Mod

1
Elec 2311 Semaine 1bis (2011)
Modèles de type  circuit 
2
Deux types de modèles
Modèles  circuit  une coordonnée au plus (le
temps) utilisation plus rapide et simple
impossibilité de tenir compte des dimensions
géométriques Modèles  champ  jusqu à 4
coordonnées (t, x , y et z ) lents et
compliqués, mais incontournables pour la
conception Utilisation simultanée des deux types
de modèles on profite des avantages des deux
types nécessité de règles de correspondance
explicites Conseil quand deux modèles sont
utilisés, bien distinguer (y compris dans les
documents) les parties de l étude utilisant
l un ou l autre des modèles, ainsi que les
parties effectuant la mise en correspondance.
3
Nous avons vu lors du premier cours que
lévaluation des performances peut nécessiter un
grand nombre danalyses du dispositif pour chaque
jeu de paramètres constructifs.
Faire la simulation en utilisant un modèle champ
serait en général trop long
4
Dans ce cas, on a intérêt à utiliser pour chaque
jeu de paramètres constructifs un (ou quelques)
calcul de champ pour déterminer les paramètres
dun modèle circuit, qui est ensuite le seul
utilisé pour la simulation.
5
Modèles  circuit  vus lan passé
Circuits équivalents en T d un
transformateur dune machine asynchrone
6
Circuits équivalents en T d une machine
synchrone à pôles lisses Circuit
équivalent dune machine DC
7
Ces circuits ne sont valides quen régime
permanent. Les trois premiers supposent en outre
que la machine est à couplage sinusoïdal et pôles
lisses. Avec les mêmes hypothèses, il est facile
dobtenir le circuit équivalent dune machine
synchrone à aimants il suffit de considérer un
courant if / a constant.
8
Le modèle thermique dune machine peut lui aussi
être présenté sous la forme dun circuit
équivalent
En modélisant les pertes Joule par deux éléments
(une source de courant de valeur fixée et une
résistance négative), on peut utiliser les
méthodes danalyse de la théorie des circuits
linéaires (par exemple pour calculer les deux
constantes de temps), ce qui naurait pas été le
cas avec une source de courant dépendant de la
température.
9
Questions à se poser ? Pourquoi un circuit
équivalent plutôt quun ensemble déquation ? Ces
circuits sont-ils suffisants en conception de
dispositif ? Transitoires électriques Machines à
pôles saillants Couplage non sinusoïdal . Comment
calculer les paramètres de ces circuits ? Pour
y répondre, commençons par nous demander ce
quest un circuit !
10
Quest-ce quun circuit ?
Circuit façon de présenter un système
déquations Possible seulement si ce système a
une forme appropriée Structure préalable
graphe orienté Premier volet i et grandeurs
associées (q et j) Second volet u et grandeurs
associées (y et e)
11
L essentiel de la théorie des circuits
Les deux lois de Kirchhoff
Il existe une relation purement algébrique entre
les tensions d une part, entre les courants
d autre part
Conséquence théorème de Tellegen S ui ii
0 plus que la simple conservation de la
puissance. Il est important que le modèle
respecte les axiomes des circuits pour pouvoir
profiter des théorèmes de la théorie des
circuits, notamment la conservation de la
puissance.
12
Formalisme de la théorie des circuits
Puisque l on va devoir établir une
correspondance avec un modèle  champ , il est
bon d adopter un formalisme semblable à celui de
l électromagnétisme de Maxwell.
Premier volet d équations d évolution loi
de nœuds de Kirchhoff i dq / dt j Second
volet d équations d évolution loi des
mailles de Kirchhoff u dy / dt
e Relations constitutives différentes pour
chaque élément résistance, inductance,
capacité...
13
structure préalable
La principale raison pour laquelle jintroduis ce
formalisme est quil permet la mise en
correspondance des modèles  champs  et des
modèles  circuits .
14
Ce formalisme est aussi utile pour analyser des
circuits, notamment les circuits non
linéaires. Exemple à traiter sous forme
dexercice calculer le courant obtenu après un
temps fixé dans une inductance pure non linéaire
soumise à une tension constante. Vaut-il mieux
spécifier linductance par une fonction L(i) ou
y(i) ?
15
Méthodes Lagrangiennes en théorie des circuits
On peut condenser l information relative à un
dispositif inductif dans une seule fonction, la
coénergie wcm .
Avantages (vu l an passé au cours ELEC 1310)
? moins de paramètres dans le cas dun élément
à plusieurs accès électriques ?
cohérence du modèle garantie, ? utilisation
plus facile des symétries Supposent les
relations univoques (pas d hystérésis)
16
Equations  générales 
Les deuxièmes termes n ont pas été vus lors du
cours ELEC 1310 (limité aux circuits
filiformes) Ce sont les termes de glissement. q
position de la matière r position du
circuit
17

• Les termes de glissement sont nuls si q r . On
  parle alors de  circuits filiformes . Cest le
  seul cas considéré dans le cours de lan passé.
• Quand est-il utile de considérer les termes de
  glissement ?
• Dans le cas (rare) de machines dérivées de la
  roue de Barlow (ou du disque de Faraday)
• Dans le cas des machines DC si on veut traiter
  linduit comme UN circuit.
• Attention, dans le cas des machines à collecteur
  électronique, il faut encore introduire dautres
  termes si lon veut arriver à une précision
  raisonnable tout en considérant linduit comme un
  seul circuit.
• Dans le cas des machines polyphasées si on veut
  considérer les systèmes d, q et o comme des
  circuits à part entière.

18
Convertisseurs homopolaires (dérivés de la roue
de Barlow ou du disque de Faraday)
Ci-contre, le circuit magnétique nest pas
représenté complètement. Il y a des variantes
topologiques (machines cylindriques, machines
linéaires...) On doit utiliser la notion de
circuit glissant pour introduire un modèle
circuit de ces machines.
19
Machines à courant continu
Bien que linduit soit formé de multiples
circuits filiformes, il est équivalent à un
circuit glissant unique.
20
Machines DC à collecteur électronique
Exemple génératrice à redresseur
On peut encore utiliser un circuit glissant, mais
le circuit dinduit nest plus fixé à 90 par
rapport à laxe de linducteur. En outre, pour
être complet, il faut tenir compte dautres
degrés de liberté, notamment dune variation de
la  largeur des balais  en fonction du courant
dinduit (correspondant au temps de commutation
dans le circuit filiforme). La notion sétend aux
 brushless .
21
Machines à courant alternatif

• Il existe des situations où lon ne peut plus se
  contenter dun circuit équivalent monophasé
• machine à pôles saillants
• ou régime déséquilibré
• ou régime transitoire

On devrait alors considérer chaque phase
séparément, doù un grand nombre déquations
fortement couplées.
22
Circuits o, d, q
La situation peut se simplifier en changeant de
circuit (mathématiquement). Pour cela, on
remplace les circuits a, b et c par trois autres
circuits o, d et q (homopolaire, direct et en
quadrature). Cela se ramène à un changement de
variables. On a par exemple pour les tensions.
où T et P sont des matrices (matrice de Concordia
et matrice de Park)
23
La matrice de Concordia T est une matrice
constante
24
La matrice de Park P est une matrice variable
Pour simplifier les équations de la machine, on
choisit re lié à la position du rotor et tel que
le circuit d soit  aligné  avec linducteur, le
circuit q étant en quadrature avec
linducteur. (Pour létude en régime du réseau,
on préfère parfois lier re à la phase wt du
réseau. Dans ce cas, les équations de la machine
ne se simplifient pas !)
25
La transformation permet, dans le cas des
machines à couplage sinusoïdal, de réduire le
nombre de termes de couplage entre les équations
donc dobtenir un circuit équivalent distinct
pour chaque composante. Par exemple, pour une
machine synchrone en régime, on pourra tenir
compte de pôles saillants à laide des circuits
(on suppose que lhomopolaire nest pas excité)
ci-contre.
Ces circuits ne sont plus couplé que par le biais
de sources de tension (qui tiennent compte du
glissement et dépendent du flux dans lautre
circuit), ainsi que par les éléments non
linéaires éventuels (saturation croisée).
26
Utilisation d un modèle circuit pour la
conception par calcul
Possible seulement pour les composants au
comportement simple (résistances standard ). Les
composants de puissance ne sont pas conçus
spécialement pour avoir un comportement simple !
Pour spécifier des composants
Pour concevoir un composant par calcul
27
Utilisation d un modèle circuit pour déterminer
des caractéristiques de matériaux
Directement
Indirectement
28
Il peut y avoir plusieurs modèles  circuit 
pour un même dispositif
Le choix dépend de lusage que lon veut faire du
modèle Vérifier la tenue du dispositif à
différents régimes, Déterminer son rendement
énergétique Dimensionner lélectronique de
puissance associée Concevoir un régulateur PID
pour le commander, Tester ce régulateur en
tenant compte de la saturation.
Exemple de demande mal formulée
donnez moi LES équations de LA machine à courant
continu (sans autre précision). Le choix dun
modèle circuit dépend des grandeurs à calculer,
mais aussi de la précision, du temps requis pour
lutiliser
29
Il faut aussi savoir quels sont les temps
caractéristiques des phénomènes que lon souhaite
étudier La présence de lélectronique de
puissance donne lieu à des temps très courts
attention aux capacités  parasites .
A léchelle du hachage, on considère souvent les
commutations comme instantanées
30
Transitoire électrique souvent quasistatique
(modèle purement inductif). Ils sont régis par
les valeurs des inductances et des résistances.
On ne considère que les valeurs moyennes sur une
période de hachage.
Dans beaucoup de cas, les transitoires
électriques sont beaucoup plus court que les
transitoires mécaniques. Dans ce cas, on ne
sintéresse souvent quau régime permanent dun
point de vue électrique (entendez par là
lentement variable car le régime évolue avec la
variation de la vitesse mécanique) mais
transitoire dun point de vue mécanique.
Rappelons que, dans certains cas, le régime
 permanent  électrique peut être étudié par un
circuit équivalent monophasé.
31
Il y a aussi des situations où lon considère les
régimes électrique et mécanique comme permanents
(entendez par là lentement variables car le
régime évolue avec la variation de température)
mais que lon étudie le transitoire thermique
(régi essentiellement par les capacités et les
résistances thermiques)
32
De quel modèle a-t-on besoin pour rendre compte
du régime permanent ?
Pour une machine synchrone à pôles lisses en
régime permanent le circuit le plus simple est
celui de Behn-Eschenburg
Ce circuit rend mal compte des non linéarités et
des pertes Dans le cas dune machine à aimant
permanent, pas de circuit inducteur et on prend
E0 constant. IL FAUT vérifier que les hypothèses
sont satisfaites (pôles lisses et fonctionnement
sans saturation) !
33

• Exemple de question.
• point de vue énergie quel courant (amplitude
  et phase) faut-il soutirer à une génératrice pour
  en extraire un maximum de puissance tout en lui
  gardant une durée de vie convenable ?
• point de vue mécatronique quel courant (à
  chaque instant) faut-il appliquer à un actionneur
  pour suivre un profil de vitesse donné tout en
  lui gardant une fiabilité suffisante ?
• Le modèle de Behn-Eschenburg ne permet quune
  réponse approchée car ses éléments ne
  correspondent pas à des éléments physiques. Il ne
  rend donc pas compte correctement des pertes !

34
Le circuit équivalent le plus simple qui tient
compte des non linéarités est celui de Potier
(limité aux machines à pôles lisses).
Les pertes par effet Joule et les pertes
magnétiques sont bien séparées. Ce circuit se
ramène au précédent par une transformation de
Thévenin. Dans le cas dune machine à aimant, il
ny a pas dinducteur et on prend if constant.
35
Comment déduire la valeur des paramètres à partir
de calculs de champ ?

• Il y a au moins deux possibilités
• soit chercher à faire correspondre à chaque
  phénomène un élément de circuit.
• soit déterminer les éléments du circuit
  équivalent en réalisant des essais expérimentaux
  virtuels (par calcul de champ) semblables à ceux
  qui sont utilisés pour déterminer
  expérimentalement les paramètres (voir cours 1310
  ou 2753).

36
Par la première méthode (faire correspondre
chaque phénomène à un élément de circuit), on
nobtient pas directement un circuit classique
(Potier, Behn-Eschenburg) parce que les éléments
de ces circuits ne correspondent pas à des
phénomènes distincts.
homopolaire D et Q sont les circuits
amortisseurs rotoriques. On remarque la présence
de termes de glissement.
37
Après diverses simplifications, on retrouve des
circuits plus familiers
circuit homopolaire
En régime permanent, on retrouve les circuits
équivalents habituels (pas de tension sur les
éléments rotoriques)
38
En régime permanent, on obtient
On peut introduire la notion de phaseur, mais ce
nest que pour une machine à pôle lisse que cela
permet de combiner les deux circuits d et q en un
seul et obtenir le circuit de Potier.
39
Autre approche on effectue des essais virtuels
et on en déduit les paramètres du modèle circuit
comme si on avait effectué des mesures de
laboratoire. On peut faire des essais virtuels
sans correspondant réel (par exemple supprimer
laimantation des aimants, ou appliquer une
valeur de courant qui mettrait en danger une
machine réelle). On peut aussi mélanger les deux
approches. Comme dans le cas des essais réels, on
a intérêt à effectuer des essais dont les
résultats dépendent principalement dune partie
seulement des paramètres à déterminer (rappel
labo sur machine asynchrone des cours ELEC1310 ou
2753 un essai à rotor bloqué pour déterminer
les éléments série et un essai à faible charge
pour déterminer les éléments parallèle)
40
Essais expérimentaux
But valider le modèle choisi Moyen déterminer
expérimentalement les valeurs des paramètres
 circuit , et les comparer aux valeurs obtenues
par le calcul a priori. Note lexpérience ne
permet pas toujours de vérifier la valeur de tous
les paramètres obtenus par calcul de champ. En
particulier, pour les machines à aimant
permanent, la séparation de linductance de
magnétisation et de linductance de fuite par des
essais expérimentaux classiques est quasi
impossible. Dans ce cas, on déduit du modèle
calculé un modèle du type Behn-Eschenburg (qui ne
considère que la somme de ces deux inductances)
et on effectue la vérification sur ce dernier !