SIMETR

1
SIMETRÍA
2

• Informalmente, la idea de simetría viene ligada
  a una disposición armónica de los elementos de
  una figura a la que calificamos de simétrica, o
  de la que decimos que posee simetría.

3

• La simetría es un rasgo característico de formas
  geométricas, y también de otros objetos
  materiales o entidades abstractas, relacionada
  con su invariancia bajo ciertas transformaciones,
  movimientos o intercambios.

4

• En el caso de figuras planas, reconocemos
  inmediatamente la existencia de algún tipo de
  simetría en los casos que a continuación se
  muestran.

5
(No Transcript)
6
(No Transcript)
7

• Un conjunto A de puntos del plano se dice que es
  invariante por un movimiento t cuando t(A)A , es
  decir, cuando al transformar todos los puntos del
  conjunto A obtenemos el mismo conjunto A.

8
Se puede medir la simetría?

• En principio, cuantos más movimientos dejen
  invariante a una figura, tanto más simétrica
  será.
• Pero qué entendemos por movimiento del plano?
  Los movimientos del plano son transformaciones
  que conservan las distancias. Esto supone que
  también se conservan los ángulos. Las figuras no
  cambian de forma, aun cuando pueda cambiar su
  orientación.

9

• Tres son los movimientos del plano traslaciones,
  giros y simetrías axiales.

10
Traslación

• El polígono ABCDE se ha trasladado según el
  vector que aparece en la parte inferior del
  dibujo.

11
Giro

• El polígono ABCDE ha girado 72 grados en torno
  al punto F.

12
Simetría (o reflexión en recta)

• Simétrico del polígono ABCDE respec-to del eje
  señalado.

13

• Cuando se combinan dos movimien-tos del plano,
  ejecutando primero uno y luego el otro, el
  resultado es un movimiento del plano. Todos los
  movimientos se pueden obtener a partir de
  simetrías.

14
Dadme un punto fijo..

• Cuando se tiene una transformación t del plano,
  un punto fijo para dicha transformación es un
  punto P con la propiedad de que el transformado
  de P coincide con P, esto es,
• t(P)P.
• Un giro posee un punto fijo el centro de giro.

15
Dadme un punto fijo..

• Una simetría tiene infinitos puntos fijos, todos
  los del eje de simetría.
• Por el contrario, una traslación no posee ningún
  punto fijo.

16

• El Grupo de Simetría de una figura plana es el
  conjunto de movimientos que dejan invariante a
  dicha figura.
• El grupo contiene al menos el movi-miento
  identidad i, consistente en no mover la figura.
  Si el grupo se reduce a este movimiento, la
  figura carece de simetrías.

17

• La composición de dos movimientos del grupo
  genera otro movimiento del grupo y todo
  movimiento del grupo tiene su inverso, de forma
  que al aplicar un movimiento y luego su inverso
  se obtiene el movimiento identidad (el objeto no
  se mueve).

18

• Si una figura es acotada es decir, no se
  extiende ilimitadamente por el plano, entonces en
  su grupo de simetría no puede haber ninguna
  traslación, y únicamente pueden darse giros y
  simetrías. Las dos siguientes son de este tipo.

19
(No Transcript)
20
(No Transcript)
21

• La figura anterior posee un grupo de simetría que
  tiene 8 movimientos. De ellos, cuatro son giros
  en torno al centro de la figura, y cuatro son
  simetrías, respecto de los ejes que se indican

22
(No Transcript)
23

• Ahora vamos a ver el efecto de aplicar un giro o
  una simetría a la figura. Se han señalado los
  vértices con cuadraditos de color, para ver el
  efecto de cada movimiento. En la primera fila del
  dibujo se recogen los giros, mientras que la
  segunda corresponde a las simetrías

24
(No Transcript)
25

• En general, para un polígono regular de n lados,
  el grupo de simetría tiene 2n elementos si se
  tienen en cuenta los giros y las simetrías que
  llevan el polígono sobre sí mismo. Si dentro del
  polígono se dibujan figuras con menor grado de
  simetría, el grupo se reduce .

26
Diseños periódicos planos

• Son los dibujos que se dan en los papeles
  pintados para paredes. En ellos, un mismo motivo
  es repetido en dos direcciones distintas. Existe
  un paralelogramo en el que está contenido dicho
  motivo, y los infinitos paralelogramos que se
  obtienen trasladando el primero pavimentan el
  plano.

27
(No Transcript)
28
(No Transcript)
29
(No Transcript)
30

• Uno de los artistas que ha hecho uso intensivo de
  lo anterior ha sido Maurits C. Escher, cuyo
  autoretrato se muestra a continuación

31
(No Transcript)
32

• Escher estudió los mosaicos de la Alhambra, en
  los que aparecen todos los 17 posibles grupos de
  simetría planos.

33
(No Transcript)
34
(No Transcript)
35
(No Transcript)
36
(No Transcript)
37
(No Transcript)
38
(No Transcript)
39
(No Transcript)
40
(No Transcript)