Algoritma Divide and Conquer

1
Algoritma Divide and Conquer

• (Bagian 2)

2
(c) Quick Sort

• Termasuk pada pendekatan sulit membagi, mudah
  menggabung (hard split/easy join)
• Tabel A dibagi (istilahnya dipartisi) menjadi A1
  dan A2 sedemikian sehingga elemen-elemen A1 ?
  elemen-elemen A2.

3
(No Transcript)
4

• Teknik mem-partisi tabel
• (i) pilih x ? A1, A2, ..., An
  sebagai pivot,
• (ii) pindai tabel dari kiri sampai ditemukan
  Ap ? x
• (iii) pindai tabel dari kanan sampai ditemukan
  Aq ? x
• (iv) pertukarkan Ap ? Aq
• (v) ulangi (ii), dari posisi p 1, dan (iii),
  dari
• posisi q 1 , sampai kedua pemindaian
• bertemu di tengah tabel

5
(No Transcript)
6
(No Transcript)
7
(No Transcript)
8
(No Transcript)
9
(No Transcript)
10
(No Transcript)
11

• Cara pemilihan pivot
• Pivot elemen pertama/elemen terakhir/elemen
  tengah tabel
• Pivot dipilih secara acak dari salah satu elemen
  tabel.
• Pivot elemen median tabel

12
Kompleksitas Algoritma Quicksort

• 1. Kasus terbaik (best case)
• Kasus terbaik terjadi bila pivot adalah elemen
  median sedemikian sehingga kedua upatabel
  berukuran relatif sama setiap kali pempartisian.

13
(No Transcript)
14
(No Transcript)
15

• 2. Kasus terburuk (worst case)
• Kasus ini terjadi bila pada setiap partisi pivot
  selalu elemen maksimum (atau elemen minimum)
  tabel.
• Kasus jika tabel sudah terurut menaik/menurun

16
(No Transcript)
17
(No Transcript)
18

• 3. Kasus rata-rata (average case)
• Kasus ini terjadi jika pivot dipilih secara acak
  dari elemen tabel, dan peluang setiap elemen
  dipilih menjadi pivot adalah sama.
• Tavg(n) O(n 2log n).

19
(d) Selection Sort
20
(No Transcript)
21
(No Transcript)
22
(No Transcript)
23
4. Perpangkatan an

• Misalkan a ? R dan n adalah bilangan bulat
  tidak negatif
• an a a a (n kali), jika n gt 0
• 1 , jika n 0

24
(No Transcript)
25

• Penyelesaian dengan Divide and Conquer
• Algoritma menghitung an
• 1. Untuk kasus n 0, maka an 1.
• 2. Untuk kasus n gt 0, bedakan menjadi dua kasus
  lagi
• (i) jika n genap, maka an an/2 ? an/2
• (ii) jika n ganjil, maka an an/2 ? an/2 ? a

26
(No Transcript)
27
(No Transcript)
28
(No Transcript)
29
(No Transcript)
30
5. Perkalian Matriks

• Misalkan A dan B dua buah matrik berukuran n ? n.
  
• Perkalian matriks C A B

31
(No Transcript)
32
(No Transcript)
33
(No Transcript)
34
(No Transcript)
35
(No Transcript)
36
(No Transcript)
37
Algoritma Perkalian Matriks Strassen

• Hitung matriks antara
• M1 (A12 A22)(B21 B22)
• M2 (A11 A22)(B11 B22)
• M3 (A11 A21)(B11 B12)
• M4 (A11 A12)B22
• M5 A11 (B12 B22)
• M6 A22 (B21 B11)
• M7 (A21 A22)B11
• maka,
• C11 M1 M2 M4 M6
• C12 M4 M5
• C21 M6 M7
• C22 M2 M3 M5 M7

38
(No Transcript)
39
6. Perkalian Dua Buah Bilangan Bulat yang
Besar

• Persoalan Misalkan bilangan bulat X dan Y
• yang panjangnya n angka
• X x1x2x3 xn
• Y y1y2y3 yn
• Hitunglah hasil kali X dengan Y.

40
(No Transcript)
41
(No Transcript)
42
(No Transcript)
43
(No Transcript)
44
(No Transcript)
45

• Penyelesaian
• T(n) O(n2).
• Ternyata, perkalian dengan algoritma Divide and
  Conquer seperti di atas belum memperbaiki
  kompleksitas waktu algoritma perkalian secara
  brute force.
• Adakah algoritma perkalian yang lebih baik?

46
Perbaikan (A.A Karatsuba, 1962)
47
(No Transcript)
48
(No Transcript)