1. Introducci

1
1. Introducción a las ecuaciones diferenciales
2
Qué es una ecuación diferencial?
Función diferenciable en (-?, ?). Su derivada
es
Ejemplo de ecuación diferencial
Imaginemos que nos dan directamente esta
ecuación. Intentaremos contestar preguntas del
tipo Qué función representa y(x)? Cómo se
resuelve semejante ecuación?
3
Qué es una ecuación diferencial (ED)? Es una
ecuación que contiene las derivadas de una o más
variables dependientes, con respecto a una o más
variables independientes.
variable dependiente
variable independiente
Las EDs se clasifican por tipo, orden y
linealidad.
4
Clasificación por tipo
Ecuación diferencial ordinaria (EDO) Una
ecuación que contiene sólo derivadas ordinarias
de una o más variables dependientes de una sola
variable independiente. Ejemplo de EDO
Una EDO puede contener más de una variable
dependiente
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Ecuación diferencial parcial (EDP) Una ecuación
que contiene derivadas parciales de una o más
variables dependientes de dos o más variables
independientes. Ejemplos
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Notaciones

• Notación de Leibniz dy/dx, d2y/ dx2,...
• Notación con primas y', y'', y''' y(n),...
• Notación de Newton
• Notación de subíndice ux , uy , uxx , uyy , uxy
  ,

En la notación de Leibniz localizamos rápidamente
cuál es la variable dependiente y la
independiente
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Clasificación según el orden
El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO
o EDP) es el orden mayor de la derivadas
involucradas en la ecuación. Ejemplo
Segundo orden Primer orden
Luego, es una EDO de segundo orden.
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Nota A veces escribiremos las EDOs en forma
diferencial
Por ejemplo, supongamos que y es la variable
dependiente y x la independiente en la EDO en
forma diferencial
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• Forma general de orden n de una EDO
• Forma normal de orden n de una EDO
• Por ejemplo, las formas general y normal de la
  EDO
• son respectivamente
  

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Grado El grado de una ecuación diferencial es el
grado algebraico de su derivada de mayor orden.
Es decir, el grado de una ecuación diferencial es
la potencia a la que esta elevada la derivada que
nos da el orden de la ecuación diferencial. Ejemp
lo La siguiente ecuación diferencial es de
primer grado, dado que la segunda derivada, que
nos da el orden de la EDO, está elevada a uno.
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Ejercicios Determinar el grado de las siguientes
ecuaciones a) b)
NOTA cuando alguna derivada esté dentro de un
radical o en polinomio, que a su vez esté elevado
a una potencia fraccionaria, tendremos que
eliminar dicho radical para determinar el grado
de la ecuación diferencial.
12
Ejercicios Determinar el orden y grado de las
siguientes ecuaciones diferenciales a) b)
c) d)
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Clasificación según la linealidad
Se dice que una EDO de orden n es lineal si F
(en la forma general) es lineal en y, y, y, ,
y(n).
O bien
Dos casos importantes para nosotros serán las
EDOs lineales de primer y segundo orden.
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Lineal homogénea El término independiente g(x)
es nulo. Lineal con coeficientes constantes
Los coeficientes a0(x),...,an(x) son
constantes. Lineal con coeficientes variables
Enfatiza el hecho de que al menos uno de los
coeficientes a0(x),...,an(x) NO es constante.
15
En una EDO lineal de orden n 1) y, y, y, ,
y(n) son de primer grado. 2) Coeficientes a0, a1,
, dependen solo de la variable independiente x.
Si no es lineal, es no lineal -) Ejemplos de
EDOs no lineales
El coeficiente depende de y.
Función no lineal de y.
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Ejemplos Lineales o no lineales? 1) 2) 3) 4)
5) 6)
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Ejemplo comprobación de una solución.

• Comprobar que la función indicada es la solución
  de la EDO dada en el intervalo (-?, ?)
• (a) dy/dx xy1/2. Solución y x4/16.
• Solución Existe la derivada dy/dx x3/4 para
  todo x de (-?, ?).
• (a) Lado izquierdo
• Lado derecho

Y la igualdad se cumple para todo x de (-?, ?).
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Ídem, para (b)

• Solución
• (b) Derivando la solución dos veces
• y' xex ex
• y'' xex 2ex
• Nótese que y(x) 0 también es solución tanto de
  este ejemplo como del anterior en el intervalo
  (-?, ?).
• Se conoce como solución trivial.

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• Solución de una EDO
• Cualquier función ? , definida en un intervalo I
  y con al menos n derivadas continuas en I, que al
  sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria
  de n-ésimo orden reduce la ecuación a una
  identidad, se considera solución de la ecuación
  en el intervalo.

En otras palabras, ? posee al menos n derivadas y
cumple
Siempre hemos de considerar una solución junto a
su intervalo I de definición, también llamado
intervalo de existencia, de validez o dominio de
definición. Al proceso de obtención de las
soluciones de una EDO se le denomina integración
de la ecuación.
20
Una EDO puede tener Infinitas soluciones Una
única solución Ninguna solución
21
Ejemplo Comprobar que la y x2 C no es
solución de la ecuación diferencial
Solución Derivando y x2 C tenemos

• Sustituyendo el valor de la derivada encontrada
  en la ecuación diferencial tenemos
• Por lo tanto y x2 C no es solución de la
  ecuación diferencial

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Ejercicios Determine si cada ecuación es solución
o no de la ecuación diferencial dada
23
Ejemplo Hagámoslo a la inversa. Encuentre la ED
cuya solución general es y x2
C. Solución Observemos que sólo aparece una
constante de integración, de manera que derivamos
una sola vez la solución general y x2 C.
Así Como en esta derivada no aparecen
constantes de integración, quiere decir que esta
es la ED de la solución general propuesta.
24
Ejemplo Encuentre la ED cuya solución general es
y C x2.
Solución Observemos que sólo aparece una
constante de integración, de manera que derivamos
una sola vez la solución general y C x2.
Así Despejamos C de la solución general y se
sustituye el valor encontrado en la ED.
Por lo tanto es la ED de la solución general,
puesto que ya no aparecen constantes de
integración.
25
Ejercicios Encuentra la ED de cada una de las
siguientes soluciones generales
26
Función vs solución
La gráfica de una solución ? de una EDO se llama
curva solución. Como ? es una función
diferenciable, es continua en su intervalo de
definición I. Puede, entonces, haber diferencias
entre la gráfica de la función y la solución.
Veamos un ejemplo

• (a) y 1/x considerada como una función, tiene
  dominio de definición (-?, 0) U (0, ?).
• Es discontinua y no diferenciable en x 0.
• (b) y 1/x es también solución de xy y 0.
  Se entiende que es solución en algún intervalo I
  en el que es diferenciable y cumple la EDO. Por
  ejemplo, en (0, ?).

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• Solución explícita de una EDO
• La variable dependiente está expresada solamente
  en términos de variables independientes y
  constantes.
• Por ejemplo, la solución de xy' y 0 en (0,
  ?) es
• y ?(x) 1/x.
• Solución implícita de una EDO
• Una relación G(x,y) 0 es una solución
  implícita de una EDO en un intervalo I, siempre
  que exista al menos una función y ?(x) que
  satisface tanto la relación como la ED en I.

Veamos un ejemplo
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Ejemplo Comprobación de una solución implícita.
x2 y2 25 es una solución implícita de dy/dx
- x/y en el intervalo -5 lt x lt 5 puesto que al
derivar de forma implícita respecto a x dx2/dx
dy2/dx (d/dx)(25), 2x 2y(dy/dx) 0
obtenemos la EDO dy/dx -x/y.Despejando y
de la solución implícita podemos encontrar dos
soluciones explícitas
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• Familia de soluciones o solución general
• Al resolver una EDO de primer orden F(x, y, y')
  0, en general, se obtiene una solución que
  contiene una constante arbitraria o parámetro c.
  Una solución así, G(x, y, c) 0 representa en
  realidad a un conjunto de soluciones, llamado
  familia uniparamétrica de soluciones.
• Cuando se resuelve una ED de orden n, se busca
  una familia n-paramétrica de soluciones
• G(x, y, c1, c2, , cn) 0.

Observemos que el número de constantes
arbitrarias en la solución general
está determinado por el orden de la EDO.
30
Solución particular es una solución libre de
parámetros arbitrarios. Por ejemplo y cx x
cos x es la solución general de xy y x2 sin
x en (-?, ?) una familia uniparamétrica de
soluciones. Tomando c 0, tenemos y x cos x,
una solución particular.
31

• Ejemplo Sin explicitarlo, hemos visto que las
  variables independientes y dependientes pueden
  usar símbolos distintos a x e y. Por ejemplo
• x c1cos(4t)
• x c2 sen(4t)
• con c1 y c2 constantes o parámetros arbitrarios,
  son ambas soluciones de la EDO
• x? 16x 0.
• Podemos comprobar fácilmente que la suma
• x c1cos 4t c2 sin 4t
• es también una solución.

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Ejemplo solución definida por partes.
Podemos comprobar que la familia uniparamétrica y
cx4 es una solución de xy? 4y 0 en (-?,
?). La función definida a trozoses una
solución particular donde elegimos c -1 para x
lt 0 y c 1 para x ? 0.
33

• Solución singular Una solución que no puede
  obtenerse al especificar los valores de los
  parámetros de la familia de soluciones.
• Por ejemplo y (x2/4 c)2 es la familia de
  soluciones de dy/dx xy1/2 , sin embargo
• y(x) 0 también es una solución de la ED
  anterior.
• No podemos encontrar ningún valor de c en la
  familia de soluciones y (x2/4 c)2 que nos
  proporcione la solución y 0, así que llamamos a
  y 0, solución singular.

34

• Sistema de EDOs dos o más ecuaciones con las
  derivadas de dos o más funciones desconocidas de
  una sola variable independiente.
• Ejemplo de sistema de dos ecuaciones
  diferenciales de primer orden
• dx/dt f(t, x, y) dy/dt g(t, x, y)

35
Problemas de valores iniciales (PVI)

• Encontrar la solución y(x) de una ED que además
  satisfaga condiciones adicionales
• en y(x) y en sus derivadas.
• Ejemplo en un intervalo I que contiene a xo
• Resolver
• con condiciones
• A esto se le llama problema de valor inicial.
• Y a las condiciones se las llama condiciones
  iniciales.

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PVIs de primer y segundo orden

• Resolver
• sujeta a
• Resolver
• sujeta a

son problemas de valor inicial de primer y
segundo orden, respectivamente. Fácilmente
interpretables de manera geométrica, como vemos
en las figuras.
37

• Ejemplo
• Sabemos que y cex es una familia
  uniparamétrica de soluciones de la EDO
• y y en (-?, ?).
• Si y(0) 3, entonces
• 3 ce0 c. Así y 3ex es una
• solución de este problema de valor inicial.Si
  queremos una solución que pase por (1, -2),
  entonces la condición es y(1) -2. De modo que
  -2 ce,
• c -2e-1. Y tenemos y -(2/e)ex.

y 3ex
y -(2/e)ex
38
Ejemplo vimos que x c1cos(4t) c2sen(4t) era
una solución de x? 16x 0. Hallar una
solución del siguiente PVI x? 16x 0,
x(? /2) -2, x?(? /2) 1.
Solución Sustituimos x(? /2) - 2 en x
c1cos(4t) c2sen(4t), y obtenemos c1 -2. De
la misma manera, a partir de x?(? / 2) 1
obtenemos c2 ¼. La solución pedida es
x -2 cos 4t ¼ sen 4t
39
Ejemplo la solución de y 2xy2 0 es y
1/(x2 c). Si imponemos y(0) -1, obtenemos c
-1.
Considérense las siguientes distinciones 1)
Como función, el dominio de y 1/(x2 - 1) es el
conjunto de todos los números reales excepto -1
y 1.
2) Como una solución los intervalos de
definición mayores posibles son (-?, 1), (-1, 1)
y (1, ?). 3) Como un problema de valor inicial,
con y(0) -1. El intervalo de definición mayor
es (-1, 1).
40

• Existencia y unicidad
• Existe siempre una solución para un problema de
  valor inicial (PVI)? Y si existe una solución,
  es única?

Ejemplo Ya que y x4/16 e y 0 satisfacen
la EDdy/dx xy1/2 , y también el valor inicial
y(0) 0, esta ED tiene al menos dos soluciones
41

• Teorema de existencia de una solución única

Sea R la región rectangular en el plano xy
definida por a ? x ? b, c ? y ? d que contiene
el punto (xo, yo) en su interior. Si f(x, y) y
?f/?y son continuas en R, entonces existe algún
intervalo Io xo- h lt x lt xo h, h gt 0,
contenido en a ? x ? b y una función única y(x)
definida en Io que es una solución del PVI .
Las condiciones del teorema son suficientes, pero
no necesarias...
42
Vimos que dy/dx xy1/2 , tenía como soluciones a
y x4/16 e y 0. La inspección de las
funciones

• muestra que son continuas en el semiplano
  superior y gt 0. Basándonos en el teorema de
  existencia de una solución única, concluimos que
  para cada punto (xo, yo), con yo gt 0, existe un
  intervalo centrado en xo en el que esta ED tiene
  una solución única.

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• Intervalo de existencia y unicidad
• Suponiendo que y(x) es una solución de un PVI,
  los siguientes conjuntos pueden no ser los
  mismos
• el dominio de y(x),
• el intervalo de definición de y(x) como solución,
• el intervalo Io de existencia y unicidad.

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Curvas solución "sin una solución"

• Empezaremos nuestro estudio de EDOs de primer
  orden analizando una EDO cualitativamente.

dy/dx 0.2 xy f(x, y)
(a) Pendientes Debido a que la solución y(x) de
dy/dx f(x,y) es necesariamente una función
diferenciable en I, también es continua. Así, la
derivada dy/dx f(x,y) proporciona las pendientes
de las rectas tangentes a las curvas solución en
los puntos (x,y).
(b) Elementos lineales Suponemos que dy/dx
f(x, y(x)). El valor f(x, y) representa la
pendiente de una recta, o un segmento de recta
que llamaremos elemento lineal.
45
Campo de direcciones

• Si para la EDO dy/dx f(x, y) se evalúa f en
  una red o malla de puntos rectangular en el plano
  xy, y se dibuja un elemento lineal en cada nodo
  (x, y) de la malla con pendiente f(x, y),
  obtenemos el campo de direcciones o campo de
  pendientes.

46

• Ejemplo El campo de direcciones de
• dy/dx 0.2 xy está representado en la figura
  (a). Compárese con la figura (b) donde se han
  representado unas curvas de la familia de
  soluciones.

47

• Ejemplo Use un campo de direcciones para dibujar
  una curva solución aproximada para dy/dx sen y,
  con y(0) -3/2.

Solución Apelando a la continuidad de f(x, y)
sen y y ?f/?y cos y, el teorema de existencia y
unicidad garantiza la existencia de una única
curva solución que pasa por algún punto
especificado en el plano. Ahora dividimos la
región que contiene a (-3/2, 0) en una malla
rectangular. Calculamos el elemento lineal de
cada nodo para obtener la siguiente figura
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• EDs de primer orden autónomas
• dy/dx f(y)
  
• Una EDO en la que la variable independiente no
  aparece de manera explícita es autónoma.

Nota Recordemos que si dy/dx gt 0 para todo x de
I, entonces y(x) es creciente en I. Y si dy/dx lt
0 para todo x de I, entonces y(x) es decreciente
en I.
49
Puntos críticos

• Los ceros de f en la EDO autónoma dy/dx f(y)
  son puntos especialmente importantes.
• Si f(c) 0, c es un punto crítico, punto de
  equilibrio o punto estacionario.
• Si sustituimos y(x) c en dy/dx f(y),
  obtenemos 0 0, de modo que si c es un punto
  crítico, entonces y(x) c es una solución de
  dy/dx f(y).
• Una solución y(x) c constante, se llama
  solución de equilibrio. Los equilibrios son las
  únicas soluciones constantes de dy/dx f(y).

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• Ejemplo La siguiente ED, dP/dt P? (a bP)
• donde a y b son constantes positivas, es
  autónoma.

De f(P) P? (a bP) 0, obtenemos las
soluciones de equilibrio P(t) 0 y P(t)
a/b. Colocamos los puntos críticos en una recta
vertical (recta fase), que la divide en tres
intervalos. Las flechas en la figura indican el
signo algebraico de f(P) P? (a bP) en ese
intervalo. Si el signo es positivo o negativo,
entonces P es creciente o decreciente en este
intervalo.
51
Curvas solución

• Si garantizamos la existencia y unicidad de la
  EDO autónoma dy/dx f(y), (f y f ? son continuas
  en un intervalo I), por cada punto (x0, y0) en R,
  pasa una sola curva solución.

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Supongamos que la EDO autónoma presenta dos
puntos críticos, c1, y c2, tales que c1 lt c2.
Las gráficas de las soluciones de equilibrio y(x)
c1, y(x) c2 son rectas horizontales y dividen
R en tres regiones, a los que podemos llamar R1,
R2 y R3 como en la figura.
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(1) Si (x0, y0) está en Ri, i 1, 2, 3, una
solución y(x) que pasa por (x0, y0), permanecerá
en la misma subregión.
(2) Por continuidad de f , f(y) es mayor o menor
que cero y no puede cambiar de signo en una
subregión.

• (3) Como dy/dx f(y(x)) es o positiva o negativa
  en Ri, cualquier solución y(x) es monótona en Ri.
• (4) Si y(x) está acotada superiormente por c1,
  (y(x) lt c1), la gráfica de y(x) se aproximará a
  la solución de equilibrio y(x) c1 cuando x ? ?
  o x ? -?. Si está acotada c1 lt y(x) lt c2, se
  aproximará a y(x) c1 e y(x) c2. cuando x ? ?
  o x ? -?. Y por último, si está acotada
  inferiormente,
• c2 lt y(x) , se aproximará a y(x) c2 cuando x ?
  ? o x ? -?. .

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En el ejemplo dP/dt P? (a bP)

• P 0 y P a/b son dos puntos críticos, por
  tanto tenemos tres intervalos para PR1 (-?,
  0)
• R2 (0, a/b)
• R3 (a/b, ?) Sea P(0) P0. Cuando una
  solución pasa por P0, tenemos tres tipos de
  curvas solución dependiendo del intervalo al que
  pertenece P0.

55

• La ED dy/dx (y 1)2 tiene un único punto
  crítico y 1. Desde la gráfica, llegamos a la
  conclusión de que una solución y(x) es creciente
  en
• -? lt y lt 1 y 1 lt y lt ?, donde -? lt x lt ?.

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Atractores y repulsores hay tres tipos de
comportamiento que y(x) puede exhibir en las
cercanías de un punto crítico c.

• (a) Cuando ambas flechas apuntan a c, y(x) se
  aproximará a c. Este tipo de punto crítico se
  denomina asintóticamente estable. El punto c se
  denomina atractor.
• (b) Cuando ambas flechas no apuntan a c, y(x) se
  alejará de c. Este tipo de punto crítico se
  denomina inestable. El punto c se denomina
  repulsor o repulsivo.

(c) y (d) Cuando y0 a un lado de c es atraído por
c y repelido por el otro lado. Este tipo de
puntos críticos se denomina semiestables.
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EDO autónomas y campos de direcciones
La figura muestra el campo de direcciones de
dy/dx 2y 2.Podemos observar que los
elementos lineales que pasan por los puntos de
cualquier recta horizontal mantienen la
pendiente.
Recordemos que una EDO autónoma es de la forma
dy/dx f(y), y las pendientes sólo dependen de
y.