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La Universidad del Zulia Facultad de
Ingeniería División de Estudios para Graduados
Asignatura Tópicos Especiales en Computación
Numérica

• Diferenciación e integración numérica
• Diferenciación numérica
• Fórmulas de integración de Newton-Cotes
• Integración de ecuaciones

Prof. Luis Zerpa, M.Sc. Email lzerpa_at_ica.luz.ve
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Motivación

• Definición del diccionario de diferencias marcar
  por diferencias, distinguir, percibir la
  diferencia en o entre
• En el contexto de las matemáticas, LA DERIVADA
  que sirve como vehículo fundamental para la
  diferenciación, representa la razón de cambio de
  una variable dependiente con respecto a una
  independiente
• La definición matemática de la derivada empieza
  con una aproximación por diferencias
• Si se permite que ?x se aproxime a cero la
  diferencia se convierte en una derivada

3
Motivación

• En cálculo el proceso inverso de la
  diferenciación es la integración
• Definición del diccionario de integrar llevar
  junto, como partes, en un todo unir indicar la
  cantidad total
• Matemáticamente, la integración se representa
  por ? integral de la función f(x) con respecto
  a la variable independiente x, evaluada
  entre los límites a y b
• La integral es el valor total, o sumatoria de
  f(x)dx sobre el rango xa hasta b
• Para funciones que están por encima del eje x, la
  integral corresponde al área bajo la curva de
  f(x) en a y b

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Motivación

• La discriminación de la diferenciación y el
  llevar junto de la integración se vinculan en
  forma estrecha con procesos que están
  inversamente relacionados
• Por ejemplo, si se tiene una función dada y(t)
  que específica la posición de un objeto como
  función del tiempo, la diferenciación proporciona
  un medio para determinar su velocidad,
• De manera inversa, si se tiene la velocidad como
  función del tiempo, la integración se usará para
  determinar su posición

5
Motivación

• De esta manera, podemos generalizar que la
  evaluación de la integrales equivalente a
  resolver la ecuación diferencialpara una
  y(b) dada la condición inicial y(a) 0

6
Métodos empleados antes de la era de las
computadoras

• La función que será diferenciada o integrada
  estará usualmente en una de las siguientes tres
  formas
• Una función simple continua tal como un
  polinomio, una exponencial, o trigonométrica
• Una función continua complicada que es difícil o
  imposible de diferenciar o integrar de manera
  directa
• Una función tabulada donde los valores de x y
  f(x) están dados en un número de puntos discretos
  (datos experimentales)
• En los casos 2 y 3 se deben usar métodos
  aproximados

7
Métodos empleados antes de la era de las
computadoras

• Diferenciación gráfica por áreas desiguales
• Se tabulan los datos (x,y), para cada intervalo
  se calcula una diferencia dividida simple ?y/?x
  para estimar la pendiente
• Estos valores se grafican como una curva de paso
  contra x
• Luego, se dibuja una curva suave que intenta
  aproximar el área bajo la curva de pasos,
  equilibrando las áreas negativas y positivas
• Las derivadas para valores dados de x pueden
  leerse de la curva

8
Métodos empleados antes de la era de las
computadoras
x Y ?y/?x
0 0 66,7
3 200 50
6 350 40
9 470 30
15 650 23.3
18 720
x ?y/dx
0 76.5
3 57.5
6 45
9 36.25
15 25
18 21.5
9
Métodos empleados antes de la era de las
computadoras

• Integración gráfica
• Se gráfica la función sobre una cuadricula y se
  cuentan el número de cuadros que aproximan el
  área
• En número de cuadros multiplicado por el área de
  los cuadros es una aproximación del área bajo la
  curva
• Barras
• Se divide el área en barras verticales, con una
  altura igual al valor de la función en el punto
  medio de cada barra. La suma del área de los
  rectángulos es una aproximación del área bajo la
  curva

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Diferenciación numérica

• De la expansión de la serie de Taylor hasta el
  término de primer orden
• Se puede obtener la primera diferencia hacia
  delante
• Esta diferencia dividida hacia delante no es sino
  una de tantas que se pueden desarrollar mediante
  serie de Taylor para la aproximación de derivadas
  numéricas

11
Diferenciación numérica

• Aproximación a la primera derivada con diferencia
  hacia atrás
• La serie de Taylor se puede expandir hacia atrás
  para calcular un valor anterior a partir de un
  valor actual
• Truncando la expansión después de la 1ra derivada
  y ordenando

12
Diferenciación numérica

• Aproximación a la primera derivada con
  diferencias centrales
• Una tercera forma de aproximar la 1ra derivada es
  restando la expansión de serie de Taylor hacia
  atrás de la expansión hacia delante para obtener
• Despejando

La diferencia central es la representación más
exacta de la derivada
13
Diferenciación numérica

• Aproximaciones por diferencias finitas de
  derivadas de orden superior
• Escribiendo la expansión en serie de Taylor hacia
  delante para f(xi2) en términos de f(xi)
• La expansión en serie de Taylor hacia delante
  para f(xi1) puede multiplicarse por dos y
  restarse a esta ecuación para obtener
• Despejando

2da diferencia finita hacia adelante
14
Diferenciación numérica

• 2da diferencia finita hacia atrás
• 2da diferencia finita central

15
Métodos numéricos de integración

• fórmulas de Newton-Cotes
• Regla trapezoidal
• Regla 1/3 de Simpson
• Regla 3/8 de Simpson
• Cuadratura de Gauss

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Fórmulas de Newton-Cotes

• Se basan en la estrategia de reemplazar una
  función complicada o datos discretos con una
  función aproximada que sea fácil de
  integrardonde fn(x) es un polinomio de la
  forma
• La integral se puede también aproximar mediante
  una serie de polinomios aplicada por pedazos a la
  función o datos sobre segmentos de longitud
  constante

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Fórmulas de Newton-Cotes

• Se dispone de formas cerradas y abiertas de
  fórmulas de Newton-Cotes
• FORMAS CERRADAS son aquellas donde los datos al
  inicio y al final de los limites de integración
  son conocidos
• FORMAS ABIERTAS tienen limites de integración
  que se extienden más allá del rango de los datos
• No se usan por lo general para integración
  definida
• Sin embargo, se utilizan para evaluar integrales
  impropias y en la solución de ecuaciones
  diferenciales ordinarias

18
Regla Trapezoidal

• Corresponde al caso donde el polinomio es de
  primer orden
• El área bajo esta línea recta es un estimado de
  la integral de f(x) entre los limites a y b
• El resultado de la integración es

Regla Trapezoidal
19
Regla Trapezoidal

• Geométricamente, la regla trapezoidal es
  equivalente a aproximar el área del trapezoide
  bajo la línea que conecta f(a) y f(b)
• La fórmula para calcular el área de un trapezoide
  es la altura por el promedio de las bases. En
  nuestro caso el trapezoide esta de lado y la
  integral se representa como
• I ancho x altura promedio
• o
• I (b - a) x altura promedio
• Todas las fórmulas cerradas de Newton-Cotes
  pueden expresarse en el formato general de la
  ecuación anterior, y sólo difieren con respecto a
  la formulación de la altura promedio

20
Error de la regla Trapezoidal

• Una estimación para el error de truncamiento
  local de una sola aplicación de la regla
  trapezoidal es
• donde ? está en algún lugar en el intervalo de a
  hasta b
• Esta ecuación indica que si la función sujeta a
  integración es lineal, la regla trapezoidal es
  exacta
• Para funciones con curvatura puede ocurrir un
  error

21
Aplicación múltiple de la regla Trapezoidal

• Una forma de mejorar la exactitud de la regla
  trapezoidal es dividir el intervalo de
  integración a,b en un número de segmentos y
  aplicar el método a cada uno de ellos
• Las integrales de los segmentos se suman para
  obtener la integral de la función en a,b
• Si hay n1 puntos base igualmente espaciados (x0,
  x1, x2, xn), entonces hay n segmentos de igual
  anchura h (b-a)/n
• Si a y b son designados como x0 y xn,
  respectivamente la integral total se representa
  como

22
Aplicación múltiple de la regla Trapezoidal

• Sustituyendo la regla trapezoidal se obtiene
• Agrupando términos se obtiene
• También se puede expresar como

23
Aplicación múltiple de la regla Trapezoidal

• Un error para la regla trapezoidal de múltiple
  aplicación se puede obtener al sumar los errores
  individuales de cada segmento para dar
• Este resultado se puede simplificar al estimar la
  media de la segunda derivada para todo el
  intervalo como
• Quedando el error de truncamiento como
• Así, si el número de segmentos se duplica, el
  error de truncamiento disminuirá a un cuarto

24
Conclusiones - Regla Trapezoidal

• Para aplicaciones individuales con buen
  comportamiento de las funciones, la regla
  trapezoidal de múltiples segmentos es casi fina
  para obtener el tipo de exactitud requerido en
  muchas aplicaciones de ingeniería
• Si se requiere de alta exactitud, la regla
  trapezoidal demanda un gran esfuerzo
  computacional
• Los errores de redondeo presentan una limitación
  en nuestra habilidad para determinar integrales.
  Esto se debe tanto a la precisión de la máquina
  como a los diversos cálculos involucrados en
  técnicas simples como la regla trapezoidal de
  múltiples segmentos

25
Seudo código para la regla trapezoidal
FUNCTION Trapezoidal(h,n,f) sum f0 DO i
1,n-1 sum sum 2fi END DO sum sum
fn integral h sum / 2 END Trapezoidal
26
Reglas de Simpson

• Otra forma de obtener una estimación más exacta
  de un integral es con el uso de polinomios de
  orden superior para conectar puntos

27
Regla de Simpson 1/3

• Usa interpolación polinomial de segundo orden
• Si a y b se designan como x0 y x2, y f2(x) es
  representada por un polinomio de Lagrange de 2do
  orden, la integral se transforma en
• Integrando se obtienedonde a x0 b x2 y
  x1 punto a la mitad de camino entre a y b

28
Error de la regla de Simpson 1/3

• La regla de Simpson 1/3 tiene un error de
  truncamiento de
• La regla de Simpson 1/3 es más exacta que la
  regla trapezoidal
• El error es proporcional a la cuarta derivada
• El término del coeficiente de tercer orden se
  hace cero durante la integración de la
  interpolación polinomial
• En consecuencia la regla de Simpson 1/3 tiene una
  precisión de tercer orden aún cuando se basa en
  sólo tres puntos
• Da resultados exactos para polinomios cúbicos aún
  cuando se deriva de una parábola

29
Aplicación múltiple de la regla de Simpson 1/3

• La regla de Simpson 1/3 se puede mejorar al
  dividir el intervalo de integración en un número
  de segmentos de igual anchura, h (a-b)/n
• La integral total se puede representar como
• Sustituyendo la regla de Simpson 1/3
• Combinando términos

Se debe usar un número par de segmentos para
implementar el método
30
Aplicación múltiple de la regla de Simpson 1/3

• La regla de Simpson 1/3 está limitada a casos en
  los que los valores son igualmente espaciados
• Además, está limitada a situaciones donde hay un
  número par de segmentos y un número impar de
  puntos
• Un error estimado para la aplicación de la regla
  de Simpson 1/3 se obtiene sumando los errores
  individuales de los segmentos y sacando el
  promedio de la derivada,

31
Seudo código para la regla de Simpson 1/3
FUNCTION Simpson13(h,n,f) sum f0 DO i
1,n-1,2 sum sum 4fi 2fi1 END DO sum
sum 4fi 2fi1 integral hsum/3 END
Simpson13
32
Regla de Simpson 3/8

• Se ajusta un polinomio de Lagrange de tercer
  orden a cuatro puntos y se integrapara obtener
• La regla de Simpson 3/8 tiene un error de

Esta regla es más exacta que la de 1/3
33
Regla de Simpson 3/8

• La regla de Simpson 1/3 es a menudo el método de
  preferencia, ya que alcanza exactitud de tercer
  orden con tres puntos más que los cuatro puntos
  requeridos para la versión 3/8
• Sin embargo, la regla 3/8 tiene la utilidad
  cuando el número de segmentos es impar
• Una estrategia para mantener precisión de 3er
  orden a través de todo el intervalo de
  integración es usar la regla de Simpson 1/3 en
  los primeros segmentos y la regla de Simpson 3/8
  en los últimos tres

34
Seudo código para la estrategia de integración
usando la Regla de Simpson 1/3 y 3/8
FUNCTION SimpsonT(a,b,n,f) H (b - a)/n IF n
1 THEN sum trapezoidal(h,fn-1,fn) ELSE m
n odd n/2 INT(n/2) IF odd gt n/2 AND n gt 1
THEN sum sum Simp38(h,fn-3,fn-2,fn-1,fn) m
n - 3 END IF IF m gt 1 THEN sum sum
Simpson13(h,m,f) END IF END IF integral
sum END SimpsonT
35
Seudo código para la estrategia de integración
usando la Regla de Simpson 1/3 y 3/8
FUNCTION Simp38(h,f0,f1,f2,f3) Simp38 3h(f0
3(f1 f2) f3)/8 END Simp38
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Integración con segmentos desiguales

• Para los casos donde los datos están separados
  por segmentos desiguales un método para la
  integración es aplicar la regla trapezoidal a
  cada segmento y sumar los resultados
• hi ancho del segmento i
• Si alguno de los segmentos adyacentes son de
  igual anchura, se puede evaluar la integral
  aplicando las reglas de Simpson a estos segmentos

37
Integración de ecuaciones

• Se estudiarán dos métodos para el cálculo de
  integrales cuando se dispone de la función
• INTEGRACIÓN DE ROMBERG se basa en la
  extrapolación de Richardson, el cual es un método
  que combina dos estimaciones numéricas de la
  integral para obtener una tercera, que tiene un
  valor más exacto. Puede usarse para generar una
  estimación de la integral dentro de una
  tolerancia de error especificada
• CUADRATURA DE GAUSS las fórmulas de cuadratura
  de Gauss emplean valores de x que están
  posicionados entre a y b de forma tal que resulta
  una estimación de la integral mucho más exacta

38
Integración de Romberg

• Está basada en aplicaciones sucesivas de la regla
  trapezoidal
• Sin embargo, se alcanzan mejores resultados con
  menos esfuerzo

39
Integración de Romberg

• EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDSON
• Usa dos estimaciones de la integral para calcular
  una tercera más exacta
• El error estimado y asociado con una aplicación
  múltiple de la regla trapezoidal puede
  representarse de manera general como
• Si hacemos dos estimaciones por separado usando
  los pasos h1 y h2 y considerando valores exactos
  del error, se tiene

I valor exacto de la integral I(h) estimación
de I con n segmentos de la regla
trapezoidal E(h) error de truncamiento
40
Integración de Romberg

• EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDSON
• El error de la regla trapezoidal puede
  representarse de manera aproximada como
• Suponiendo f constante sin importar el tamaño
  del paso, se puede determinar la razón de los dos
  errores,
• Reordenando
• Sustituyendo,

De esta forma se remueve f
41
Integración de Romberg

• EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDSON
• Luego,
• Esta estimación de error se puede sustituir en

Estimación del error de truncamiento en términos
de las estimaciones de la integral y del tamaño
de segmento
Para obtener una estimación mejorada de la
integral
42
Integración de Romberg

• EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDSON
• Se puede demostrar que el error de dicha
  estimación es O(h4). La estimación de la regla
  trapezoidal era O(h2)
• Para el caso especial donde el intervalo es la
  mitad,

43
Integración de Romberg

• Ejemplo
• Calcule la integral de
• a 0, b 0.8

n h I
1 0.8 0.1728
2 0.4 1.0688
4 0.2 1.4848
44
Integración de Romberg

• En este ejemplo calculamos dos integrales
  mejoradas con error O(h4) sobre la base de tres
  estimaciones de la regla trapezoidal
• Esos dos cálculos mejorados pueden, a su vez,
  combinarse para obtener un mejor valor con error
  O(h6)
• Para el caso especial donde las estimaciones del
  trapezoide original están basadas sobre sucesivas
  mitades de tamaño de segmento, la ecuación para
  obtener la exactitud de O(h6) es,

Im estimación mayor Il estimación menor
45
Integración de Romberg

• De manera similar dos resultados O(h6) pueden
  combinarse para calcular una integral que es
  O(h8),
• Se puede observar que los coeficientes en las
  ecuaciones de extrapolación van aumentando hasta
  1. Estos representan factores ponderados que al
  aumentar la exactitud dan un peso relativamente
  mayor sobre la estimación de la integral superior
• Estas formulaciones se pueden expresar en una
  forma general,

Ij1,k-1 integral más exacta Ij,k-1 integral
menos exacta Ij,k integral mejorada k el nivel
de la integración
k 1 ? Regla trapezoidal O(h2) k 2 ? O(h4) k
3 ? O(h6)
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Seudo código para la integración de Romberg
FUNCTION Romberg (a,b,maxit,es) LOCAL
I(10,10) n 1 I1,1 TrapEq(n,a,b) iter
0 DO iter iter 1 n 2iter Iiter1,1
TrapEq(n,a,b) DO k 2, iter1 j 2 iter
k Ij,k (4k-1 Ij1,k-1 Ij,k-1)/(4k-1
1) END DO ea ABS(I1,iter1
I1,iter)/I1,iter1)100 IF(iter maxit OR ea
es) EXIT END DO Romberg I1,iter1 END
Romberg TrapEq ? es una función que evalúa la
integral de la función usando la regla
trapezoidal
47
Cuadratura de Gauss

• Las fórmulas de cuadratura de Gauss emplean
  valores de x que están posicionados entre a y b
  de forma tal que resulta una estimación de la
  integral muchas más exacta
• Las fórmulas particulares de cuadratura de Gauss
  se denominan fórmulas de Gauss-Legendre

48
Fórmula de Gauss-Legendre de dos puntos

• El objetivo de la cuadratura de Gauss es
  determinar los coeficientes de una ecuación de la
  forma
• donde c0 y c1 son coeficientes
  desconocidos x0 y x1 son valores de x
  posicionados entre a y b, desconocidos
• Tenemos un total de 4 incógnitas que deben ser
  evaluadas, por lo que se requieren 4 condiciones
  para determinarlas con exactitud
• La ecuación (I) ajusta exactamente a la integral
  de una constante, f(x) 1
• La ecuación (I) ajusta exactamente a la integral
  de una función lineal, f(x) x
• Supongamos que también ajusta la integral de una
  función cuadrática , f(x) x2
• Supongamos que también ajusta la integral de una
  función cúbica, f(x) x3

(I)
49
Fórmula de Gauss-Legendre de dos puntos

• Para hacer esto, determinamos las 4 incógnitas y
  en la condición derivamos una fórmula de
  integración lineal que es exacta para cúbicas
• Las 4 ecuaciones que habrán que resolverse son
• Resolviéndose simultáneamente se obtiene

Sustituyendo se obtiene la fórmula de
Gauss-Legendre de dos puntos
50
Fórmula de Gauss-Legendre de dos puntos

• Así, llegamos a un resultado interesante en que
  la simple suma de los valores de la función en
  dan una estimación de la integral
  que tiene una exactitud de tercer orden
• Observe que se usaron los limites de integración
  desde -1 a 1, con el objetivo de hacer la
  formulación tan general como sea posible
• Se emplea un cambio de variable para trasladar
  otros límites de integración a esta forma

51
Fórmula de Gauss-Legendre de dos puntos

• Suponiendo que una nueva variable xd se relaciona
  con la variable original x en una forma lineal,
  dada por
• Si el límite inferior, x a corresponde a xd
  -1, sustituyendo se obtiene
• Si el límite superior, x b corresponde a xd
  1, sustituyendo se obtiene
• Resolviendo
• Sustituyendo

Estas dos últimas ecuaciones podrán sustituirse
para x y dx, respectivamente, en la ecuación que
se habrá de integrar
52
Fórmula de Gauss-Legendre de dos puntos

• Ejemplo
• Integreentre 0 y 0.8
• Primero se realiza el cambio de variable

53
Fórmulas de Gauss-Legendre de punto superior

• Más allá de la fórmula de dos puntos descrita en
  la sección anterior, se puede desarrollar
  versiones de punto superior en la forma
  generaldonde n número de puntos
• Los valores de las c y las x incluyendo la
  fórmula con seis puntos se resumen en la
  siguiente tabla

54
Factores de peso c y argumentos de la función x
usados en las fórmulas de Gauss-Legendre
Puntos Factores de peso Argumentos de la función Error de truncamiento
2 c0 1.0 x0 -0.577350269 f(4)(?)
2 c1 1.0 x1 0.577350269 f(4)(?)
3 c0 0.5555556 x0 -0.774596669 f(6)(?)
3 c1 0.8888889 x1 0.0 f(6)(?)
3 c2 0.5555556 x2 0.774596669 f(6)(?)
4 c0 0.3478548 x0 -0.861136312 f(8)(?)
4 c1 0.6521452 x1 -0.339981044 f(8)(?)
4 c2 0. 6521452 X2 0. 339981044 f(8)(?)
4 c3 0. 3478548 X3 0. 861136312 f(8)(?)
5 c0 0.2369269 x0 -0.906179846 f(10)(?)
5 c1 0.4786287 x1 -0.538469310 f(10)(?)
5 c2 0.5688889 x2 0.0 f(10)(?)
5 c3 0.4786287 x3 0.538469310 f(10)(?)
5 c4 0.2369269 x4 0.906179846 f(10)(?)
6 c0 0.1713245 x0 -0.932469514 f(12)(?)
6 c1 0.3607616 x1 -0.661209386 f(12)(?)
6 c2 0.4679139 x2 -0.238619186 f(12)(?)
6 c3 0.4679139 x3 0.238619186 f(12)(?)
6 c4 0.3607616 x4 0.661209386 f(12)(?)
6 c5 0.1713245 X5 0.932469514 f(12)(?)
55
Fórmulas de Gauss-Legendre de punto superior

• Debido a que la cuadratura de Gauss requiere
  evaluaciones de la función en puntos espaciados
  uniformemente dentro del intervalo de
  integración, no es apropiada para casos donde la
  función se desconoce
• Así, no es adecuada para problemas con datos
  tabulados
• Sin embargo, cuando se conoce la función, su
  eficiencia puede ser una ventaja decisiva, en
  particular cuando se deben realizar muchas
  evaluaciones de la integral

56
Análisis de error para la cuadratura de Gauss

• El error para las fórmulas de Gauss-Legendre se
  especifica por lo general con
• donde n número de puntos menos uno y
  f(2n2)(?) la (2n2)-ésima derivada de la
  función después del cambio de variable con ?
  localizada en algún lugar sobre el intervalo
  desde -1 a 1
• Al comparar esta ecuación con la tabla queda
  expuesta la superioridad de la cuadratura de
  Gauss sobre las fórmulas de Newton-Cotes,
  contando con que las derivadas de orden superior
  no aumenten sustancialmente con un incremento en n