Bab 2 Pentaabiran bagi perbezaan dua min

1
Bab 2Pentaabiran bagi perbezaan dua min
2
Objektif

• Mengenalpasti beza min dan varians bagi min
  sampel yang bertaburan normal dan bukan normal.
• Membina selang keyakinan bagi beza min.
• Mengenalpasti maksud ujian hipotesis dua sampel.
• Mengenalpasti ujian hipotesis dua sampel ke atas
  beza min (sampel kecil dan besar).

3
Pentadbiran bagi perbezaan dua min

• Pengenalan.
• Taburan pensampelan bagi perbezaan dua min
  sampel.
• Selang keyakinan bagi perbezaan dua min populasi.
• Ujian hipotesis bagi perbezaan dua min populasi.

4
Pengenalan

• Sebelum ini, kita lihat pentadbiran min satu
  sampel. Dalam situasi sebenar adalah penting
  untuk membandingkan 2 set sampel data. Berikut
  merupakan contoh-contoh penggunaan 2 set sampel
  data.
• Seorang penyelidik ingin mengkaji adakah
  penggunaan bahan bakar bagi 2 jenis kereta
  berbeza, jika data sampel menunjukkan purata
  penggunaan salah satunya 24.6 km per liter
  manakala kereta yang satu lagi menggunakan 25.7
  km per liter.
• Apabila menguji keberkesanan sesuatu ubat,
  tentukan samada terdapat perbezaan di antara satu
  kumpulan pesakit yang diberikan ubat tersebut
  dengan satu kumpulan pesakit yang tidak diberi
  ubat tersebut.

5
Ulangkaji taburan pensampelan

• Taburan min sampel bagi populasi dengan
  pengembalian

Jika x1 x2 x3 xn ialah suatu sampel rawak
bersaiz n yang diambil daripada populasi dengan
pengembalian (atau populasi tidak terhingga)
dengan min ? dan varians ?2, maka min untuk min
sampel adalah dan varians untuk min sampel
adalah
6
Ulangkaji taburan pensampelan

• Taburan min sampel bagi populasi tanpa
  pengembalian

Jika x1 x2 x3 xn ialah suatu sampel rawak
bersaiz n yang diambil daripada sebarang populasi
terhingga bersaiz N dengan min ? dan varians ?2
tanpa pengembalian, maka min untuk min sampel
adalah dan varians untuk min
sampel adalah
7
Ulangkaji taburan pensampelan

• Taburan pensampelan terhadap min bagi sebarang
  populasi bertaburan normal

Jika x1 x2 x3 xn ialah sampel rawak bersaiz n
yang diambil daripada populasi yang bertaburan
normal dengan min ? dan varians ?2, maka min
sampel, yang juga bertaburan
normal dengan min ? dan varians iaitu
8
Taburan pensampelan terhadap perbezaan dua min.
Jika dua sampel rawak tak bersandar bersaiz n1
dan n2 diambil daripada dua populasi tak
terhingga dengan min ?1 dan ?2 dan varians ?1 dan
?2, maka taburan pensampelan untuk beza antara
dua min, adalah bertaburan hampir
normal dengan min dan varians iaitu

apabila n1 dan n2 adalah cukup besar.
9
Taburan pensampelan terhadap perbezaan dua min.
Taburan pensampelan terhadap perbezaan dua min
bagi dua populasi bertaburan normal
dan juga mempunyai taburan
yang sama, iaitu
Rujuk contoh 6.8 ms 82 dan 6.9 ms 83 dalam buku
teks.
10
Taburan pensampelan terhadap perbezaan dua min.
Jika anda sudah faham, sila selesaikan masalah
no. 7 dan no. 8 ms 89 dalam buku teks.
11
Ulangkaji penganggaran selang

• Panganggar selang sesuatu parameter adalah satu
  selang nilai yang mengandungi nilai sebenar
  dengan keyakinan tertentu. Selang yang dibina
  disebut sebagai selang keyakinan.
• Nilai sebenar parameter dikatakan berada di
  antara dua nilai tertentu aras keyakinan
  (1-?)100.

12
Ulangkaji penganggaran selang
Penganggaran selang satu sampel bagi min Terdapat
3 keadaan
Keadaan Selang keyakinan
Varians diketahui
Varians tidak diketahui dan n?30
Varians tidak diketahui dan nlt30
13
Selang keyakinan bagi perbezaan dua min (sampel
besar)

• Jika x1 dan x2 adalah min sampel rawak bersaiz n1
  dan n2 (n1 dan n2? 30) yang diambil daripada
  populasi bertaburan normal
• Selisih antara 2 min sampel, ,
  adalah penganggar titik bagi selisih min untuk 2
  populasi, ?1 - ?2
• Oleh itu, selang keyakinan (1-?)100 bagi ?1 -
  ?2 ialah

jika ?1 dan ?2 diketahui
jika ?1 dan ?2 tidak diketahui
14
Selang keyakinan bagi perbezaan dua min (sampel
besar)
Di mana dan
15
Selang keyakinan bagi perbezaan dua min (sampel
besar)
Rujuk contoh 7.13 ms 102 dan 7.14 ms 103 dalam
buku teks.
16
Selang keyakinan bagi perbezaan dua min (sampel
besar)
Contoh Kursus motivasi telah diberikan kepada
dua kumpulan jurujual dgn tujuan meningkatkan
jualan syarikat. Selepas kursus, kump. A yg
terdiri drpd 50 org jurujual telah meningkatkan
min jualan bulanan mereka sebyk RM250 dgn sisihan
piawai RM60. Min jualan bulanan kump. B yg
terdiri drpd 40 org jurujual pula telah bertambah
sebyk RM150 dgn sisihan piawai RM30. Dapatkan
selang keyakinan 95 utk perbezaan dalam
pertambahan jualan bulanan di antara dua kumpulan
jurujual tersebut.
17
Penyelesaian
Katakan ?1 dan ?2 adalah min populasi bagi
pertambahan jualan bulanan bagi kump. A dan B
masing-masing.
Oleh itu, selang keyakinan (1-?)100 bagi ?1 - ?2
ialah
(RM 80.95, RM 119.05)
18
Selang keyakinan bagi perbezaan dua min (sampel
kecil)
Rumusnya ialah dengan darjah kebebasan , dk
n1n2-2
dengan
19
Selang keyakinan bagi perbezaan dua min (sampel
kecil)
Seorang ejen kereta ingin mengkaji kualiti enjin
dua jenis kereta berdasarkan kekerapan kerosakan.
Satu sampel rawak 15 org pemilik kereta ditanya
berapa kalikah enjin kereta perlu diperbaiki dlm
tempoh dua tahun lepas. Semua kereta yg dikaji
adh berusia 5 tahun. Maklumat yg didapati adh
seperti berikut Kereta Jenis A 8,
s1 1.8 Kereta Jenis B 5, s2
2.1 Andaikan kedua-dua varians populasi adh sama.
Dapatkan selang keyakinan 90 utk perbezaan min
bilangan kerosakan bagi dua jenis kereta itu.
20
Selang keyakinan bagi perbezaan dua min (sampel
kecil)
S.K 90 utk perbezaan min bilangan kerosakan bagi
dua jenis kereta itu ialah Oleh itu,
kita yakin sebyk 90 bahawa perbezaan min
bilangan kerosakan bagi dua jenis kereta itu
ialah di antara 1.785 kali hingga 4.215 kali
untuk dua tahun yg lepas.
(1.785, 4.215)
21
Ulangkaji hipotesis satu sampel
Hipotesis adalah satu pernyataan, anggapan atau
kepercayaan atau dakwaan tentang sesuatu
parameter populasi.

• Terdapat 5 langkah di dalam pengujian hipotesis.
• Pernyataan hipotesis.
• Penentuan statistik ujian.
• Penentuan nilai kritikal dan rantau
  kritikal/penolakan.
• Keputusan ujian.
• Kesimpulan sama ada menyokong atau menolak
  hipotesis.

22
Ulangkaji hipotesis satu sampel
Penentuan Statistik ujian, terdapat 3 keadaan
23
Ulangkaji hipotesis satu sampel
Terdapat dua bentuk ujian Ujian satu sisi dan
Ujian dua sisi.
Kawasan penolakan
24
Ulangkaji hipotesis satu sampel
Terdapat dua bentuk ujian Ujian satu sisi dan
Ujian dua sisi.
Kawasan penolakan
25
Ujian hipotesis terhadap perbezaan dua min
(sampel saiz besar)
Jika adalah 2 min sampel
rawak tak bersandar, maka dengan
?1 min populasi 1 n1 saiz
sampel populasi 1 ?2 min populasi 2
n2 saiz sampel populasi 2
?12 varians populasi 1 min sampel
1 ?22 varians populasi 2 min
sampel 2
26
Ujian hipotesis terhadap perbezaan dua min
(sampel saiz besar)

• Andaian yang penting utk hipotesis selisih min
  saiz sampel besar ialah kedua-dua sampel drpd
  kedua-dua populasi perlulah dipilih secara rawak
  dan tidak bersandar.
• Saiz sampel n1 dan n2 mestilah cukup besar
  supaya masing-masing menghampiri taburan
  normal, maka s12 dan s22 akan menjadi
  penganggar terbaik bagi ?12 dan ?22.
• Untuk itu syarat n1? 30 dan n2 ? 30 perlulah
  dipenuhi.

27
Ujian hipotesis terhadap perbezaan dua min
(sampel saiz besar)

• Hipotesis nul ialah H0 ?1 - ?2 ? 0 dengan
  statistik ujian
• Nilai ? di dalam statistik ujian diperolehi drpd
  H0
• Kebiasaannya nilai ?1 dan ?2 tidak diketahui,
  oleh itu kita gantikan dengan
• kerana s1 dan s2 merupakan penganggar terbaik
  bagi ?1 dan ?2

28
Ujian hipotesis terhadap perbezaan dua min
(sampel saiz besar)
3 kes ujian hipotesis perbezaan dua
min Hipotesis
Kawasan penolakan H0 ? 0 lwn H1 ? gt
0 z gt z? (1 hujung
kanan) H0 ? 0 lwn H1 ? lt 0
z lt - z? (1 hujung kiri) H0 ? 0 lwn H1 ?
? 0 z gt z?/2 atau z lt - z?/2 ( 2
hujung) dengan ?1 - ?2 ?.
Rujuk contoh 9.1 ms 129 dalam buku teks.
29
Ujian hipotesis terhadap perbezaan dua min
(sampel saiz besar)
Latihan 2 Satu kajian mengenai perbezaan usia
kereta di antara kereta pelajar dan kereta
pekerja telah dijalankan di sebuah kolej swasta.
Oleh itu, sebanyak 217 kereta pelajar telah
dipilih secara rawak dan secara puratanya kereta
mereka berusia 7.89 tahun dengan sisihan piawai
3.67 tahun. Manakala 152 kereta pekerja telah
dipilih secara rawak dan memberikan purata usia
5.99 tahun dengan sisihan piawainya 3.65 tahun.
Gunakan ? 0.05 untuk menguji dakwaan yang
kereta pelajar lebih tua (lama) daripada kereta
pekerja.
30
Ujian hipotesis terhadap perbezaan dua min
(sampel saiz besar)
Latihan 3 Pihak pengurusan Bank A mendakwa
purata masa menunggu bagi para pelanggannya
adalah kurang drpd Bank B. Sebuah syarikat
perunding perniagaan telah mengambil sampel sebyk
200 pelanggan Bank A dan mendapati purata masa
menunggu mereka ialah 4.75 minit dgn sisihan
piawai 1.2 minit. Sampel kedua pula seramai 300
pelanggan telah ditanya dan memberikan purata
masa menunggu selama 5 minit dgn sisihan piawai
1.5 minit. Uji pada aras keertian 2.5, sama ada
dakwaan yg dibuat oleh pihak pengurusan Bank
A benar atau tidak.
31
Ujian hipotesis terhadap perbezaan dua min
(sampel saiz kecil)

• Sampel saiz kecil diambil kerana kekangan
  seperti masa dan kos. Maka adalah sukar untuk
  mengambil sampel yang bersaiz besar.
• Jika kedua-dua populasi drpd mana sampel diambil
  tertabur secara (menghampiri) normal dan sisihan
  piawai diketahui, maka taburan z masih boleh
  digunakan. Walau bagaimanapun, bagi kes n1lt30 dan
  n2lt30 (sampel bersaiz kecil) drpd populasi yang
  tertabur secara (menghampiri) normal dan
  kedua-dua sisihan piawai, ?1 dan ?2, tidak
  diketahui, maka taburan t akan digunakan.

32
Ujian hipotesis terhadap perbezaan dua min
(sampel saiz kecil)

• Andaian yang perlu dipenuhi utk menggunakan
  taburan t
• Kedua-dua sampel dipilih drpd 2 populasi yang
  tertabur secara (menghampiri) normal.
• Saiz kedua-dua sampel adalah kecil (n1lt30 dan
  n2lt30) dan dipilih secara rawak serta tidak
  bersandar(merdeka).
• Sisihan piawai ?1 dan ?2 bagi kedua-dua populasi
  tidak diketahui tetapi nilainya adalah sama,
  iaitu ?1 ?2.

33
Ujian hipotesis terhadap perbezaan dua min
(sampel saiz kecil)
Apabila ?1?2, maka kita akan menggunakan ? untuk
kedua-dua ?1 dan ?2 iaitu ?1?2?. Memandangkan
? tidak diketahui, kita gantikannya dengan
penganggar titik sp yang dinamakan sisihan piawai
tergembleng iaitu Jika
adalah 2 min sampel rawak tak bersandar, maka
34
Ujian hipotesis terhadap perbezaan dua min
(sampel saiz kecil)
3 kes ujian hipotesis selisih min (saiz sampel
kecil) Hipotesis
Kawasan penolakan H0 ? 0 lwn H1
? gt 0 t gt t? (1 hujung
kanan) H0 ? 0 lwn H1 ? lt 0 t
lt - t? ( 1 hujung kiri) H0 ? 0 lwn H1 ?
? 0 t gt t?/2 atau t lt - t?/2 ( 2
hujung) dengan ?1 - ?2 ?. Statistik ujian
dengan darjah kebebasan,
dk n1n2-2
35
Ujian hipotesis terhadap perbezaan dua min
(sampel saiz kecil)
Rujuk contoh 9.2 ms 132 dalam buku teks.
36
Ujian hipotesis terhadap perbezaan dua min
(sampel saiz besar)
Latihan 4 Satu sampel 14 tin minuman Jenis Y
memberikan purata kalori 23 setin dgn sisihan
piawainya 3 kalori. Satu sampel lain yg terdiri
drpd 16 tin minuman Jenis Z pula memberikan
purata kalori 25 setin dgn sisihan piawai
sebanyak 4 kalori. Pada aras keertian 1, adakah
anda boleh katakan purata kalori bagi kedua-dua
jenis minuman tin tersebut adalah berbeza ?
(Andaikan bilangan kalori setin utk kedua-dua
jenis minuman adalah tertabur secara normal dan
sisihan piawai bagi kedua-dua populasi adalah
sama)
37
Ujian hipotesis terhadap perbezaan dua min
(sampel saiz besar)
Latihan 5 Syarikat ZZ mempunyai 2 buah pasaraya
di bandar P. Pihak pengurusan kualiti syarikat
ingin memeriksa sama ada pelanggan berpuashati
dengan layanan yang diberikan oleh kedua-dua
pasaraya. Satu sampel 25 pelanggan dipilih drpd
pasaraya 1 menghasilkan purata indeks
kepuashatian sebanyak 7.8 (berdasarkan skala 1
hingga 10, 1 yang terendah dan 10 tertinggi)
dengan sisihan piawai 0.75. Untuk sampel kedua,
28 pelanggan dipilih drpd pasaraya 2 dan
menghasilkan purata indeks kepuashatian
sebanyak 8.3 dengan sisihan piawai 0.59. Andaikan
indeks kepuashatian pelanggan untuk kedua-dua
pasaraya tertabur secara normal dengan sisihan
piawai populasi yang sama. Uji pada aras
keertian 1 sama ada purata indeks kepuashatian
bagi kedua-dua pasaraya adalah berbeza.