Fundamentos de Control Borroso

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Fundamentos de Control Borroso
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Control borroso Elementos básicos
comparador
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Control borroso Procedimiento

• Tener un conocimiento exhaustivo de la planta.
• Tener claras las especificaciones de diseño (son
  similares a las de un control convencional).
• Elección de las entradas y salidas del
  controlador borroso.
• Elección de las técnicas de pre-procesamiento de
  entradas y post-procesamiento de las salidas.
• Diseño de cada uno de los cuatro bloques del
  controlador borroso.
• Evaluar el comportamiento (utilizando técnicas
  matemáticas, simulación y experimentación). Hay
  que tener presente que un controlador borroso es
  un control no lineal.

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Diseño de un controlador borroso Fase 1 Objetivo
Péndulo invertido
Acciones básicas

• Objetivo actuando sobre el carro con una fuerza
  u(t) mantener la barra con y(t)0 (posición
  vertical).
• El controlador borroso debe automatizar el
  comportamiento que un experto humano utilizaría
  para alcanzar el objetivo.

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Diseño de un controlador borrosoFase 2 Elección
de entradas y salidas

• Entradas el experto humano determina qué
  entradas le ayudarán a tomar decisiones sobre la
  acción del controlador.
• En este caso p.ej. e(t) r(t)-y(t), de(t)/dt
• En general e(t), de(t)/dt, ?e(t)dt
• Salida fuerza aplicada al móvil u(t).
• Valor de la referencia r(t) parece lógico que
  r(t) 0.

El experto, a partir de su conocimiento de la
planta, es el que realiza la descripción
lingüística para el diseño del controlador
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Diseño de un controlador borrosoFase 3
variables, valores, reglas

• Variables y valores lingüísticos
• Variables error, cambio de error, fuerza
  aplicada
• Valores (para cada variable) neg. grande (NG),
  neg. pequeño (NP), cero (CE) , pos.
  pequeño (PP), pos. grande (PG).
• Reglas básicas La cuantificación lingüística
  que el experto hace conduce a las reglas básicas
  (if-then). En general, con m entradas y p
  valores lingüisticos para cada una se tienen pm
  reglas básicas.
• Base de conocimiento

Fuerza u(t) Fuerza u(t) Cambio de error Cambio de error Cambio de error Cambio de error Cambio de error
Fuerza u(t) Fuerza u(t) NG NP CE PP PG
error NG PG PG PG PP CE
error NP PG PG PP CE NP
error CE PG PP CE NP NG
error PP PP CE NP NG NG
error PG CE NP NG NG NG
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Diseño de un controlador borroso Ejemplos de
reglas
Criterio de signos
? If error es NG and cambio de error es NG Then
fuerza es PG
? If error es CE and cambio de error es PP Then
fuerza es NP
? If error es PG and cambio de error es NP Then
fuerza es NP
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Diseño de un controlador borroso Fase 4 Funciones
de pertenencia
Se debe tener presente que p/2e(t) p/2
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Diseño de un controlador borrosoFase 5
Borrososificación

• Determina para cada valor natural de las entradas
  el grado en que pertenecen a cada valor
  lingüístico funciones de pertenencia.
• La entrada del borrosificador es siempre un valor
  numérico (limitado al universo de discurso de la
  variable de entrada) y la salida es un grado de
  pertenencia ( µi(x) siempre en el intervalo de 0
  a 1).
• Ejemplo

e(t)p/8
e(t) e1(t) p/4 e(t) e2(t) 0 e(t) e3(t)
- p/4
µPP e1(t) 1, µPG e1(t) µCE e1(t) 0 µCE
e2(t) 1, µPP e2(t) µNP e2(t) 0 µNP
e3(t) 1, µCE e3(t) µNG e3(t) 0
Borrosificador (Tipo singleton)
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Diseño de un controlador borrosoFase 6 Mecanismo
de inferencia
Ejemplo de determinación qué reglas están
activas. Caso e(t) 0 y de(t)/dt (3p)/32
Reglas activas las que tienen premisas error
es CE cambio de error es CE cambio de error
es PP
Fuerza u(t) Fuerza u(t) Cambio de error Cambio de error Cambio de error Cambio de error Cambio de error
Fuerza u(t) Fuerza u(t) NG NP CE PP PG
error NG PG PG PG PP CE
error NP PG PG PP CE NP
error CE PG PP CE NP NG
error PP PP CE NP NG NG
error PG CE NP NG NG NG
Reglas activas
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Diseño de un controlador borroso Fase 6
Mecanismo de inferencia
Ejemplo de cuantificación de las premisas de las
reglas. Caso e(t) 0 y de(t)/dt (3p)/32
Conectiva and mínimo
µpremisa (1) mín 1, 0.250.25
Premisa(1) If error es CE and cambio de error
es CE
Conectiva and mínimo
µpremisa (2) mín 1, 0.750.75
Premisa(2) If error es CE and cambio de error
es PP
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Diseño de un controlador borroso Fase 6
Mecanismo de inferencia
Función de pertenencia de la premisa 2
En tanto el valor de las entradas cambien con el
tiempo, lo harán los valores de las funciones de
pertenencia, y por tanto los valores de las
funciones de pertenencia multidimensional de
las premisas de las reglas
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Diseño de un controlador borroso Fase 7
Obtención de conclusiones
If error es CE and cambio de error es CE then
fuerza es CE
µ regla_1(u) mín µ permias(1) , µ CE (u)
CE
CE
µCE (dei/dt)
µCE(ei),
0.25
0.25
-10 10 u(t)
-p/4 p/4 e(t)
-p/8 p/16 p/8 de(t)/dt
If error es CE and cambio de error es PP then
fuerza es NP
µ regla_2(u) mín µ permias(2) , µ NP(u)
PP
CE
NP
0.75
0.75
µCE(ei),
µPP (dei/dt)
-20 -10 10 u(t)
-p/4 p/4 e(t)
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Diseño de un controlador borrosoFase 8
Desborrosificación COG
NP
CE
0.75
0.25
-10 10 u(t)
-20 -10 10
u(t)
bi centro de la función de pertenencia.
?µregla_i área bajo las funciones de
pertenencia µregla_1(u) y µregla_2(u)
?µregla_i
-20 -10 10
u(t), (N)
u-6.81
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Diseño de un controlador borrosoValores extremos
de las salidas

• En este caso se puede ver que se cumple
• En la práctica hay que tener presente los límites
  mínimo y máximo de las variables de actuación.
• Esos limites dependen tanto de las funciones de
  pertenencia definidas como del desborrosificador
  utilizado.

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Diseño de un controlador borrosoFase 8
Desborrosif. Centros ponderados
NP
µregla_2(u) 0.75µNP(u)
CE
µregla_1(u) 0.25µCE(u)
0.75
0.25
-10 10 u(t)
-20 -10 10
u(t)
µpremisa (i)
µpremisa(i)
-7.5
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Control Borroso Resumen
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Aspectos formales de la Lógica Borrosa
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Variables lingüísticas y valores
Controlador Borroso (conjunto borroso)
Entradas borrosificadas
Conclusiones borrosas
e1 e2 . .. en
u1 u2 . .. um
Mecanismo inferencia (Inference mechanism)
Borrosificación (Fuzzification)
Desborrosificación (Defuzzification)
Entradas (crisp)
Salidas (crisp)
Base conocimientio (Rule-base)

• Las entradas ei y salidas ui del sistema borroso
  pertenecen a dominios precisos (crisp)
  denominados universo de discurso Ei e Ui.
• Generalmente Ei e Ui coinciden con el conjunto
  de números reales.

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Variables lingüísticas y valores
Ejemplo si representa la variable
velocidad, se puede tener el conjunto
lingüístico (valores)
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Reglas

• Tipos SISO, SIMO, MISO, MIMO
• Ejemplo de MIMO
• Equivalente con MISO

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Conjuntos borrosos, Funciones de pertenencia

• Si Ei es el universo de discurso de la variable
  , con valores lingüísticos definidos por
  , la función µ(ei) asociada a los
  valores que mapea la correspondencia entre
  el universo de discurso Ei y el conjunto de
  valores reales 0,1, se conoce como función de
  pertenencia.
• La función de pertenencia describe la certeza
  (certidumbre) con que una variable lingüística
  puede ser catalogada como
• El conjunto borrosos asociado a la función de
  pertenencia se expresa

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Conjuntos borrosos, Funciones de pertenencia

• Función de pertenencia
• Definición Sea Ei el conjunto de discurso de la
  variable , con valores definidos por
  La función µ(ei) asociada a los valores
  que establece la correspondencia entre Ei
  y el conjunto de valores reales 0, 1 se
  conoce como función de pertenencia.
• Qué describe? la certeza (certidumbre) con que
  una variable lingüística puede ser
  catalogada como .
• Funciones de pertenencia.
• Expresión de conjunto borroso El conjunto
  borroso asociado a la función de pertenencia
  se expresa como

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Conjuntos borrosos, Funciones de pertenencia
Gaussian membership functions
Left
Centers
Right
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Conjuntos borrosos, Funciones de pertenencia
Triangular membership functions
Left
Centers
Right
1
?L
cL
e
1
?
?
c
c?/2
e
c-?/2
1
?R
cR
e
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Funciones de lógicas

• AND La intersección de dos conjuntos borrosos
  definidos en el universo de discurso Ei ,
  es el conjunto borroso con función
  de pertenencia
• Mínimo
• Producto
• Las dos funciones anteriores se suelen denominar
  norma
• triangular y se expresan como

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Funciones de lógicas

• OR La unión de dos conjuntos borrosos
  , definidos en el universo de discurso Ei , es el
  conjunto borroso con función de
  pertenencia
• Máximo
• Suma
• Las dos funciones anteriores se suelen denominar
  co-norma
• triangular y se expresan como

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Funciones de lógicas

• Complemento (NOT) El complemento de un conjunto
  borroso con función de pertenencia
• Producto cartesiano Es una operación en la que
  intervienen conjuntos borrosos con diferentes
  universos de discurso, resultando la siguiente
  función de pertenencia

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Base de conocimiento

• La base de conocimiento ha de ser
• Completa todas las posibles entradas del
  controlador han de tener su conclusión.
• Consistente no puede haber conflicto entre
  conclusiones de diferentes reglas.
• Número de reglas Si todas las posibles premisas
  participan en las reglas, y el conjunto de reglas
  contempla todas las posibles combinaciones de
  premisas, el número de reglas es
• Ejemplo n 2, N1 4, N26, número de reglas 24

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Borrosificación
1 1 1 1 1

.

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Mecanismo de inferencia

• Determinar el alcance de las regalas relevantes
  para cada situación de las n entradas (matching
  o correspondencia)
• Obtener las reglas activas de la base de
  conocimiento.
• Calcular la función de pertenencia de la premisa
  de la regla activa.
• Para un borrosificador la certidumbre asociada a
  la premisa de la regla i se expresa mediante el
  producto cartesiano
• Establecer las conclusiones en función de las
  entradas y de las reglas de la base de
  conocimiento (paso de inferencia).

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Desborrosificación

• Objetivo calcular la salida uqcrisp a partir
  de cada una de las reglas implicadas o a partir
  de todas simultaneamente.
• Si se hace a partir de las conclusiones de las
  reglas individualmente procesadas (1), los
  métodos más utilizados son COG y ponderación de
  centros.
• En el caso de implicación simultánea de las
  reglas (2), el Criterio Máximos es el más
  utilizado.

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Desborrosificación COG

• Sea una base de conocimiento con R reglas. Sea
  bpq el centro del conjunto borroso de la función
  de pertenencia implicada por la
  regla (j, k, .. l p)i, y el área de dicha
  función de pertenencia
• La salida es

• La función de pertenencia de los términos del
  consecuente de las reglas no se saturan en los
  extremos para asegurar un valor finito de la
  salida
• Hay que asegurar que el denominador sea
  distinto de cero

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DesborrosificaciónPonderación de centros

• El cálculo de la salida se obtiene a partir de
  los centros de las funciones de pertenencia de
  los consecuentes de las reglas implicadas y el
  valor máximo de certeza de tales funciones de
  pertenencia.
• Siendo el valor máximo
  de la función de pertenencia del consecuente q
  afectado por la regla i.

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DesborrosificaciónEjemplos
.
b1 b2 b3
bi bN
uq
.
b1 b2 b3
bi bN
uq
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DesborrosificaciónCriterio Máximo

• Esta estrategia tiene en cuenta todos los
  conjuntos borrosos implicados simultáneamente.
• La salida es el punto del universo de discurso de
  salida para el que la función de pertenencia del
  conjunto borroso Bq es el máximo.
• Donde arg supxµ(x) devuelve el valor de x para
  el cual la función µ(x) presenta un máximo.
• Ejemplo

µregla_3
µregla_1
µregla_2
µregla_4
uqcrisp -20
-20 -10 10
20 uq
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DesborrosificaciónCentro de áreas

• Al igual que la estrategia del criterio
  maximo, tiene en cuenta todos los conjuntos
  borrosos implicados simultáneamente.
• La salida, ucrisp, se elige como el centro del
  área del universo de discurso de salida.
• Para un universo de salida continuo, el centro
  del área es
• Un inconveniente de esta estrategia es que
  computacionalmente es caro.

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Sistemas tipo Mandani
Premisa
Inferencia
1. If and
Then
Agregación
2. If and
Then
Entrada 1 Entrada 2 ..

Desborrosificación
Salida
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Sistemas tipo Takagi-Sugeno

• El elemento diferenciador de un sistema tipo
  Takagi-Sugeno radica en la expresión del
  consecuente de las reglas de la base de
  conocimiento.
• En los sistemas tipo Sugeno el consecuente es una
  función (o varias funciones de salida caso de
  sistemas SIMO, MIMO) de las variables de entrada.
• Generalmente la función fi (consecuente) se
  reduce a una constante o una relación lineal de
  las entradas.
• Ejemplo

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Sistemas tipo Takagi-Sugeno

• Para la evaluación AND se suelen utilizar
  operadores mínimo o producto.
• Para la desborrosificación se suele utilizar
• Ejemplo

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Sistemas tipo Sugeno Resumen
Premisa
Inferencia
1. If and
Then
Agregación
2. If and
Then
Entrada 1 Entrada 2 ..

Desborrosificación
Salida
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Comparación Sugeno vs Mamdani

• Ventajas sistema Sugeno
• Eficiente en términos de computación.
• Funciona bien con técnicas lineales (PID por
  ejemplo).
• Funciona bien con técnicas de optimización y
  adaptativas
• Garantiza la continuidad en la superficie de
  salida del sistema.
• Se adapta mejor al análisis matemático.
• Ventajas sistema Mamdani
• Es más intuitivo.
• Está ampliamente aceptado.
• Se adapta mejor al lenguaje humano.