Matematika Teknik 2

1
Barisan

• Barisan Tak Hingga
• Kekonvergenan barisan tak hingga
• Sifat sifat barisan
• Barisan Monoton

2
Barisan Tak Hingga

• Secara sederhana, barisan merupakan susunan dari
  bilangan -bilangan yang urutannya berdasarkan
  bilangan asli.
• Suatu barisan yang terdiri dari n suku biasanya
  dinyatakan dalam bentuk a1,a2,,an. a1
  menyatakan suku ke1, a2 menyatakan suku ke2 dan
  an menyatakan suku ken.
• Barisan tak hingga didefinisikan sebagai suatu
  fungsi real di mana daerah asalnya adalah
  bilangan asli. Notasi barisan tak hingga adalah

3
Barisan Tak Hingga

• Contoh - contoh barisan
• Barisan
• Bisa dituliskan dengan rumus
• Barisan
• Bisa dituliskan dengan rumus
• Penentuan an tidak memiliki aturan khusus dan
  hanya bersifat coba coba.

4
Kekonvergenan barisan tak hingga

• Suatu barisan tak hingga dikatakan konvergen
  menuju L, bila
• atau
• untuk setiap epsilon positif terdapat N positif
  sedemikian hingga untuk n lebih besar atau sama
  dengan N, selisih antara dan L akan
  kurang epsilon

5
Kekonvergenan barisan tak hingga

• Contoh 1
• Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut
• Jawaban
• Karena
• maka divergen

6
Kekonvergenan barisan tak hingga

• Contoh 2
• Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut
• Jawaban
• Karena merupakan bentuk
  tak tentu maka untuk menyelesaikannya digunakan
  teorema berikut
• Misal ,bila
  maka
• untuk x ? R.

7
Kekonvergenan barisan tak hingga

• Jawaban (lanjutan)
• Jadi dan dengan menggunakan
  dalil Lhopital maka
• Berdasarkan teorema maka .
• Karena nilai limitnya menuju 0, maka
• Konvergen menuju 0.

8
Kekonvergenan barisan tak hingga

• Contoh 3
• Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut
• Jawaban
• Bentuk dari suku -suku barisannya merupakan
  bentuk ganti tanda akibat dari nilai cos n?,
  untuk n ganjil tandanya - , untuk n genap
  tandanya . Nilai tidak ada
  tetapi minimal bernilai 1 dan maksimal bernilai
  1. Sedangkan akibatnya untuk n??
  nilai , akan mendekati nol. Jadi
  deret konvergen menuju 0.

9
Sifat sifat barisan

• Misal an dan bn barisan-barisan yang
  konvergen, dan k suatu konstanta, maka
• 1.
• 2.
• 3.
• 4.
• 5.

10
Barisan Monoton

• Kemonotonan barisan an dapat dikelompokkan
  menjadi 4 macam
• 1. Monoton naik bila
• 2. Monoton turun bila
• 3. Monoton tidak turun bila
• 4. Monoton tidak naik bila

11
Deret Tak Hingga

• Deret tak hingga merupakan jumlahan dari
  yaitu a1a2an . Notasi deret tak hingga
  adalah .
• Kekonvergenan suatu deret dapat di ketahui dari
  kekonvergenan barisan jumlahan parsial yaitu ,
  ,dimana
• Dan

12
Deret Tak Hingga

• Contoh
• Selidiki apakah deret
  konvergen ?
• Jawaban
• Karena , maka
  adalah deret konvergen yaitu
  konvergen menuju 1. Penentuan Sn dari suatu deret
  juga tidak memiliki aturan khusus dan bersifat
  coba coba.

13
Deret Suku Positif

• Sebuah disebut deret suku positif,
  bila semua suku-sukunya positif. Berikut ini
  adalah deret-deret suku positif yang sering
  digunakan
• Deret geometri
• Deret harmonis
• Deret-p
• Deretp akan dibahas secara khusus dalam uji
  integral

14
Deret Suku Positif

• Deret geometri
• Bentuk umum
• Proses menentukan rumusan Sn adalah sebagai
  berikut
• Dari rumusan tersebut diperoleh bahwa
  sehingga .
  untuk r ? 1. Kekonvergenan dari deret geometri
  bergantung pada nilai r.

15
Deret Suku Positif

• Deret geometri(lanjutan)
• Ada 3 kasus nilai r yang akan menentukan
  kekonvergenan deret geometri
• Bila r 1, maka Sn na sehingga
  , sehingga deret divergen
• Bila r lt1, maka , sehingga
  deret konvergen ke
• Bila r gt1, maka , sehingga
  deret divergen

16
Deret Suku Positif

• Deret harmonis
• Bentuk umum
• Untuk menentukan kekonvergenan, dapat diketahui
  dari nilai limit dari Sn nya, yaitu

17
Deret Suku Positif

• Deret harmonis (lanjutan)
• Karena, maka .
  Sehingga deret harmonis divergen.

18
Kedivergenan Deret Tak Hingga

• Bila deret konvergen, maka .
  kontraposisinya (pernyataan lain yang sesuai )
  adalah
• Bila ,maka deret
  akan divergen.
• Bila dalam perhitungan limit annya diperoleh
  nol, maka deret belum tentu konvergen, sehingga
  perlu dilakukan pengujian deret dengan uji-uji
  deret positif.

19
Kedivergenan Deret Tak Hingga

• Contoh
• Periksa apakah
  konvergen ?
• Jawaban
• Jadi divergen

20
Uji Deret Positif

• Uji integral
• Uji Banding
• Uji Banding limit
• Uji Rasio
• Uji Akar

21
Uji Deret Positif

• Uji integral
• Misal merupakan deret suku positif dan
  monoton turun, dimana
  , maka integral tak wajar dari f(x) adalah
  .
• Bila nilai limit dari integral tak wajar tersebut
  tak hingga atau tidak ada, maka deret divergen.
• Bila nilainya menuju suatu nilai tertentu(ada),
  maka deret konvergen.

22
Deret Suku Positif

• Contoh 1 Uji Integral Deretp
• Bentuk umum
• Kalau diperhatikan maka deret harmonis sebenarnya
  juga merupakan deretp dengan p1. Kekonvergenan
  deret p akan bergantung pada nilai p. Untuk
  menentukan pada nilai p berapa deret konvergen
  atau divergen, digunakan integral tak wajar yaitu
  
• Misal maka .
• Selanjutnya nilai f(x) tersebut di integralkan
  dengan batas 1 sampai ?.

23
Deret Suku Positif

• Deretp (lanjutan)
• Integral tak wajar dari f(x) adalah
• Kekonvergenan deretp ini akan tergantung dari
  nilai integral tak wajar tersebut. Bila
  integralnya konvergen maka deretnya juga
  konvergen. Sebaliknya bila integralnya tak hingga
  atau tidak ada maka deretnya juga akan divergen.

24
Deret Suku Positif

• Deretp (lanjutan)
• Nilai integral tak wajar tersebut bergantung pada
  nilai p berikut
• Bila p 1, maka deretnya harmonis, sehingga
  deret divergen
• Bila 0? plt1, maka
  ,sehingga deret divergen
• Bila pgt1, maka
  ,
• sehingga deret konvergen.

25
Uji Deret Positif

• Contoh 2
• Tentukan kekonvergenan deret
• Jawaban
• Deret tersebut monoton turun, sehingga dapat
  digunakan uji integral yaitu
• Misal , maka
• Perhitungan integral tak wajar

26
Uji Deret Positif

• Karena nilai limitnya menuju tak hingga, maka
  integral tak wajarnya divergen. Sehingga deret
  juga divergen.

27
Uji Deret Positif

• Uji Banding
• Bila untuk ?n ? N, berlaku bn ? an maka
• Bila konvergen, maka
  juga konvergen
• Bila divergen, maka
  juga divergen
• Jadi pada uji banding ini, untuk menentukan
  kekonvergenan suatu deret, bila menggunakan sifat
  a maka deret pembandingnya adalah yang bersifat
  konvergen.
• Sedangkan bila menggunakan sifat nomor 2 maka
  deret pembandingnya adalah yang bersifat
  divergen.

28
Uji Deret Positif

• Contoh 1
• Uji kekonvergenan
• Jawaban
• Dalam uji banding, pemilihan deret pembanding
  adalah dipilih yang paling mirip dengan deret
  yang akan diuji.
• Dapat dipilh sebagai deret
  pembanding.
• Karena dan
  merupakan deret
• p yang divergen, maka disimpulkan deretnya juga
  divergen

29
Uji Deret Positif

• Contoh 2
• Uji kekonvergenan
• Jawaban
• Dengan uji banding, digunakan deret pembanding
  , dimana . Karena
  merupakan deret konvergen, maka
  juga konvergen.

30
Uji Deret Positif

• Contoh 3
• Uji kekonvergenan
• Jawaban
• Karena untuk , maka
  deret pembanding yang digunakan adalah
  .Karena dan
• merupakan deret konvergen, maka
  juga konvergen

31
Uji Deret Positif

• Uji Banding Limit
• Misal dan , merupakan deret
  suku positif dan ,
  berlaku
• Bila 0 lt L lt ? , maka kedua deret bersama-sama
  konvergen atau bersama-sama divergen
• Bila L 0, dan adalah deret konvergen,
  maka . juga konvergen
• Bila L ? dan adalah deret divergen
  maka . juga divergen

32
Uji Deret Positif

• Contoh 1
• Uji kekonvergenan deret
• Jawaban
• Deret pembanding yang digunakan adalah
  dan diketahui sebagai deret
  divergen ( sebagai ).
• Karena .
  dan deret pembandingnya divergen, maka .
  juga divergen.

33
Uji Deret Positif

• Contoh 2
• Uji kekonvergenan deret
• Jawaban
• Deret pembanding yang digunakan adalah
  dan diketahui sebagai deret divergen
  (deret harmonis).
• Karena .
  dan deret pembandingnya
  divergen, maka kedua deret bersama-sama divergen
  .

34
Uji Deret Positif

• Uji Rasio
• Misal merupakan deret suku positif
  dan maka berlaku
• Bila ?lt1, maka deret konvergen
• Bila ?gt1, maka deret divergen
• Bila ?1, maka uji gagal

35
Uji Deret Positif

• Contoh
• Uji kekonvergenan deret
• Jawaban
• Dengan uji rasio diperoleh
• Karena ? 0 lt 1 , maka
  konvergen.

36
Uji Deret Positif

• Uji Akar
• Misal merupakan deret suku
  positif dan , maka berlaku
• Bila r lt 1, maka deret konvergen
• Bila r gt 1, maka deret divergen
• Bila r 1, maka uji gagal

37
Uji Deret Positif

• Contoh
• Uji kekonvergenan deret
• Jawaban
• Dengan uji akar diperoleh
• Karena , maka
  konvergen.

38
Uji Deret Positif

• Panduan Pemilihan uji deret
• Bila deret suku berbentuk rasional (fungsi
  polinom) maka dapat dipilih uji banding atau uji
  banding limit
• Bila deret suku positif mengandung bentuk pangkat
  n dan atau faktorial maka dipilih uji rasio atau
  uji akar pangkat n
• Bila uji uji diatas tidak dapat digunakan dan
  suku sukunya monoton turun maka dapat dipilih
  uji integral

39
Deret Ganti Tanda

• Uji-uji kekonvergenan deret positif hanya
  digunakan untuk menguji deret-deret positif.
  Sedangkan untuk deret-deret yang suku-sukunya
  berganti-ganti tanda, yaitu berbentuk .
  dengan angt 0 untuk semua n
  dilakukan uji tersendiri.
• Notasi deret ganti tanda adalah
  . atau .
• Deret ganti tanda dikatakan konvergen, bila
• a.
  (monoton tak naik)
• b.

40
Deret Ganti Tanda

• Contoh
• Tentukan kekonvergenan deret
• Jawaban
• merupakan
  deret ganti tanda
• dengan rumus suku kennya adalah
  .
• Deret akan konvergen bila memenuhi dua syarat
  berikut
• .
• Nilai

41
Deret Ganti Tanda

• a.
• Karena jadi an
  adalah monoton tak naik.
• b.
• Karena kedua syarat dipenuhi maka deretnya
  konvergen.

42
Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat

• Deret
  dikatakan konvergen mutlak, bila deret mutlak
  konvergen
  (suku an bisa berupa suku positif atau tidak).
• Hal tersebut tidak berlaku sebaliknya. Tetapi
  bila divergen, maka . juga
  divergen.
• Kovergen bersyarat terjadi bila
  konvergen tetapi divergen.

43
Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat

• Contoh 1
• Tentukan apakah konvergen
  mutlak atau bersyarat ?
• Jawaban
• Deret mutlaknya adalah . Dengan
  menggunakan uji banding, dimana deret
  pembandingnya adalah maka
  diperoleh bahwa untuk semua
  nilai n.
• Karena merupakan deret konvergen,
  maka juga konvergen. Sehingga
  konvergen mutlak.

44
Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat

• Contoh 2
• Tentukan apakah konvergen
  mutlak atau bersyarat ?
• Jawaban
• Deret mutlaknya adalah .
• Dengan uji rasio diperoleh
  .
• Karena ?0lt1, maka konvergen.
• Sehingga konvergen
  mutlak.

45
Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat

• Contoh 3
• Tentukan apakah konvergen
  mutlak atau bersyarat ?
• Jawaban
• Deret mutlaknya adalah yang
  merupakan deret divergen.
• Pengujian kekonvergenan deret ganti tanda
• a. (monoton tak naik)
• Diperoleh bahwa benar
• b. Jadi deret ganti tandanya konvergen.
  
• Karena deret ganti tandanya konvergen sedangkan
  deret mutlaknya divergen maka
  konvergen bersyarat .

46
Uji rasio untuk kekonvergenan mutlak

• Misal deret dengan suku tak nol dan
  , tiga kondisi yang
  mungkin terjadi adalah
• Bila rlt1, maka konvergen mutlak
• Bila rgt1, maka divergen
• Bila r1, pengujian gagal ( tidak dapat
  disimpulkan)
• Konvergen bersyarat tidak bisa ditentukan oleh
  uji rasio ini. .

47
Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat

• Contoh 1
• Tentukan apakah konvergen
  mutlak atau divergen?
• Jawaban
• Dengan uji rasio mutlak diperoleh
• Karena , maka
  konvergen mutlak.

48
Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat

• Contoh 2
• Tentukan apakah konvergen
  mutlak atau divergen?
• Jawaban
• Dengan uji rasio mutlak diperoleh
• Karena r gt 1, maka
  divergen .

49
Deret Pangkat

• Bentuk umum
• Contoh deret pangkat
• 1.
• 2.
• 3.

50
Deret Pangkat

• Pada deret pangkat ini, kalau diperhatikan
  terdapat dua variabel, yaitu n dan x. Untuk n ,
  nilainya dari 0 sampai ?, sedangkan nilai x
  dapat dicari dengan uji rasio untuk kekonvergenan
  mutlak, yaitu pada saat r lt 1.
• Interval nilai x yang memenuhi kekonvergenan
  dari deret
• maupun disebut interval
  kekonvergenan.
• Bentuk interval kekonvergenan dari deret pangkat
  ini memiliki ciri khusus dan hanya memiliki 3
  variasi bentuk untuk masing masing deret.

51
Deret Pangkat

• Tiga kemungkinan untuk interval kekonvergenan
  deret adalah
• Selang konvergensi untuk deret
• Deret konvergen hanya di x 0
• Deret konvergen mutlak di x ? R
• Deret konvergen mutlak pada interval buka (r,r)
  atau ditambah pada ujung ujung intervalnya.
• Selang konvergensi untuk deret
• Deret konvergen hanya di x b
• Deret konvergen mutlak di x ? R
• Deret konvergen mutlak pada interval buka
  (br,br) atau ditambah pada ujung ujung
  intervalnya.

52
Deret Pangkat

• Contoh 1
• Tentukan interval kekonvergenan deret
• Jawaban
• Pengujian dengan uji rasio mutlak
• Deret akan konvergen untuk semua nilai x
• Atau x ?R

53
Deret Pangkat

• Contoh 2
• Tentukan interval kekonvergenan deret
• Jawaban
• Pengujian dengan uji rasio mutlak
• Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai
  yang memenuhi adalah x 0 agar r lt 1. Jadi
  deret konvergen untuk x 0

54
Deret Pangkat

• Contoh 3
• Tentukan interval kekonvergenan deret
• Jawaban
• Pengujian dengan uji rasio mutlak
• Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai
  yang memenuhi adalah 3 lt x lt 3.
• Pada ujung ujung interval, pengujian dilakukan
  secara terpisah.

55
Deret Pangkat

• Pengujian deret pada saat x 3 dan x 3 adalah
  sebagai berikut
• Saat x -3 ? deretnya menjadi
  ? Deret ini diketahui sebagai deret harmonis
  yang divergen .
• Saat x 3 ? deretnya menjadi
  ? dengan uji deret ganti tanda diketahui
  bahwa deret ini konvergen.
• Jadi interval kekonvergenan deret
  adalah

56
Deret Pangkat

• Contoh 4
• Tentukan interval kekonvergenan deret
• Jawaban
• Pengujian dengan uji rasio mutlak
• Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai
  yang memenuhi adalah 4 lt x lt 6.
• Pada ujung ujung interval, pengujian dilakukan
  secara terpisah.

57
Deret Pangkat

• Pengujian deret pada saat x 4 dan x 6 adalah
  sebagai berikut
• Saat x 4 ? deretnya menjadi
  ? karena .
  konvergen maka deret ganti tandanya juga
  konvergen. .
• Saat x 6 ? deretnya menjadi
  yang merupakan deret-p yang diketahui
  konvergen.
• Jadi interval kekonvergenan deret
  adalah

58
Operasi-operasi deret pangkat

• Operasi aljabar, yaitu penjumlahan, pengurangan,
  pembagian, dan substitusi
• Turunan deret
• 3. Integral deret

59
Deret Pangkat

• Deret geometri adalah contoh deret
  pangkat x dengan an 1 .
• Dengan menggunakan rumus jumlah takhingga deret
  geometri, maka diperoleh
• Secara umum x bisa diganti dengan U dimana U
  adalah fungsi yang memuat x.

60
Deret Pangkat

• Contoh 1
• Nyatakan dalam deret pangkat
• Jawaban
• Dengan menggunakan deret geometri

61
Deret Pangkat

• Contoh 2
• Nyatakan dalam deret pangkat
• Jawaban
• Dengan menggunakan jawaban sebelumnya

62
Deret Pangkat

• Contoh 3
• Nyatakan dalam deret pangkat
• Jawaban
• Jadi

63
Deret Pangkat

• Contoh 4
• Nyatakan dalam deret pangkat
• Jawaban
• adalah turunan dari sehingga

64
Deret Taylor dan Maclaurin

• Suatu fungsi yang terdifferensial sampai orde n
  di x b dapat digambarkan sebagai suatu deret
  pangkat dari (xb) yaitu ,
• dimana nilai-nilai a0,a1,a2, diperoleh dari
  penurunan f(x) di x b sampai turunan ke-n,
  yaitu

65
Deret Taylor dan Maclaurin

• Atau f(x) bisa dituliskan sebagai
• Bentuk yang diperoleh di atas dikenal dengan
  bentuk polinomial taylor. Fungsi yang dapat
  diperderetkan dalam bentuk polinomial taylor,
  dinamakan deret taylor.
• Bila b 0, maka fungsi diperderetkan dalam deret
  maclaurin, yaitu

66
Deret Taylor dan Maclaurin

• Contoh 1
• Perderetkan ke dalam deret maclaurin
• Jawaban
• Sehingga

67
Deret Taylor dan Maclaurin

• Contoh 2
• Perderetkan ke dalam
  deret Maclaurin / Taylor
• Jawaban
• Dari jawaban sebelumnya diperoleh bahwa
• Dengan mengganti x dengan 2x1 maka diperoleh
  perderetannya adalah

68
Deret Taylor dan Maclaurin

• Berikut adalah fungsi-fungsi yang diperderetkan
  ke dalam deret Maclaurin

69
Deret Taylor dan Maclaurin

• Untuk memperderetkan suatu fungsi kedalam deret
  taylor atau maclaurin, dapat digunakan
  operasi-operasi deret pangkat seperti pada bagian
  sebelumnya, misal

70
Soal Latihan

• A. Tentukan barisan-barisan berikut konvergen
  atau divergen
• 1. 2.
• 3. 4.
• 5. 6.

71
Soal Latihan

• A (Lanjutan)
• 7. 8.
• 9. 10.
• 11. 12.

72
Soal Latihan

• A (Lanjutan)
• 13. 14.
• B. Tentukan deret berikut konvergen atau divergen
  ?
• 1. 2.
• 3. 4.

73
Soal Latihan

• B. (lanjutan)
• 5. 6.
• 7. 8.
• 9. 10.

74
Soal Latihan

• B. (lanjutan)
• 11. 12.
• 13. 14.
• 15. 16.

75
Soal Latihan

• B. (lanjutan)
• 17. 18.
• 19. 20.
• 21. 22.

76
Soal Latihan

• B. (lanjutan)
• 23. 24.
• C. Uji kekonvergenan deret-deret berikut, dan
  tentukan konvergen mutlak, konvergen bersyarat,
  atau divergen
• 1. 3.
• 2. 4.

77
Soal Latihan

• D. Cari interval kekonvergenan deret pangkat
  berikut
• 1. 4.
• 2. 5.
• 3. 6.

78
Soal Latihan

• D. (Lanjutan)
• 7. 8.
• 9. 10.
• E. Perderetkan fungsi berikut dalam deret
  pangkat
• 1. 2.

79
Soal Latihan

• E. (Lanjutan)
• 3. 4.
• 5. 6.
• 7. 8.
• 9. 10.