Presentaci

1
Instituto Tecnológico de Puebla
Límites
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
2
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Resumen
La notación para la definición de
límite, es muy compleja y confusa cuando los
alumnos tratan con ella por primera vez en los
cursos de Cálculo Diferencial, sin embargo, es
la manera precisa de definir el límite de una
función, cuando este existe. Una manera de
visualizar de forma dinámica este concepto, se
basa en el paquete Cabri Geometre II y la
interpretación geométrica de la definición de
límite.
3
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Introducción
Sea la función
Se quiere ver el comportamiento de la función
cuando al variar x, ésta se acerca a un punto
fijo que se ha seleccionado (pero nunca es este
punto).
4
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
En este ejemplo, se quiere ver el comportamiento
de f(x) cuando x toma diferentes valores
cercanos a 1, es decir
x
y
y 3x 4
cuando x tiende a 1, o de manera formal
5
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Con Cabri marcamos tres puntos, O, P y Q (al
mover P se representa a x )
Q
O
x 1.9050
y 9.7150
y 3x 4
P
se mueve P sobre el eje x, acercándose a 1
6
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
y al hacerlo, también se mueve el punto Q
variando los valores de x y y
Q
x 1.7992
O
y 9.3975
y 3x 4
P
al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo
acercándose a un valor fijo, que es...
7
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
y al hacerlo, también se mueve el punto Q
variando los valores de x y y
x 1.7198
Q
O
y 9.1594
y 3x 4
P
al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo
acercándose a un valor fijo, que es...
8
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
y al hacerlo, también se mueve el punto Q
variando los valores de x y y
x 1.5875
Q
O
y 8.7625
y 3x 4
P
al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo
acercándose a un valor fijo, que es...
9
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
y al hacerlo, también se mueve el punto Q
variando los valores de x y y
x 1.4817
Q
y 8.4450
O
y 3x 4
P
al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo
acercándose a un valor fijo, que es...
10
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
y al hacerlo, también se mueve el punto Q
variando los valores de x y y
x 1.3758
y 8.1275
Q
O
y 3x 4
P
al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo
acercándose a un valor fijo, que es...
11
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
y al hacerlo, también se mueve el punto Q
variando los valores de x y y
x 1.3229
y 7.9687
Q
O
y 3x 4
P
al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo
acercándose a un valor fijo, que es...
12
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
y al hacerlo, también se mueve el punto Q
variando los valores de x y y
x 1.2435
y 7.7306
Q
O
y 3x 4
P
al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo
acercándose a un valor fijo, que es...
13
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
y al hacerlo, también se mueve el punto Q
variando los valores de x y y
x 1.1906
y 7.5719
Q
O
y 3x 4
P
al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo
acercándose a un valor fijo, que es...
14
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
y al hacerlo, también se mueve el puntog Q
variando los valores de x y y
x 1.1377
y 7.4131
Q
O
y 3x 4
P
al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo
acercándose a un valor fijo, que es...
15
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
y al hacerlo, también se mueve el punto Q
variando los valores de x y y
x 1.0848
y 7.2544
Q
O
y 3x 4
P
al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo
acercándose a un valor fijo, que es...
16
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
y al hacerlo, también se mueve el punto Q
variando los valores de x y y
x 1.0583
y 7.1750
Q
O
y 3x 4
P
al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo
acercándose a un valor fijo, que es...7
17
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Se puede observar que a medida que x se acerca a
1, y se acerca a 7, pero y f(x)
x 1.0054
y 7.0162
Q
O
y 3x 4
P
por lo que se puede escribir lo anterior de la
manera
18
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer
a la derecha, también se puede aproximar por
puntos cercanos
x 0.0950
y 4.2850
Q
y 3x 4
O
P
a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a 1
19
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer
a la derecha, también se puede aproximar por
puntos cercanos
x 0.2008
y 4.6025
Q
O
y 3x 4
P
a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a
1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba
acercándose a un valor fijo, que es...
20
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer
a la derecha, también se puede aproximar por
puntos cercanos
x 0.2802
y 4.8406
Q
O
y 3x 4
P
a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a
1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba
acercándose a un valor fijo, que es...
21
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer
a la derecha, también se puede aproximar por
puntos cercanos
x 0.4125
y 5.2375
Q
O
y 3x 4
P
a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a
1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba
acercándose a un valor fijo, que es...
22
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer
a la derecha, también se puede aproximar por
puntos cercanos
x 0.5183
y 5.5550
Q
O
y 3x 4
P
a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a
1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba
acercándose a un valor fijo, que es...
23
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer
a la derecha, también se puede aproximar por
puntos cercanos
x 0.6242
y 5.8725
Q
O
y 3x 4
P
a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a
1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba
acercándose a un valor fijo, que es...
24
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer
a la derecha, también se puede aproximar por
puntos cercanos
x 0.6771
y 6.0313
Q
O
y 3x 4
P
a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a
1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba
acercándose a un valor fijo, que es...
25
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer
a la derecha, también se puede aproximar por
puntos cercanos
x 0.7565
y 6.2694
Q
O
y 3x 4
P
a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a
1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba
acercándose a un valor fijo, que es...
26
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer
a la derecha, también se puede aproximar por
puntos cercanos
x 0.8094
y 6.4281
Q
O
y 3x 4
P
a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a
1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba
acercándose a un valor fijo, que es...
27
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer
a la derecha, también se puede aproximar por
puntos cercanos
x 0.8623
y 6.5869
Q
O
y 3x 4
P
a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a
1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba
acercándose a un valor fijo, que es...
28
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer
a la derecha, también se puede aproximar por
puntos cercanos
x 0.9152
y 6.7456
Q
O
y 3x 4
P
a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a
1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba
acercándose a un valor fijo, que es...
29
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer
a la derecha, también se puede aproximar por
puntos cercanos
x 0.9417
y 6.8250
Q
O
y 3x 4
P
a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a
1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba
acercándose a un valor fijo, que es...
30
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer
a la derecha, también se puede aproximar por
puntos cercanos
x 0.9946
y 6.9838
Q
O
y 3x 4
P
a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a
1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba
acercándose a un valor fijo, que es...7
31
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
En ambos acercamientos a 1, tanto a la derecha
como a la izquierda el valor límite es 7, cuando
esto sucede, se dice que el límite
existe y se representa en notación matemática
32
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Donde
representa el límite por la derecha
representa el límite por la izquierda
y
33
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Cuando el límite por la derecha no es igual al
límite por la izquierda, no existe el límite de
la función. Con esto se concluye que la
distancia a la izquierda debe ser igual a la
distancia a la derecha (de otro modo, el radio
que esté a una distancia más corta tenderá a un
valor, y el de la derecha a otro).
34
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Así, se pueden establecer radios y
alrededor de los puntos 1 y 7 respectivamente
7
1
35
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Así, se pueden establecer radios y
alrededor de los puntos 1 y 7 respectivamente
7
1
36
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Así, se pueden establecer radios y
alrededor de los puntos 1 y 7 respectivamente
7
1
37
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Así, se pueden establecer radios y
alrededor de los puntos 1 y 7 respectivamente
7
1
38
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Así, se pueden establecer radios y
alrededor de los puntos 1 y 7 respectivamente
7
1
39
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Así, se pueden establecer radios y
alrededor de los puntos 1 y 7 respectivamente
7
1
40
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Así, se pueden establecer radios y
alrededor de los puntos 1 y 7 respectivamente
7
1
41
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Así, se pueden establecer radios y
alrededor de los puntos 1 y 7 respectivamente
7
1
42
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Que se les pueden llamar
y
7
1
43
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Que se les pueden llamar
y
7
1
y que se pueden hacer tan pequeños como se
necesite
44
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Que se les pueden llamar
y
7
1
y que se pueden hacer tan pequeños como se
necesite
45
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Que se les pueden llamar
y
7
1
y que se pueden hacer tan pequeños como se
necesite
46
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Que se les pueden llamar
y
7
1
y que se pueden hacer tan pequeños como se
necesite
47
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Que se les pueden llamar
y
7
1
y que se pueden hacer tan pequeños como se
necesite
48
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Se han creado dos intervalos que tienen como
centros 1 y 7 y radios y
respectivamente
7
7 -
1
1 -
por lo que se forman los intervalos
49
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Se han creado dos intervalos que tienen como
centros 1 y 7 y radios y
respectivamente
7
7 -
1
1 -
por lo que se forman los intervalos
50
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Se han creado dos intervalos que tienen como
centros 1 y 7 y radios y
respectivamente
7
7 -
1
1 -
por lo que se forman los intervalos
51
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Se han creado dos intervalos que tienen como
centros 1 y 7 y radios y
respectivamente
7
7 -
1
1 -
por lo que se forman los intervalos
52
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
De esta manera, se pueden formar dos franjas
formadas por estos intervalos, intersectándose
en un rectángulo
7
7 -
1
1 -
que al irse cerrando, se van acercando a un punto
fijo
53
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
De esta manera, se pueden formar dos franjas
formadas por estos intervalos, intersectándose
en un rectángulo
7
7 -
1
1 -
que al irse cerrando, se van acercando a un punto
fijo
54
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
De esta manera, se pueden formar dos franjas
formadas por estos intervalos, intersectándose
en un rectángulo
7
7 -
1
1 -
que al irse cerrando, se van acercando a un punto
fijo
55
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
De esta manera, se pueden formar dos franjas
formadas por estos intervalos, intersectándose
en un rectángulo
7
7 -
1
1 -
que al irse cerrando, se van acercando a un punto
fijo
56
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
De esta manera, se pueden formar dos franjas
formadas por estos intervalos, intersectándose
en un rectángulo
7
7 -
1
1 -
que al irse cerrando, se van acercando a un punto
fijo
57
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
De esta manera, se pueden formar dos franjas
formadas por estos intervalos, intersectándose
en un rectángulo
7
7 -
1
1 -
que al irse cerrando, se van acercando a un punto
fijo
58
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
De esta manera, se pueden formar dos franjas
formadas por estos intervalos, intersectándose
en un rectángulo
7
7 -
1
1 -
que al irse cerrando, se van acercando a un punto
fijo
59
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Este punto fijo, es el límite de la función y los
intervalos
7
7 -
1
1 -
de acuerdo a la definición de valor absoluto, se
pueden reescribir de la siguiente manera
60
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Ahora lo que resta es saber para qué valores de
y se cumplen
y
las desigualdades
9.715072.7150
7
4.28507-2.7150
7 -
1.905010.9050
0.09501-0.9050
1
1 -
2.7150
0.9050
61
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Ahora lo que resta es saber para qué valores de
y se cumplen
y
las desigualdades
9.397572.3975
7
4.60257-2.3975
7 -
1.799210.7992
0.20081-0.7992
1
1 -
2.3975
0.7992
62
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Ahora lo que resta es saber para qué valores de
y se cumplen
y
las desigualdades
9.159472.1594
7
4.84067-2.1594
7 -
1.719810.7198
0.28021-0.7198
1
1 -
2.1594
0.7198
63
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Ahora lo que resta es saber para qué valores de
y se cumplen
y
las desigualdades
8.762571.7625
7
5.55507-1.7625
7 -
1.587510.5875
0.41251-0.5875
1
1 -
1.7625
0.5875
64
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Ahora lo que resta es saber para qué valores de
y se cumplen
y
las desigualdades
8.445071.4450
7
5.55507-1.4450
7 -
1.481710.4817
0.51831-0.4817
1
1 -
1.4450
0.4817
65
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Ahora lo que resta es saber para qué valores de
y se cumplen
y
las desigualdades
8.127571.1275
7
5.87257-1.1275
7 -
1.375810.3758
0.62421-0.3758
1
1 -
1.1275
0.3758
66
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Ahora lo que resta es saber para qué valores de
y se cumplen
y
las desigualdades
7.968770.9687
7
6.03137-0.9687
7 -
1.322910.3229
0.67711-0.3229
1
1 -
0.9687
0.3229
67
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Ahora lo que resta es saber para qué valores de
y se cumplen
y
las desigualdades
7.730670.7306
7
6.26947-0.7306
7 -
1.243510.2435
0.75651-0.2435
1
1 -
0.7306
0.2435
68
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Ahora lo que resta es saber para qué valores de
y se cumplen
y
las desigualdades
7.571970.5719
7
6.42817-0.5719
7 -
1.190610.1906
0.80941-0.1906
1
1 -
0.5719
0.1906
69
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Ahora lo que resta es saber para qué valores de
y se cumplen
y
las desigualdades
7.413170.4131
7
6.58697-0.4131
7 -
1.137710.1377
0.86231-0.1377
1
1 -
0.4131
0.1377
70
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Ahora lo que resta es saber para qué valores de
y se cumplen
y
las desigualdades
7.254470.2544
7
6.74567-0.2544
7 -
1.084810.0848
0.91521-0.0848
1
1 -
0.2544
0.0848
71
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Ahora lo que resta es saber para qué valores de
y se cumplen
y
las desigualdades
7.175070.1750
7
6.82507-0.1750
7 -
1.058310.0583
0.94171-0.0583
1
1 -
0.1750
0.0583
72
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Ahora lo que resta es saber para qué valores de
y se cumplen
y
las desigualdades
7.016270.0162
7
6.98387-0.0162
7 -
1.005410.0054
0.99461-0.0054
1
1 -
0.0162
0.0054
73
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
Instituto Tecnológico de Puebla
Vemos que en todos los valores anteriores,
de lo que se concluye, que
se satisface
7.016270.0162
7
6.98387-0.0162
7 -
1.005410.0054
0.99461-0.0054
1
1 -
cuando se cumple la desigualdad
escogiendo
74
Instituto Tecnológico de Puebla
Esta manera dinámica de tratar a los límites,
ayuda mucho en la comprensión de este concepto.
Se anexa un archivo en Cabri con este ejemplo
límite.fig
Oscar Cid Turcott correo electrónico
buran_at_prodigy.net.mx
75

• Datos de identificación del Autor
• Oscar del Angel Cid Turcott.
• Institución Instituto Tecnológico de Puebla.
• Dirección electrónica buran_at_prodigy.net.mx
• Currículo
• Formación académica.
• Licenciatura en física Facultad de Ciencias
  Físico-Matemáticas. Universidad Autónoma de
  Puebla. 1979.
• Maestría en Ciencias Departamento de Ciencia
  de Materiales. ESFM-IPN. 1983.
• Maestría en Ciencias en Matemática Educativa.
  CIIDET. 2002.
• Actividad académica actual Profesor de tiempo
  completo. Departamento de Ciencias Básicas.
  Instituto Tecnológico de Puebla.
• Línea de interés Desarrollo de didácticas en
  la enseñanza de ecuaciones diferenciales, métodos
  numéricos, fundamentos de física y resolución de
  problemas utilizando recursos computacionales.