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• ?. ?????, 1979.

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  ????????????????? ????????? ???????????
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• ??????? ??????? ???????? ??????????,
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  ??????????, ??????????? ???????? ??????????.

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  BISC ? ???????????? ??????

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???????????? ??????????? ??? ????????????
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????????????.?.?. ?????? ????
??.?.?.???????, 2011.
36
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• ??????????? ???????????????? ????????.
• ??????? ?????????? ?.????
• ??? ??????????? ?????? ? ???????? ??????????
  ???????
• ??????? ?????????? ??????? ??????????,
  ???????????????
• ??????????? ?????? ?????????? Zadeh, 2000

38
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  ?????????????? ? ?????????????? ?????????
  ????????? ??????????.
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  ???????????, ??????, ??????? ? ????????????????
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  ??????????? ?????????? ?????????????
  ????????????? ?????.
• ?? ????????? ??????????? ?????????? ?
  ?????????????, ?????????????? ? ????????????????
  ?????????? ???????????.
• ???????????????? ?????????? ???????????
  ?????????? ???????? ??????????, ?????????????,
  ????????????? ? ????????????? ?????? ?
  ???????????? ? ?????????? ????????.
• ??????? ????????? ?omputational Intelligence,
  Natural
• Computations, Human-Centric Computing.

39
??????????? ?????????? ????????? ?????????? ?
???????????? ?????????

• ????????????????? ?????? ?????????? ?????????? ?
  ??????????? ?????????? ???????? L.Zadeh, Yiyu
  Yao, W.Pedrycz, T.-Y. Lin, R.Yager, A.Skowron,
  ?.?.????????, ?.?????????.
• ??????? ???????????? ?????????
• ?????????? Bargiela A., Pedrycz W. Granular
  Computing an Introduction. Dordrecht Kluwer
  Academic Publishers, 2003.
• ??????????? ??????????? Handbook of Granular
  Computing/ Ed.by W.Pedrycz, A.Skowron and
  V.Kreinovich. New York Wiley InterScience,
  2008. 1116 c.
• Proceedings of International Conferences Rough
  Sets, Fuzzy Sets, Data Mining and Granular
  Computing - ??????? ? ???? 2011 ?. ? ??????
  ?????? ??? 13-? ??????????? ? ????? ?????????.
• ????????????? ?????? International Journal of
  Granular Computing, Rough Sets and Intelligent
  Systems (???????? ? 2010 ?.)

40
???????? ?????? ??????

• ?????????
• ????????
• ????????? ?????????
• ???????????????? ?????????
• ???????????????? ?????????
• ???????????? ?????????
• ???????????????
• ???????? ?????????
• ??????????????? ??????????
• ????????? ????? ??????????? ??????????
• ????????, ?????????, ???????????

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41
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• ????? ????????? ????? ????? ?????????? ??????????
  ???????????
• ??????? ????????
• G ? X, GR, M, R, T ?,
• ??? X ?????????? ???????
• GR ????????? ?????????????? ??????
• M ????????? ?????????? ??????? ??????????
• R ????????? ????????? ????? ?????????
• T ????????? ????????? ????? ???????? ??????????
  
• (?????????????? ??????).
• ?????????? ?????????? ????? ???????????? ???????
  ????????
• 1) ?? ?????? ??????? ????????????? ? ???????????
  ???????
• 2) ?? ???? ???????????????? ??????? ? ???????
  ?????????
• ??????????? ? ????????????? ????????

42
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43
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44
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• ????????? ????? ?????????? ??? ??????-?????????,
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  ???????? ??????????????, ?????????????? ?
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  ?????????? x.

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45
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  ?????.
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• ???????????? ????????? ????????????, ??????????
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  ????????
• ??????? ????????????.
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  ??????????.
• ???????? ????????? R ?????????? ???????????
  (????????) ?,
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• 1) R(x, x) 0 , ?(x, x)? X ? X
  (??????????????????)
• 2) R(x, y) R(y, x), ?(x, y), ( y, x) ? X ? X
  (??????????????)
• 3) R(x, z) ? R(x, y) ? R(y, z), ?(x, z),(x,
  y),(y, z) ?X ? X (??????????????).
• ?? ????, ??????? ????????? ? ??????????? ????????
  ???????????
• ????? ??????????? ??????????, ??? ??
  ????????????? ??????
• ???????

46
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• ???????????. ??????????? ?????????????? ???????
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• ??? XG ???? ???????? ??????? ???????????
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  ????????
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• RG ???? ????????? ??????????? ????????? ?? XG
  (????????,
• ????????? ????????, ?????????, , n-?????
  ?????????, ??????????
• ? ??????? ???????????),
• ?G ???? ????????? ??????????? ???????? ?? XG (?
  ?????????,
• ????????? ?????????? ???????? ??????????? ?
  ???????????,
• ?????????? ???????????? ??????? ? ?????????)
• ??? ?????? XG?
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• ?????? ? ?????????? ??? ???????????.

47
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?????????? ?????? ??????????? ?????????
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1,,n 2. ??????????? ????????? ??? ?????????
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48
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• ??????? ? ???????? ????????????? ? ??????????
  ??????? ???????????
• ???????????? ??????????.
• ????? X ??????? ?????????, ? 2X ????????? ????
  ???????????,
• ???????????? ?? X.
• ????? ???? ????????????? (??????????) ????
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• gr 2X? R, R 0,?),
• ????? ???
• 1) gr (A) 0 ????? ? ?????? ?????, ????? A ????
  ????????????
• ?????????, Ax (c????? ??????????? ??????)
• 2) ?A,B?2X, A?B ? gr (A)? gr (B).

A
B
49
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• ???????????? ?????????? ??????? ? ??????????
  ?????? ?????? ????????? ?? ??????? ?????????,
  ?????????, ?????????, ????????, ???????????,
  ????????????? (?????? ???????????? ????????),
  ????????????? (?????? ???????????, ??????
  ?????????-???????) ? ??.
• ??????? ???????? ??????????? ????????? ????????
• ????????? ??????????? ?????????????? ?????????.
• ????????? ????????? ????????? ????????????
  ????????? ?????????
• ??????????? ?????? ???????????
• ????????????????
  ?????? ?????????? ??????????

50
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????????? ????????? ???????????????

• ?????????? ???????? ??????? ?? ???? ?????????
  ????????? ???????????????.
• ????? R ???????? ???????? ????????? ? ????????
  ??????????????
• ?R X?X ? 0,1.
• ????? ???????? ??? ???????? ??????????
  ??????????????? E, ???? ???????????
• ????????? ???????
• 1) µR(x, x)1, ?(x, x)?X?X (??????????????)
• 2) µR(x, y) µR(y, x), ?(x, y), (y, x) ? X?X
  (??????????????)
• 3) µR(x, z) max min (µR(x,y), µR(y, z), ? (x,
  z), (x, y), (y, z) ? X?X (??????????????).
• ???? APR?X, E? ?????????? ???????? ?????????????
  ???????????.
• ????????? ????????? ?-?????? (???????) ?????????
  ????????? R ? ????
• R?(x,y)? ?R(x,y)??, ?(x,y)?X?X, 0???1.
• ???????? ????????? ????????? ????? ??????????
  ????? ??????????
• ????????? ????????? ??????????????? ?? ?-??????.

50
51
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????????? ??????

• ????????? ???????????? ?????????? ????
• ??????? ??????? ??????????? ????????
• ??????? ????????? ?-?????? (?-???????) ?????????
  ?????????
• ? ? ???????? ?????????????? ??(x) ???????????? ?
  ????
• A? x???(x)??, x?X, ??0,1.
• ????? (A ?B)? A? ?B?, (A ?B)? A? ?B?,
  ???0,1.
• ? ?? ?? ?????, A? ???? ???????? ?,1 ???
  ??????????? ?-1,
• ?.?. A? ?-1(?,1).
• ????? ??? ????????????? ????????? ??????
• Supp Ax???(x) ? 0 (??????????, ?????
• ?????????????? ???????)
• Kernel A x???(x) 1 (?????????? ???????)

52
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???????? ? ?????? ????????

• ????????? ????? ???? ???????? ????????
• ?(X) ????? X ? 0,1.
• ? ?? ?? ?????, ?????? ????? ??????????? ????
• ?(0, 1) A??A? 0, 1 ? 2 X.
• ????? ??????? ????? ?????? A? ?????? ?
  ???????????? ???????
• ????? ??0,1 ????????? ???????????? ????????? X.
  
• ???? ? ???? ?? ??????????? ???????
• ?) A0 X
• ?)? ?1, ?2 ?0, 1, ?1??2 ? A?1?A?2, ?? ?????
  ???????????
• ????????? ??????? ???????????.
• ??????? 1 ??????? ? ???????, 1975
• ?????? ?(X) ? ?(0, 1) ????????? ????????????
  ????????
• ??????????? ? ???????????.
• ????????? 1. ????? ???????? ????????? ?????
  ???????????
• ? ??????? ????????? ??? ?????? ???????? ??????.

53
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????????? ?????????? ??????? ??????????????

• ?????????? ????????? ????? ??????????? ???????
  ?????????????? ? ???????? ????????? ??????
  ?????????. ????? ??????? n ?????????, ???????
  ????? ???????? ?? ??? ??? ?? ???????,
  ?????????? ??????? ? ???????? ??????????
  ????????. ????? ????? ???????? ? ???????? ????? m
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  ?????????? ??? ??????? ?????????????? ???????
  ???????? ????????. ????? ??? ???????? ????????
  ??, ?? ??????? ?????????????? ???????? ????????
  ????? 1.
• ??????, ???????????? ?????? ????????? ???????? ?
  ?????????, ??????????? ??????????????.
• ????? ??????? ???????????? ?????????????.
• ????? ??????????? ?????????? ?????? ????? ???????
  ??, ???????????? s,
• ???????? ? ????
• s ? m (1 m)/ n
• ? ????????????? ???????? ???????????? ???????? m
  s, m s.

54
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????????? ????????? ???????????????

• ?????????? ???????? ??????? ?? ???? ?????????
  ????????? ???????????????.
• ????? R ???????? ???????? ????????? ? ????????
  ??????????????
• ?R X?X ? 0,1.
• ????? ???????? ??? ???????? ??????????
  ??????????????? E, ???? ???????????
• ????????? ???????
• 1) µR(x, x)1, ?(x, x)?X?X (??????????????)
• 2) µR(x, y) µR(y, x), ?(x, y), (y, x) ? X?X
  (??????????????)
• 3) µR(x, z) max min (µR(x,y), µR(y, z), ? (x,
  z), (x, y), (y, z) ? X?X (??????????????).
• ???? APR?X, E? ?????????? ???????? ?????????????
  ???????????.
• ????????? ????????? ?-?????? (???????) ?????????
  ????????? R ? ????
• R?(x,y)? ?R(x,y)??, ?(x,y)?X?X, 0???1.
• ???????? ????????? ????????? ????? ??????????
  ????? ??????????
• ????????? ????????? ??????????????? ?? ?-??????.

54
55
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??????????????? ?????????? ??? ??????????? ?????

• ? ???????? ??????? ???????? ?????????? ?????
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• ???????????? ??????????????? ????????
  ???????????????
• ?????????? ?????? ?????????. ????? 7 ??????
  ????????
• ???????? ????-?????????, ?? ?? ??? ?????????,
  ?????????
• ???????? ????? ????????????.

??????????????? ???????? ?? 0 ??????? ??????
1 ????? ????????????? ?????? 2 ???????
????????????? ?????? 3 ??????? ?????????????
?????? 1 ????? ????????????? ?????? 2
??????? ????????????? ?????? 3 ???????
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56
????????????????? ???????? ????????? ???????
???????? ?????????? ??????????

• ????? ????????????? ????????????????? ????????
  ????????? ??? ?????????? ?????? ??? ?????????
  ??????? ??????????.
• ????????????????? ???????? ????????? ???? ???????
  ???? ? ?????? T??????, 1987 ??? ????????????
  ??????????????? ?????? ?????????????? ? ?????
  ??????? ????????????? ???????? ????????? ?
  ??????? ???????? ???????.
• ????? ? Ta?????, 2008 ??? ???? ????????? ??
  ??????, ????? ???????? ????????? ? ?? ?????????
  ????????? ???????? ? ????????.
• ??????????? 1 Ta?????, 2008. ?????????????????
  ???????? ????????? (???) ???? ???????
• A? X ? ? ? 0, 1, (1)
• ??? ? ???? ????????? ???????? ?????????. ?
  ?????????, ??? ????? ????????????? ??? ???????
  ??????????.
• ????????? ? ????? ????? ????????????? ??? ?
  0, 1 ?????
• ??????? ??????????????
• ?? ? X ? 0, 1 ? 0, 1. (2)

57
??????? ?????????????????? ????????? ?????????

• ????? ??(x,?) ??????? ??????????????
  ?????????????????? ????????? ?????????.
• T???? ?-??????? (????????? ?-??????) ???
  ???????? ? ???? ???????? ?????????
• A? (x,?)???(x,?)??, x?X, ??0,1, ??0,1.
• ????? (A ?B)? A? ?B?, (A ?B)? A? ?B?,
  ???0,1.
• ? ?? ?? ?????, A? ???? ???????? ?,1 ???
  ??????????? ?-1,
• ?.?. A? ?-1(?,1).
• ????????????????? ???????? ????????? ????????????
  ????? ??????? ?????? ???????? ???????? ???? 2.
• ???????? ? ?????? 1975, ? ????? ???????? 1977
  ????????, ??? ??????? ???????? ???????? ???? 2
  ???? ???????????? (?? ??????????? ??????
  ??????????).

58
???????? ???????? ??? ???

• 1. ??????????? C? A? ?B? ????B (x,?) sup
  ??(x,? ), ?B(x,?),
• ?min?,?
• ?(x,?)?X ?0, 1, ?,? ?0,1
• 2. ??????????? D? A? ?B? ????B (x, ?) sup
  ??(x,? ), ?B(x,?),
• ?max?,?
• ?(x,?)?X ?0, 1, ?, ? ?0,1
• 3. ?????????? A? ? ???(x, ?) ???(x, 1 ?),
  
• ?(x,?)?X ?0, 1.

59
?????????? ? ??????? ???????? ?-???????

• ???????? ?????????? ?????????? ????? ???????? ?
  ??????? ????????
• ? -??????? Radecki, 1977. ?????????? ??????
  ??????? ???????? ???????
• ?????????? ?????????????? ???????? ???????.
• ??? ?????? ???????????? ?????????? ?????????????
  ?????????? ?????????
• ???????? ?????????, ???????????? ?? ?????????????
  ?????????? X.
• ???? ?????? ????? ????????????? ?? ???? ????????
  ? -??????? (????????
• ???????? ??????).
• ??????? ?????????? ??? ??????? ????????????
  ?-???????
• ??????? ??????? ?-c?????? A?x???(x)??, ?
• ?????? ?-c?????? A?x???(x)??, ??? ??0,1.
• ?????? ????????? ??? ???? ???????? ?????? ???
  ???????? ?-???????
• (???????? ???????? ??????), ?.?. ????????
  ???????? ? ???????
• ?????????? ?.
• ?????? ?.???????, ?????? ??????? ????????
  ???????? ?????? ??? ????????
• ????????, ????????? ?? ????????? ?.

60
??????? ???????? ?- ???????

• ?????? 1.
• ????? ??????? ????????????? ?????????
• X x1, x2, x3, x4, x5 ? ??? ????????
  ????????????
• ?(x1, 0.7),(x2, 0.4),(x3, 0.2),(x4,1),(x5,
  0.9).
• ????? ???????? ????????? ?????? ?0.6
  ???????????? ? ????
• ?(0.6)(x1, 0.7), (x4, 1), (x5, 0.9), ?
  ???????? ?????????
• ?????? ?0.9 ? ???? ?(0.9) (x4, 1), (x5,
  0.9).
• ?????????? ???????? ?????? ?-???????, ?.?.
  ???????? ?????????
• ?????? ? 0.6 ???????????? ??? ?(0.6) (x2,
  0.4),(x3, 0.2),
• ? ???????? ????????? ?????? ? 0.9 ????????????
  ? ????
• ?(0.9)(x1, 0.7), (x2, 0.4), (x3, 0.2).

61
??????????????? ???????? ?????????

• ??????? ????????????????? ???????? ??????????,
• ??????????? ??????? ??????????? ?????????
  ?????????
• (??????? ??????????????) ????? ????????
  ????????????
• ???????????????? ????????????, ????? ??????
• ?????????? ????????????? ??????? ????????
  ?????????
• ????????? ? ??????? ???????????? ???????.
• ??????????? 4. ??????????????? ???????? ?????????
  
• ???? ??????? A X ? L1? ? Lm, ??? Li ??????
  ???????,
• i1, , m.
• ?????? 3. ????? Li 0, 1. ????? ?A X ? 0,
  1m.
• ????? ??????? ?????????????? ?Ai ?????????
  ????????? Ai
• ????? ??????????????? ??? ??????? ??????????????
  i-??
• ???????? ???????????????? ???????.

62
?????????? ?????????? ? ??????? ??????????
??????????? ? ????? ?????? ????????????????

• ??????? ??????????? ??????????? ???????? ????????
  
• ??? ????? ?????? ???????????????? ?.????.
• ???? ???? ? ???????? ???????????, ?????????????
  ????? ?? ????
• ?????????? ??????????? (???)
• X isr R,
• ??? X ??????????, R ??????, ??????????
  ??????????? ?? ???
• ??????????, ? isr ?????????? ??????, ? ???????
  r ????????
• ??????????, ? ?? ???????? ?????????? ??????,
  ??????? R
• ???????????? X.

63
???? ?????????? ???????????
??????????? ??? ??????????? ?????????? ??????
r ????????? X R
r ? ??????????? X ? R
r ????????????? ??????????? X is R ????????????? ????????????? ?
r v ???????????? ??????????? X isv R
r p ????????????? ??????????? X isp R ????????????? ????????????? X
r fg ??????????? ???????? ???????? X isfg R ? ???????, R ?? ???????? ??????
r u ??????????? ??????????? X isu R ????????, ??? ?????? X is R
64
???????? ???????? ?????????? ???????????

• ????? ???????? ????? ??????????? ??????????
  ????????????? Zadeh, 1978, ????????????,
  ????????????? ???????????, ???????? ???????
  ???????. ??????? ???????????? ??????????? ?
  ????? ?????????? ??????????? ?????? ??? ???????
  ????? ????????????? ??????, ??? ???? ??????
  ??????????.

65
??????? ??????????? ? ??????????? ????????
66
?????????? ???????????????? ??????. ????????
????????? ????????

• ???????? ????????? ???????? ????? ???????????
  ??????????? ?????????? ??????????? ?? ??????????
  ? ??????????
• ????????, ????????? ????? ? ????????? ?????? ?
  ?????? ?? ??????? b ????? ???????? ???
• (Xab is ??????) ? (Xab is ??????) (Xab is
  ??????) is ??????
• ??? (Xab is d4) ? (Xab is f7) (Xab is d4) is
  f7.
• ????? ?????? ???????? ??????????? ?????????? ???
  ????? ????????? ??????????? ??????? ? ?????????
  ?????????? ??????????? ????, ??? ? ? ???????
  ????????????? ??????, ???????, ?????? ? ??.
  ????????, ??????? ? ??????? ??????, ????
  ??????? ? ?????? ????? ? ?.?.

66
67
?? ??????????? ? ??????????? ??????????????

• ????? ????????? ??????? ???????? ?????
  ???????????? ? ???????????? ???????????????.
• ??? ???????? ??????????? ????????????? ?????
  ???????????? ??????? ???????? ?????????????
  ????????????? ??????????? ????? ??? ???????
  ?????????????? ???????. ? ????? ????? ??????
  ??????????? ????????????? ?????????? ?????????
  ?????????? ?????? ?????????????, ???????????????
  ?? ????????? ?????? ???????? ??????????, ?.?.
  ??????????? ?? ???????? ??????? ?
  ???????-??????????? ????????????.
• ????????, ? ?????? ??????????? ?????????????
  ????? ?? ?????, ? ??????? ??? ???????? ?????????
  ????????????, ?????????????, ???????? ???
  ??????????????? ??????? ????????????? ??????????,
  ??????????????? ? ???????? ????????????????,
  ??????????, ?????????, ????????????????,
  ?????????? ?????????????? ??? ????????????
  ????????????????.

68
????????? ? ??????????? ???? ???????? ????????????

• ??? ?????????, ? ??????? ??????????? ????????
• ???????, ????? ???????? ??? ??????? ????
  ?????????
• ?????????????? (??????????????),
• ??????????????? (???? ??????) ?
• ?????????????? (?????????).
• ?????????????? ????????? ?????????? ?????????
  ???????? ?????
• ?????????. ? ????????? ??? ?????? ??????????
  ?????????????,
• ???? ???? ?? ??? ????? ????????? ? ?????? ?
  ??????? ????????.
• ? ???? ???????, ??????? ????????? ????
  ??????????????
• ????????? ???????????? ????????????? ?
  ??????????? ??????
• ?????????????? ?????.
• ?????????????? ????????? ????????? ???????????,
  
• ??????????? ? ?????????.
• ? ????????? ????? ?????????? ????? ?????????
  ????????????
• ???? ?? ????? ?????????? ???????? ?????????? ?
  ?????????
• ?????????? ????????? ??????????????.
• ??? ???? ??????? ?????????????? ???????? ??
  ?????? ??????-
• ????????????? ????????? ?????????.

69
??????????

• ???????? ????????? ? ??????? ?????????? ?
  ?????????????? ??????????/ ?.?.???????,
  ?.?.????????, ?.?.??????, ?.?.?????, ?.?.???????.
  ?. ?????, 1986.
• ??????? ?.?. ????????????? ???????????? ? ???????
  ???????? ??????? ?????????????????? ?????????
  ???????????// ???????? ??????? ?????????????
  ????????? ? ???????????. ????????????
  ???????????? ??????? ??????? ??????. ???????
  ???, 1987. ?.17-30.
• ??????? ?.?. ?? ????????????? ?????? ?
  ???????????????? ????????????. ?. ?????????
  ????, 2002.
• ??????? ?.?. ?? ????????????????? ????????
  ???????? ? ???????? ???????????????? ??????//
  ???????? ??????? ? ?????? ??????????. ???????
  ??????? ?????? ?????? ????????????? ???????
  ??????????? (????-2008, ?????????, 27-29 ???????
  2008 ?). ????????? ?????, 2008. ?.40-48.
• ??????? ?.?. ?????????? ??????????, ?????????????
  ? ????????? ???????? ?????????// ???????????????
  ?????? ? ?????? ?????????? ? ?????????????
  ??????????. ??????? ?????? VI-? ?????????????
  ??????-???????????? ??????????? (???????, 16-19
  ??? 2011 ?.). ?. ?????????, 2011. ?.1.
  ?.35-49
• ???????? ?.?., ??????? ?.?. ??????
  ??????????????? ??????????, ???????? ??????,
  ??????????????? ? ?????? ?????????? ???? ?? ????
  ? ??????????????? ??????????// ??????????????
  ?????????? ????? ?.?.???????. ????????????
  ??????????. ?. ???-?? ?????, 2010. ?.261-278.

70
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