116
(No Transcript)