C

1
Cálculo de Variaciones

• René J. Meziat y Jorge Villalobos
• Departamento de Matemáticas
• Universidad de los Andes

2
Problemas Geométricos

• Braquistocrona encontrar la curva que se recorre
  en el menor tiempo posible por una partícula que
  parte del reposo bajo la acción de la gravedad
• Catenaria encontrar la curva (fija en dos
  extremos) que da la mínima superficie de
  revolución

3
Métodos del Cálculo de Variaciones (1)

• En su forma unidimensional el problema se puede
  ver como
• Se tiene una función
• Definida en un camino y y(t) entre dos valores
  t1 y t2
• Se quiere encontrar un camino y(t) tal que la
  integral de línea I de f entre t1 y t2 tenga un
  valor estacionario
• Se consideran, solamente, variaciones entre
  caminos para los que y(t1) y1 y y(t2) y2

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Métodos del Cálculo de Variaciones (2)

• f debe ser estacionario para el camino correcto
  relativo a cualquier camino vecino
• Tomamos un conjunto de caminos vecinos
  identificados por un parámetro infinitesimal a
  y(x,a) con y(x,0) el camino correcto, y se
  utiliza una función h(x) llamada variación, que
  toma el valor 0 en x x1 y x x2
• Ahora I es un funcional de a

5
Métodos del Cálculo de Variaciones (3)

• La condición para obtener un punto estacionario
  es
• Que nos lleva a la siguiente ecuación diferencial
  para y

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Deducción de las ecuaciones de Euler-Lagrange (1)

• La variación de I con respecto a a se puede
  escribir como

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Deducción de las ecuaciones de Euler-Lagrange (2)

• Por lo tanto la variación de I con respecto a a
  es
• Puesto que h(x) es arbitrario obtenemos las
  ecuaciones diferenciales de Euler- Lagrange

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Métodos del Cálculo de VariacionesSistemas de
Varias Variables

• f puede depender de varias variables
  independientes yi y sus derivadas
• Para este caso se debe cumplir el sistema de las
  ecuaciones diferenciales de Euler-Lagrange
• Las soluciones de éstas ecuaciones representan
  curvas para las que la variación del integrando I
  es cero

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Solución de Problemas GeométricosBraquistocrona
(1)

• Si v es la velocidad de la partícula, el tiempo
  que le toma caer una longitud ds es ds/v
• El problema es, entonces, encontrar el mínimo de
• Si se mide x hacia abajo desde 1 podemos escribir
• Además

10
Solución de Problemas GeométricosBraquistocrona
(2)

• Identificamos f como
• La ecuación de Euler-Lagrange es
• Que tiene como solución (parametrizada) la
  cicloide

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Solución de Problemas GeométricosCatenaria (1)

• Tenemos una curva fija en dos extremos (x1,y1) y
  (x2,y2) queremos que el área que se genera al dar
  una revolución alrededor del eje y sea mínima
• El área del segmento sombreado de la figura es
  2pxds
• El área total está dada por la integral de la
  derecha, este es el integrando del problema
  variacional

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Solución de Problemas GeométricosCatenaria (2)

• Las ecuaciones de Euler-Lagrange nos dan la
  ecuación diferencial
• Que tiene solución
• Esta es la ecuación de una catenaria
• La gráfica de la curva es (en el plano xy)

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Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica (1)

• Principio de Hamilton
• Describe el movimiento de un sistema mecánico
• Para sistemas monogénicos (toda fuerza es
  derivable a partir de un potencial escalar)
• El movimiento de un sistema del tiempo t1 al
  tiempo t2 es tal que la integral de línea
• donde L T V, tiene un valor estacionario
  para el camino corrrecto del movimiento.
• T es la energía cinética del sistema y V el
  potencial al que este está sujeto
• I se conoce como la acción o integral de acción

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Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica(2)

• El principio de Hamilton se puede expresar
  diciendo que el movimiento es tal que la
  variación de la integral de línea I es cero para
  t1 y t2 fijos
• qi se llaman coordenadas generalizadas y sus
  derivadas son las velocidades generalizadas
• Siempre y cuando las restricciones del sistema
  sean holonómicas
• Este es un problema variacional

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Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica(3)

• En mecánica las ecuaciones de Euler- Lagrange son
• Cada coordenada genera-lizada representa un grado
  de libertad
• Se debe resolver un sistema de ecuaciones
  diferenciales ordinarias de segundo orden
• Los momentos generali-zados se definen como

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Ventajas de la Formulación Variacional

• Involucra cantidades físicas (energía cinética y
  potencial) independientes de las coordenadas con
  que se especifique el sistema. Esto hace que la
  formulación sea invariante con respecto a los
  sistemas de coordenadas.
• El Lagrangiano es indeterminado a una derivada
  total temporal de cualquier función de
  coordenadas y tiempo.
• Se puede extender a sistemas que no se consideran
  en la dinámica de partículas
• La imposición de la conservación de la energía
  lleva a la formulación Hamiltoniana de la mecánica

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Consecuencias Inmediatas de la Formulación
Variacional

• Teoremas de Conservación
• Si el Lagrangiano de un sistema es independiente
  de una coordenada qj pero sí depende de la
  velocidad correspondiente, entonces el momento
  correspondiente es independiente del tiempo (se
  conserva)
• Propiedades de Simetría
• La simetría del sistema con respecto a sus
  coordenadas generalizadas está íntimamente ligada
  con la conservación de los momentos con respecto
  a los ejes de simetría

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Ejemplos FísicosOscilador Armónico (1)

• Masa m conectada a un resorte de constante k.
• La coordenada generalizada es el desplazamiento x
  de m con res-pecto a la posición de equilibrio
  del resorte
• La energía cinética T y la energía potencial U
  son
• El Lagrangiano del sistema es
• La ecuación de Euler-Lagrange para la coordenada
  x es

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Ejemplos FísicosOscilador Armónico (2)

• La solución de la ecuación de movimiento para la
  posición de la masa es
• La amplitud A del movimiento y la fase f dependen
  de las con-diciones iniciales del sistema
• Para w 1/s, A 1m y f p/2 (posición inicial
  1m, velocidad inicial 0 m/s) el movimiento es
  oscilatorio con periodo T 2p s

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Ejemplos FísicosPéndulo Simple

• Masa m colgada del techo de una cuerda de
  longitud l, restringida a moverse en el plano xy
• La coordenada generalizada es el ángulo q de l
  con respecto al eje y
• La energía cinética T y la energía potencial U
  son
• El Lagrangiano del sistema es
• La ecuación de Euler-Lagrange para la coordenada
  q es
• Para ángulos q pequeños la solución es idéntica a
  la del oscilador armónico

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Ejemplos FísicosMovimiento Dentro de un Cono (1)

• Masa m restringida a moverse en la superficie
  interior de un cono de ángulo medio a. La
  partícula está sujeta a una fuerza gravitacional.
• Las coordenadas generalizadas son la distancia r
  al eje z y el ángulo q con el eje x. La altura z
  r cot a
• La energía cinética T y la energía potencial U
  son
• El Lagrangiano del sistema es

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Ejemplos FísicosMovimiento Dentro de un Cono (2)

• Para la coordenada q tenemos
• q es una coordenada cíclica
• mr2w es el momentum angular del sistema que debe
  conservarse
• Para la coordenada r tenemos
• La gráfica es para
• r2w1
• r(0)1

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Ejemplos FísicosPéndulo Soportado en un Aro (1)

• El punto de soporte de un péndulo simple de
  longitud b se mueve sobre un aro (sin masa) de
  radio a que rota con velocidad angular constante
  w.
• La coordenada generalizada es el ángulo q que
  hace el péndulo con el eje y
• La energía cinética T y la potencial U son
  (tomando U0 en el centro del círculo)
• El Lagrangiano del sistema

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Ejemplos FísicosPéndulo Soportado en un Aro (2)

• La ecuación de Euler-Lagrange para la coordenada
  q es
• Que se reduce a la ecuación del péndulo simple si
  tomamos w 0
• Tomando w 1/s, b 2a 1m y g 10 m/s2, q(0)
  0,
• q Vs. t
• x(t), y(t) (paramétrico)

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Ejemplos FísicosPéndulos Acoplados (1)

• Dos masas iguales se ponen en una cuerda, una a
  a, la otra a 2a. El extremo O de la cuerda está
  fijo
• Las coordenadas generalizadas son los ángulos q y
  j de la figura
• La energía cinética y potencial del sistema son
• El Lagrangiano del sistema

a
q
a
j
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Ejemplos FísicosPéndulos Acoplados (2)

• Las ecuaciones de Euler-Lagrange para q y j son
• Tomando
• a 0.5 m,
• g 10 m/s2,
• q(0) 0, q(0) 0,
• j(0) 0.5 rad y j(0) 0
• q Vs. t
• j Vs. t

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Otras Áreas de la FísicaTeoría de Campos

• La formulación Lagrangiana de partículas se puede
  extender a la descripción de campos.
• Se trabaja con la densidad Lagrangiana del
  sistema
• Las ecuaciones de campo que se deducen de esta
  formulación son
• Esta formulación tiene aplicaciones en
  electromagnetismo, relatividad, mecánica
  cuántica, etc

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Principio Variacional en Elasticidad

• En elasticidad se puede aplicar un principio
  variacional sobre el siguiente planteamiento
• La energía de carga es, en general, un término no
  convexo que favorece la formación de
  microestructuras en el material
• Microestructura estructura observada en un
  espécimen con una magnificación óptica x25 a
  x1500
• La energía de superficie es una función que
  penaliza cambios fuertes en la función que
  minimiza la energía total

29
Dificultad y Motivación de Problemas No Convexos
(1)

• Qué características debe tener el integrando
  (Lagrangiano) para que existan minimizadores para
  I en un espacio de funciones? D. Hilbert, 1900
• I debe ser débil inferiormente semicontinuo
• Requisito convexidad de f en la derivada de
  y(x). Tonelli, 1930.
• Si el integrando f no es convexo en la derivada
  no se puede garantizar la existencia de
  minimizadores de I. Dacorogna, 1980
• Las ecuaciones de Euler-Lagrange no son un método
  efectivo para buscar estos minimizadores

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Dificultad y Motivación de Problemas No Convexos
(2)

• El principio variacional para la elasticidad es
  no convexo, el término de la energía de
  superficie hace que el problema tenga solución
• La no convexidad de la energía de carga es la
  responsable de la formación de la microestructura
  en el material
• Se presenta a continuación el método de los
  momentos
• Permite encontrar la solución de algunos
  problemas variacionales no convexos
• En caso que el problema no tenga solución, da
  información sobre el comportamiento de las
  sucesiones minimizantes

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Problema de BolzaBalance de Energía Para una
Barra

• Simplificación de un problema de balance
  energético para una barra unidimensional de
  longitud 1
• Energía de superficie 0
• La barra está bajo el efecto de algunas cargas
  externas
• u(x) es la deformación que experimenta el punto x
  sobre la barra
• u(x) la deformación unitaria

32
Problema de BolzaDificultad y Motivación

• El balance energético que propone el problema de
  Bolza impone condiciones difíciles de cumplir
• I(u) ³ 0
• u(x) 0
• u(x) 1
• Estas condiciones no son compatibles
• La ecuación de Euler-Lagrange para u presenta
  soluciones inestables al utilizar los métodos
  numéricos convencionales
• Además esta ecuación no caracteriza el minimizador

33
Problema de BolzaRelajación

• Encuentra la solución o, en caso que esta no
  exista, da información sobre las sucesiones
  minimizantes de problemas no convexos
• Problema variacional problema de optimización
• No convexidad en la derivada se remplaza el
  integrando por su envolvente convexa
• Los minimizadores de esta relajación convexa son
  los límites débiles de las sucesiones
  minimizantes del problema original

Relajación
34
Problemas Variacionales No ConvexosRelajación
Convexa

• La relación entre el problema original y el
  relajado es
• Sea un una sucesión minimizante de I, entonces
  ella converge débilmente a un minimizador de
• Teorema de Caratheodory Dada una función f
  coerciva y continua f Rn R su envolvente
  convexa está definida como
• el óptimo se obtendrá en una combinación convexa
  de n1 puntos a lo sumo.

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Problemas Variacionales No Convexos Relajación
en Medidas (1)

• Para lograr la relajación convexa del funcional I
  se introduce un nuevo funcional I en medidas
• n es una familia de medidas de probabilidad mx
  parametrizada por los puntos x del dominio del
  problema (medida de Young)
• Cada medida parametrizada debe cumplir

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Problemas Variacionales No Convexos Resultados
de Relajación (Pedregal)

• El teorema de Caratedory implica que el mínimo de
  I se obtiene en las medidas óptimas mx que
  determi-nan la envolvente convexa de f(y,yx)
  respecto a l
• y(x) es minimizador de I
• Además se tiene que
• Notación solución buscada

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Problemas Variacionales No Convexos Relajación
en Medidas (Pedregal)

• La medida de Young óptima n contiene la
  información sobre el comportamiento límite de las
  sucesiones minimizantes de I
• Si todos los miembros mx de n están soportados
  en un único punto, I tiene minimizador en el
  espacio de funciones correspondientes y
• Si alguna de las medidas óptimas parametrizadas
  mx tiene soporte en dos o más puntos, I no tiene
  solución. Pero el soporte de cada mx nos indica
  los valores que puede tomar el gradiente y(x)
  en cada x Î W y para cualquier sucesión
  minimizante un de I

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Problemas Variacionales No Convexos Relajación
Semidefinida (Meziat)

• Problema variacional generalizado
• f puede ser no convexo sobre l pero debe tener
  estructura polinomial
• Si f tiene esta estructura su envoltura convexa
  está dada por

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Problemas Variacionales No Convexos Relajación
Semidefinida (Meziat) (2)

• Con m(x) la solución al programa matemático
• Las nuevas variables de diseño deben formar una
  matriz de Hankel, ya que mk(x) representa el
  momento de orden k de la medida parametrizada
• La matriz H(x) es cuadrada (n1)(n1), simétrica
  y los elementos sobre las diagonales secundarias
  coinciden

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Problemas Variacionales No Convexos Relajación
Semidefinida (Meziat) (3)

• El problema variacional original se transforma en
  un problema de optimización (se ha discretizado
  x)
• Este problema se resuelve con métodos de
  optimización numérica
• De los momentos algebraicos mk(xi) se puede
  extraer la información sobre el soporte y los
  pesos en los que está soportada la medida en cada
  xi.
• Soporte unitario (l1 1 para todo x) implica que
  el problema original tiene solución
• Soporte doble (l1 lt 1 para algún x) implica que
  el problema original no tiene solución

41
Problemas Variacionales No Convexos Relajación
Semidefinida (Meziat) (4)

• Los puntos de soporte de la medida t1 y t2 se
  encuentran a partir de los tres primeros
  momentos son las raíces del polinomio P(x)
• Soporte unitario (t1 t2 para todo xi) el
  problema tiene solución
• Soporte doble el problema no tiene solución
• Los pesos l1,2(xi) se encuentran con

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Problemas Variacionales No Convexos
Comportamiento de las Sucesiones Minimizantes

• Soporte unitario Las sucesiones minimizantes
  un para I no presentan alternancia en la
  derivada
• Si esto se presenta para todo punto de la malla,
  I tiene minimizador yi u(xi)
• Soporte doble Las sucesiones minimizantes
  presentan alternancia en la derivada entre los
  valores t1 y t2. El problema I carece de
  solución.
• La alternancia entre los valores t1 y t2 está
  regida por los pesos l1 y l2 respectivamente

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Problema de BolzaSolución con Medidas (1)

• Problema de Bolza
• No convexo en u(x)
• Tiene forma polinomial en la variable derivada
• El problema relajado en momentos es

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Problema de BolzaSolución con Medidas (2)
m1

• Los momentos que se encuentran son
• Que llevan a
• La sucesión minimizante tiene la forma

m2
m3
m4
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Envolvente Convexa de una Función

• Una función es convexa si cumple la desigualdad
  de Jensen
• La envoltura convexa es la máxima función convexa
  que acota inferiormente a la función
• En la gráfica se ve, en rojo, la envoltura
  convexa de
• (1-u(x)2)2.
• La línea azul muestra una violación de la
  desigualdad de Jensen