ECUACIONES DIFERENCIALES

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ECUACIONES DIFERENCIALES
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ECUACION DIFERENCIAL
Definición -Una ecuación diferencial es
una ecuación en la que aparecen derivadas o
diferenciales. - Si una ecuación contiene solo
derivadas de una función de una variable,
entonces se dice que es ordinaria. - Una
ecuación diferencial parcial contiene derivadas
parciales.
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CONCEPTOS BASICOS

• ORDEN
• El orden de una ecuación diferencial
  (ordinaria o en derivadas parciales).- Es el de
  la derivada de mayor orden que aparece en la
  ecuación.
• Por ejemplo
• d2y 5 dy3 - 4y ex o
  dx2 dx
• Son ecuaciónes diferenciales de segundo
  orden.

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GRADOEl grado
de una ecuación diferencial.- Es la potencia a
la que esta elevada la derivada mas alta,
siempre y cuando la ecuación diferencial este
dada en forma polinomial.
CONCEPTOS BASICOS
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• CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
  DIFERENCIALES
• Para desarrollar sistemáticamente la teoría
  de Las ecuaciones diferenciales, es útil
  clasificar los diferentes tipos de ecuaciones.
• TIPOS Ordinarias y parciales Ordinarias
  Son las que contiene derivadas de una o mas
  variables dependientes con respecto a una sola
  variable independiente.
• Parciales Son las que contienen derivadas
  parciales de una o mas variables dependientes con
  respecto a dos mas variables independientes.

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CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES

• Clasificación por orden
• Primer orden F( x, y, y)0
• Segundo orden F( x, y, y)0
• Tercer orden F( x, y, y,
  y)0
• ....
• Orden n F( x, y,
  y, y a ala n)0

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CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES

• Clasificación por grado
• Lineales Cuando la variable dependiente Y y
  todas sus derivadas son de 1er cada
  coeficiente de Y y sus derivadas depende
  solamente de la variable independiente X (puede
  ser constante.
• No lineales Son las que no cumplen las
  propiedades anteriores.

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• SOLUCIÓN DE UNA ECUACION DIFERENCIAL
• - Solución es una función que no contiene
  derivadas y que satisface a dicha ecuación es
  decir, al sustituir la función y sus derivadas
  en la ecuación diferencial resulta una identidad.
• - Solución General Es la función que contiene
  una o mas constantes arbitrarias (obtenidas de la
  sucesivas integraciones).
• Ejemplo La función Y3X²C1XC2 es
  solución general de la ecuación diferencial
  Y6,
• porque Y6XC1
• y Y6 por
  lo tanto 6 6

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SOLUCIÓN DE UNA ECUACION DIFERENCIAL

• - Solución Particular Es la función cuyas
  constantes arbitrarias toman un valor especifico.
• Ejemplo La función Yex8 es la solución
  particular de la ecuación diferencial Yex0,
  porque derivando la solución y sustituyéndola en
  la ecuación dada, obtenemos
  
• Y ex -ex ex 0 por
  lo tanto 0 0

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INTERPRETACION GEOMETRICAGeometr
icamente la solucion general representa una
familia de curvas Asi x² y² k² representa
una familia de circunferencias
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TRAYECTORIAS ORTOGONALES

• Es una familia de curvas cuyas pendientes
  son perpendiculares entre si. O de otra manera
  son las curvas que se intersectan formando angulo
  recto. Si una familia de curvas tiene la ecuacion
  F(X,Y,Y)0, la ecuacion diferencial de las
  trayectorias ortogonales a ella, es otra familia
  de la formaF(X,Y 1/Y)0
• Para obtener las trayectorias ortogonales
  de una ecuacion diferencial, se
  tomam1dy/dxf(x,y), y como
• m2 - 1/m1 , m2dy/dx - 1/f(x,y) de la
  trayectoria ortogonal a la primera ecuacion.

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EXISTENCIA Y UNICIDAD

• Teorema De Existencia Y Unicidad
• Dada una ecuacion diferencial Y f(x,y) donde
  f(x,y) esta definida en una región rectangular R
  que contiene el punto (X0,Y0).
• Si f(x,y) satisface las condiciones
• A) f(x,y) es continua en R. B) df/dy es
  continua en R.
• Existe un intervalo1 con centro en X0,Y0
  existe una y solo una funcion yg(x) definida en
  el intervalo1 que satisface la condicion inicial
  Y(X0)Y0

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EXISTENCIA Y UNICIDAD
Condiciones para la existencia de soluciones
- Continuidad de f(X0,Y0) en R. - Acotamiento
de f(X0,Y0) en R. Condiciones para la
unicidad - Continuidad de f(X0,Y0) y df/dy
en R. - Acotamiento de f(X0,Y0) y df/dy en
R.
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FUENTES DE REFERENCIA

• http//html.rincondelvago.com/ecuacion-diferencial
  _1.html
• Ecuaciones diferenciales.
• AutorIsabel Carmona Jover.
• EditorialPearson.