Sistem Tunggu (Antrian)

1
Sistem Tunggu (Antrian)
2

• Permintaan panggilan yang datang pada saat
  peralatan sedang sibuk tidak akan dihilangkan
  melainkan akan menunggu sampai ada peralatan yang
  bebas, kemudian diduduki
• Pada umumnya, sistem merupakan kombinasi antara
  sistem tunggu dan sistem rugi
• Jumlah yang menunggu terbatas sehingga bila
  melebihi batas akan dihilangkan
• Waktu tunggu terbatas, sehingga bila menunggu
  lebih lama dari suatu waktu tertentu, akan
  dihilangkan

3

• Diagram sistem tunggu (sistem antrian)
• Notasi D.G. Kendall A/B/C
• A pola kedatangan panggilan
• B pola waktu pelayanan
• C Jumlah pelayan (peralatan)
• Masih dapat ditambahkan keterangan
• Kapasitas sistem/jumlah panggilan yang dapat
  diantrikan/kapasitas buffer/panjang antrian
  maksimum (tak termasuk yang sedang dalam
  pelayanan)
• Jumlah populasi yang ada di dalam sistem

Panggilan meninggalkan sistem
Panggilan datang
Server/pelayan
Tempat menunggu
4

• Ada yang menggunakan notasi A/B/C/D/E
• Bisa memberikan pengertian yang salah, karena D
  bisa memasukkan panggilan yang sedang dalam
  pelayanan
• Lebih baik menggunakan notasi A/B/C ditambah
  keterangan yang diperlukan
• Bila tidak ada keterangan, maka D dan E berarti
  tak terhingga
• Notasi untuk pola kedatangan dan waktu pendudukan
• M Distribusi Poisson (MMarkovian)
• D Distribusi tetap (Deterministik)
• G Distribusi umum (general)

5
Rumus J.D.Little

• LlW
• Lharga rata-rata jumlah pelanggan di dalam
  sistem
• llaju rata-rata kedatangan pelanggan ke dalam
  sistem
• Wwaktu rata-rata lamanya pelanggan di dalam
  sistem

6
Rumus J.D.Little (2)

• Penurunan
• Misalnya diamati suatu proses kedatangan
  panggilan dan panggilan meninggalkan sistem

Jumlah kedatangan
g(to)
a(to)
d(to)
t
7
Rumus J.D.Little (3)

• a(t) Jumlah kedatangan ke dalam sistem di dalam
  selang waktu (0,t) (fungsi jumlah kedatangan
  terhadap waktu)
• d(t) Jumlah kedatangan yang berakhir/meninggalkan
  sistem di dalam selang waktu (0,t) (fungsi
  jumlah yang berakhir terhadap waktu)
• g(t) Luas total antara kedua kurva sampai dengan
  waktu t (merupakan jumlah total waktu semua
  pelanggan berada di dalam sistem sampai dengan
  waktu t (dalam satuan pelanggan-detik)
• l(t)harga rata-rata laju kedatangan panggilan
  dalam selang waktu (0,t)

8
Rumus J.D.Little (4)

• lta(t)/t
• Bila Tt merupakan harga rata-rata waktu lamanya
  setiap pelanggan berada di dalam sistem dalam
  selang waktu (0,t), maka
• Ttg(t)/a(t) pelanggan-detik/pelanggan
• Harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam sistem
  antrian selama waktu (0,t) adalah
• Ntg(t)/t a(t)/a(t)xTt/(1/lt) ltTt

9
Rumus J.D.Little (5)

• Bila sistem mencapai keadaan setimbang pada waktu
  t ? ?, maka lt? l, Tt ? T dan Nt ? N, sehingga
• N lT
• Hal tersebut menyatakan jumlah pelanggan di dalam
  sistem antrianharga rata-rata laju kedatangan
  panggilan x harga rata-rata lamanya waktu
  pelanggan berada dalam sistem

10
Rumus J.D.Little (6)

• Catatan untuk rumus J.D Little
• Distribusi kedatangan dan waktu pelayanan adalah
  sembarang
• Jumlah pelayan adalah sembarang
• Dapat diterapkan hanya terhadap yang antri atau
  yang dalam pelayanan saja atau kedua-duanya
• Lql.Wq
• Lqharga rata-rata jumlah pelanggan di dalam
  antrian
• Wqharga rata-rata waktu tunggu di dalam antrian
• Lpl.Wp
• Lpharga rata-rata jumlah pelanggan di dalam
  pelayanan
• Wqharga rata-rata waktu lamanya pelanggan dalam
  pelayanan

11
Rumus Tunggu ErlangErlangs Delay Formula

• Sistem M/M/N
• Laju kedatangan panggilan rata-rata tetap sebesar
  l
• Waktu pendudukan (pelayanan) rata-rata tetap
  sebesar h1/m
• Disiplin operasi
• Jumlah pelayan N
• Panjang antrian tak terhingga
• FIFO (First In First Out)

l
l
l
l
l
l
N1
0
1
2
N
Nm
Nm
Nm
3m
2m
m
Koeffisien kematian untuk nltN adalah nm, untuk
n ? N adalah Nm
12
Rumus Tunggu ErlangErlangs Delay Formula (2)

• Persamaan kesetimbangan
• lP(n) (n1)mP(n1) , untuk n0,1,,N-1
• lP(n)NmP(n1), untuk nN,N1,
• Dengan substitusi dari persamaan satu ke
  persamaan lainnya untuk n0,1,2, diperoleh
• Untuk nN,N1,, probabilitas kondisi mengandung
  deret geometris (AN/N!)(A/N)n-N (common ratio)
• Karena jumlah deret tersebut terbatas, maka (A/N)
  harus lt 1 ? syarat kondisi kesetimbangan
• Hal itu berarti bahwa trafik yang ditawarkan
  harus lebih kecil daripada kapasitas maksimum
  berkas saluran yang terdiri atas N saluran

(An/n!)P(0) , untuk n lt N
Al/mlh
P(n)
(An/N!Nn-N)P(0) , untuk n ? N
13
Rumus Tunggu ErlangErlangs Delay Formula (3)

• Probabilitas P(0) diperoleh dari kondisi normal
• Dimana digunakan jn-N sebagai variabel
  penjumlahan suku ke-2
• Karena pola kedatangan adalah acak (Poisson),
  maka probabilitas suatu panggilan yang datang
  akan meneunggu sama dengan bagian waktu dimana
  semua pelayan sibuk

j
Lihat trick di diktat
P(n) 1 P(0)

AN-1
AN
1

1 P(0)
1 A



(N-1)!
N!
1-A/N
14
Rumus Tunggu ErlangErlangs Delay Formula (4)

• Probabilitas (panggilan menunggu)P(N)P(N1)P(N
  2)
• Jadi DN(A)

j
P(0)
1
P(0)
1-A/N
N
N-A
AN-1
AN
1

1 A



(N-1)!
N!
1-A/N
15
Rumus Tunggu ErlangErlangs Delay Formula (5)

• Relasi DN(A) dengan EN(A)

1
1
1
-

DN(A)
EN(A)
EN-1(A)
16
Rumus Tunggu ErlangErlangs Delay Formula (6)

• Hasil-hasil lain
• Jumlah pelanggan rata-rata yang antri
• nqDN(A)A/(N-A)
• Waktu rata-rata pelanggan dalam antrian (senelum
  dilayani) untuk semua panggilan termasuk yang tak
  menunggu
• tq DN(A)h/(N-A)
• Waktu rata-rata pelanggan dalam antrian dihitung
  untuk pelanggan yang menunggu saja
• tqmh/(N-A)
• Waktu rata-rata lamanya pelanggan di dalam sistem
• ts h tq
• hwaktu rata-rata lamanya pelanggan di dalam
  pelayanan
• tqwaktu rata-rata lamanya pelanggan di dalam
  antrian

17
Rumus Tunggu ErlangErlangs Delay Formula (7)

• Hasil-hasil lain (2)
• Jumlah rata-rata pelanggan dalam sistem
• NA DN(A).A/(N-A)
• Peluang panggilan menunggu selama T yang melebihi
  harga t tertentu (ini merupakan bagian panggilan
  yang memiliki waktu tunggu melebihi t)
• Prob (Tgtt) DN(A).e-(N-A)t/h
• Prob (Tgt0) DN(A)

18
Probabilitas waktu tunggu melebihi harga tertentu
19
Probabilitas jumlah yang antri melebihi harga
tertentu

• Kita tinjau sistem M/M/1 dengan
• Laju kedatangan panggilan rata-ratal
• Waktu pelayanan rata-rata h1/m
• Diagram transisi kondisi
• Dengan langkah solusi yang sudah sering kita
  lakukan, akan diperoleh hasil seperti pada slide
  no 20

l
l
l
l
l
l
k1
0
1
2
k
m
m
m
m
m
m
20
Probabilitas jumlah yang antri melebihi harga
tertentu (2)

• Probabilitas yang antri melebihi harga tertentu
  (N)

(1-r)rn rN
Probabilitas (n ? N)