Cap

1
Capítulo 4

• Modelo de Redes

2
Objetivos del Capítulo

• Conceptos y definiciones de redes.
• Importancia de los modelos de redes
• Modelos de programación lineal, representación en
  redes y soluciones usando el computador para
• Modelos de transporte.
• Modelos de capacidad de transporte
• Modelos de asignación
• Modelo del vendedor viajero
• Modelos de la ruta mas corta
• Modelos de la rama mas corta

3

• Un problema de redes es aquel que puede
  representarse por

8
6
9
10
Nodos
Arcos
7
10
Funciones en los arcos
4
4.1 Introducción

• La importancia de los modelos de redes
• Muchos problemas comerciales pueden ser
  resueltos a través de modelos redes
• El resultado de un problema de redes garantiza
  una solución entera, dada su estructura
  matemática. No se necesitan restricciones
  adicionales para obtener este tipo de solución.
• Problemas de redes pueden ser resueltos por
  pequeños algoritmos , no importando el tamaño del
  problema, dada su estructura matemática.

5

• Terminología de Redes
• Flujo Corresponde a la cantidad que debe
  transportarse desde un nodo i a un nodo j a
  través de un arco que los conecta. La siguiente
  notación es usada
• Xij cantidad de flujo
• Uij cota mínima de flujo que se debe
  transportar
• Lij cota maxíma de flujo que se puede
  transportar.
• Arcos dirigidos /no dirigidos Cuando el
  flujo puede transportarse en una sola dirección
  se tiene un arco dirigido (la flecha indica la
  dirección). Si el flujo puede transportarse en
  ambas direcciones existe un arco no dirigido (sin
  flecha).
• Nodos adyacentes Un nodo j es adyacente con
  un nodo i si existe un arco que une el nodo j con
  el nodo i.

6

• Rutas/Conexión entre nodos
• Ruta Una colección de arcos formados por una
  serie de nodos adyacentes
• Los nodos están conectados si existe una ruta
  entre ellos.
• Ciclos / Arboles /Arboles expandidos
• Ciclos Un ciclo se produce cuando al partir
  de un nodo por un cierto camino se vuelve al
  mismo nodo por otra ruta.
• Arbol Una serie de nodos que no contienen
  ciclos.
• Arbol expandido Es un árbol que conecta todos
  lo nodos de la red (contiene n-1 arcos).

7
4.2 Problemas de transporte

• Un problema de transporte surge cuando se
  necesita un modelo costo-efectividad que permita
  transportar ciertos bienes desde un lugar de
  origen a un destino que necesita aquellos bienes
  , con ciertas restricciones en la cantidad que se
  puede transportar.1

8

• Definición del problema
• Se tienen m lugares de origen. Cada lugar de
  origen tiene una capacidad de producción Si
• Se tienen n destinos. Cada destino j demanda
  Dj
• Objetivo
• Minimizar el costo de transporte de la carga al
  lugar de destino
• cumpliendo con las restricciones de los lugares
  de origen.

9
Farmacéutica Carlton

• La farmacéutica Carlton abastece de drogas y
  otros suministros médicos.
• Esta tiene tres plantas en Claveland, Detroit,
  Greensboro.
• Tiene cuatro centros de distribución en Boston,
  Atlanta, St Louis.
• La gerencia de Carlton desea realizar el
  trnsporte de sus productos de la manera más
  económica posible.

10

• Datos
• Costo de transporte por unidad, oferta y
  demanda.
• Supuestos
• El costo de transporte por unidad es constante
• Todos los transportes ocurren simultáneamente.
• Solo se considera el costo de transporte entre
  el lugar de origen y el de destino
• La oferta total es igual a la demanda total.

11
RED QUE REPRESENTA EL PROBLEMA
D11100
D2400
D3750
D4750
12

• Modelo matemático
• La estructura del modelo es la siguiente
• Minimizar ltCosto total de transportegt
• sujeto a
• cantidad a transportar desde la fabrica oferta
  de la fábrica
• cantidad a recibir por la distribuidora
  demanda de la distribuidora.
• Variables de decisión
• Xij cantidad a transportar desde la fábrica i
  a la distribuidora j
• donde i 1(Claveland), 2(Detroit),
  3(Greensboro)
• j 1(Boston), 2(Richmond), 3(Atlanta),
  4 (St,Louis)

13
Restricciones de la Oferta
Boston
D11100
Richmond
D2400
Atlanta
D3750
St.Louis
D4750
14

• El modelo matemático completo

15

• Solución optima obtenida a través de Excel

16
Análisis de Sensibilidad por WINQSB
Si utilizamos esta ruta, el costo total
aumentara en 5 por unidad transportada.
17
Precio sombra de la distribuidora - el costo de
demandar una unidad más por la distribuidora.
Precio sombra de la planta - el costo de cada
unidad extra disponible en la planta.
18

• Interpretación de los resultados del análisis de
  sensibilidad.
• Reducción de Costos
• - La cantidad a transportar que reduce el costo
  por unidad entrega la ruta más económicamente
  atractiva.
• - Si una ruta debe usarse obligatoriamente,
  incurriendo asi en el costo que ello significa,
  por cada carga transportada , el costo total
  aumentara en una cantidad igual a la reducción
  del costo hecha.
• Precios Sombra
• - Para las plantas el precio sombra de
  transporte corresponde al costo de cada unidad
  disponible en la planta.
• - Para las distribuidoras, el precio sombra de
  transporte corresponde al costo de cada unidad
  extra demandada por la distribuidora.

19
Compañía de ski MontpelierUsando un modelo de
transporte para un itinerario de producción

• Montpelier planea su producción de ski para
  los meses de julio, agosto y septiembre.
• La capacidad de producción y el costo de
  producción unitario puede varia de un mes a otro.
• La compañía puede destinar tiempo de
  producción adicional para la fabricación de
  skis.
• El nivel de producción es capaz de satisfacer
  la demanda proyectada y un trimestre del nivel de
  inventario.
• La gerencia desea un itinerario de producción
  que minimiza el costo del trimestre.

20

• Datos
• Inventario inicial 200 pares
• Nivel de inventario requerido 1200 pares
• Nivel de producción para el próximo trimestre
  400 pares (tiempo normal)
• 200 pares (sobretiempo)
• La tasa de costo de almacenaje ed de 3
  mensual por ski
• El nivel de producción, la demanda esperada
  para del trimestre, (en pares de ski) y el costo
  de producción por unidad (por meses)

21

• Análisis de la demanada
• Demanda neta a satisfacer en Julio 400 - 200
  200 pares
• en inventario
• Demanda neta de agosto 600
• Demanda neta en septiembre 1000 1200
  2200 pares
• demanda esperada
  inventario req.
• Análisis de la oferta
• La capacidad de producción corresponde a la
  oferta
• Existen dos tipos de oferta
• 1.- Oferta producida en tiempo norma (capacidad
  de producción)
• 2.- Oferta producida en sobretiempo.

• Análisis de los costos unitarios
• Costo Unitario costo unitario de
  producciónt
• costo unitario de lamacenamiento por mes
  número de
• meses en inventario
• Ejemplo Una unidad producide en julio en
  tiempo normal y
• vendida en septiembre cuesta 25 (3)(25)(2
  meses)
• 26.50

22
Representación de la Red
Producción Mes/periodo
Mes Ventas
July R/T
Julio T/N
25 25.75 26.50 0
1000
200
Julio
Julio S/T
30 30.90 31.80 0
500
M 26 26.78 0
M M 37 0
M M 29 0
Agst. T/N
600
M 32 32.96 0
Agst..
800
Capacidad de Producción
Demanda
Agst. S/T
400
2200
Sept.
Sept. T/N
400
Exceso
300
Sept. S/T
200
23
Producción Julio tiempo normal Destino Demanda
para Julio
Producción AgostoSobretiempo Destino Demanda de
Septiembre
Costo Unitario 25 (producción)
32(.03)(32)32.96
Costo Unitario Producciónun mes de
almacenamiento
24

• Resumen de la solución óptima.
• En julio producir 1000 pares en tiempo normal
  y 500 pares en sobretiempo.
• Total Disponible 1500 - 200 1300 a fines de
  julio
• En agosto producir 800 pares en tiempo normal
  y 500 en sobretiempo. Disponibles 800 300 -
  600 500 pares
• En septiembre producir 400 pares en tiempo
  normal. Con 1000 pares para la posible demanda
  los cuales se pueden distribuir
• (1300 500 ) 400 - 1000 1200 pares
  disponibles para ser transportados
  a Ski Chalet.
• Inventario Producción - Demanda

25
4.3 Problemas de Asignación

• Definición del Problema
• m trabajadores deben ser asignados a m
  trabajos.
• Un costo unitario (o ganancia) Cij es asociado
  al trabajador i que realizara el trabajo j.
• Minimizar el costo total ( o maximizar la
  ganancia total) de la asignación de trabajadores
  a sus respectivos empleos que le corresponde a
  cada uno, tratando de que esta asignación sea la
  óptima posible.

26
Electrónica Ballston

• Existen 5 diferentes proyectos eléctricos sobre 5
  líneas de producción que necesitan ser
  inspeccionadas.
• El tiempo para realizar una buena inspección de
  un área de pende de la línea de producción y del
  área de inspección.
• La gerencia desea asignar diferentes áreas de
  inspección a inspectores de productos tal que el
  tiempo total utilizado sea mínimo.

27

• Datos
• Tiempo de inspección en minutos para la línea
  de ensamble de cada área de inspección.

28
RED QUE REPRESENTA EL PROBLEMA
Línea de ensamble
Área de Inspección
D11
1
A
2
B
D21
3
C
D31
D41
4
D
D51
5
E
29

• Supuestos restricciones
• El número de trabajadores es igual al número
  de empleos.
• Dado a que el problema esta balanceado, cada
  trabajador es asignado sólo una vez y cada
  trabajo tiene exactamente un solo trabajador.
• Para un problema desbalanceado se debe
  agregar un trabajador ficticio (en el caso de
  que existan más trabajos que trabajadores) o un
  empleo ficticio (en el caso de que existan más
  trabajadores que trabajos), quedando así el
  problema balanceado.

30
Solución mediante el método Húngaro

• Problema
• El profesor Michell ha terminado 4 capítulos de
  su libro y esta pensando en pedir ayuda para
  terminarlo. El ha elegido a 4 secretarias que
  podrían tipearle cada uno de sus capítulos. El
  costo asociado refleja la velocidad de la
  secretaria y la exactitud con la que realiza el
  trabajo. Además los capítulo difieren en la
  cantidad de hojas y en la complejidad. Qué
  puede hacer el profesor si conoce la siguiente
  tabla
• Capítulos
• Secretaría 13 14 15 16
• Juana 96 99 105 108
• María 116 109 107 96
• Jackeline 120 102 113 111
• Edith 114 105 118 115

31

• Restricciones del Método
• Solo problemas de minimización.
• Número de personas a asignar m es igual al
  número de lugares m.
• Todas las asignaciones son posibles
• Una asignación por persona y una persona por
  asignación
• Matriz de Costos
• Capítulos
• Secretaría 13 14 15 16
• Juana 96 99 105 108
• María 116 109 107 96
• Jackeline 120 102 113 111
• Edith 114 105 118 115

32

• Restar el Menor valor de cada fila
• Capítulos
• Secretaría 13 14 15 16
• Juana 0 3 9 12
• María 20 13 11 0
• Jackeline 18 0 11 9
• Edith 9 0 13
  10
• Restar el menor valor de cada columna en la
  matriz anterior
• Capítulos
• Secretaría 13 14 15 16
• Juana 0 3 0 12
• María 20 13 2 0
• Jackeline 18 0 2 9
• Edith 9 0 4
  10

33

• Trazar el mínimo número de líneas que cubran los
  ceros de la matriz obtenida en el punto anterior.
• Capítulos
• Secretaría 13 14 15 16
• Juana 0 3 0 12
• María 20 13 2 0
• Jackeline 18 0 2 9
• Edith 9 0 4
  10
• Si el número de líneas es igual al número de
  filas se esta en la solución óptima, sino
  identificar el menor valor no rayado restarselo a
  los demás números no rayados y sumarlo en las
  intersecciones.
• Pare este caso corresponde al valor 2

34

• Capítulos
• Secretaría 13 14 15 16
• Juana 0 5 0 14
• María 18 13 0 0
• Jackeline 16 0 0 9
• Edith 7 0 2
  10
• Las asignaciones corresponde a los valores donde
  existen 0
• Juana Cap. 13
• María Cap. 16
• Jackeline Cap. 15
• Edith Cap. 14
• Costo Asignación 96 96 113 105 410

35

• Casos especiales
• Cuando un trabajador no puede realizar un
  empleo en particular
• Cuando un trabajador puede ser asignado a más
  de un trabajo.
• Un problema de maximización.

36
4.4 Problema del vendedor viajero

• Definición del problema
• Existen m nodos
• Un costo unitario Cij es asociado al arco (i,j).
• El objetivo es encontrar el ciclo que minimizeel
  costo total al visitar todos los nodos
  exactamente una vez.

• Se trata de un tour es un recorrido que comienza
  en una ciudad de partida visitando cada ciudad
  (nodo) de una cierta red, exactamente una vez y
  volviendo al punto de partida.
• El objetivo es minimizar el viaje, ya sea desde
  los puntos de vista de tiempo y distancia.
• -

37

• Importancia
• - Diversas aplicaciones pueden ser resueltas
  como un problema de vendedor viajero
• - Ejemplo
• Rutas a seguir por buses escolares
• Distribución de bombas militares
• - El problema tiene importancia teórica porque
  este representa una clase de problemas llamados
  NP-completos.

• Complejidad
• Escribir el modelo matemático y resolverlo
  resulta muchas veces incómodo, ya que un problema
  de 20 ciudades requiere de 500,000 restricciones.

38

• AGENCIA GUBERNAMENTAL DE EMERGENCIA
• Se debe realizar una visita a cuetro oficinas
  locales de la AGE, partiendo de la oficina
  principal y volviendo a la misma, la cual esta
  ubicada en Northridge, Southern California.
• Datos
• Tiempo en minutos para trasladarse de una
  oficina a otra

39

• Red que representa el problema de vendedor
  viajero de AGE

40
2
3
25
35
50
40
50
1
4
65
45
30
80
Of. Princ
40

• Solución
• - Identificación de los posibles ciclos.
• Existen (m-1)1 ciclos posibles
• Solo problemas pequeños pueden ser resuletos.
• - Se utiliza una combinación de problemas de
  asignación con la técnica Branch and Bound.
• Problemas con menos de 20 nodos pueden ser
  resueltos en forma eficiente por este método.

41

• EL PROBLEMA AGE - Identificación de los
  posibles ciclos
• Ciclo Costo Total
• 1. H-O1-O2-O3-O4-H 210
• 2. H-O1-O2-O4-O3-H 195
• 3. H-O1-O3-O2-O3-H 240
• 4. H-O1-O3-O4-O2-H 200
• 5. H-O1-O4-O2-O3-H 225
• 6. H-O1-O4-O3-O2-H 200
• 7. H-O2-O3-O1-O4-H 265
• 8. H-O2-O1-O3-O4-H 235
• 9. H-O2-O4-O1-O3-H 250
• 10. H-O2-O1-O4-O3-H 220
• 11. H-O3-O1-O2-O4-H 260
• 12. H-O3-O1-O2-O4-H 260

42
(No Transcript)
43
(No Transcript)
44
40
2
3
25
35
50
40
1
50
4
65
45
30
80
Of. Princ
45
4.5 Problemas de la Ruta más corta

• Se trata de encontrar la ruta de menor distancia,
  o costo ,a entre el punto de partida o nodo
  inicial y el destino o nodo terminal.
• Definición del Problema
• - Se tienen n nodos, partiendo del nodo inicial
  1 y terminando en el nodo final n.
• - Arcos bi-direccionales conectan los nodos i y
  j con distancias mayores que cero, dij
• - Se desea encontrar la ruta de mínima distancia
  que conecta el nodo 1 con el nodo n.

46

• Lineas Fairway Van
• Determine la ruta mas corta entre Seattle y El
  Paso para la siguiente red de carreteras.

47
Seattle
Butte
599
1
2
497
691
Boise
180
420
3
4
Cheyenne
345
Salt Lake City
432
Portland
440
7
8
Reno
526
6
138
102
432
5
621
Sac.
291
Denver
9
Las Vegas
11
280
10
108
452
Bakersfield
Kingman
155
Barstow
114
469
15
207
12
14
13
Albuque.
Phoenix
Los Angeles
386
403
16
118
19
17
18
San Diego
425
314
Tucson
El Paso
48

• Solución - Analogía de un problema de
  programación lineal
• - Variables de decisión
• Xij 1 si un transporte debe viajar por la
  carretra que une la ciudad i con la
  ciudad j.
• 0 En cualquier otro caso
• Objetivo Minimizar S dijXij

49
Sujeto a las siguientes restricciones
El numero de carreteras para salir de Seattle
(Nodo de inicio) 1X12 X13 X14 1
De una forma similar El número de carreteras
para llegar a El Paso (Nodo final) 1X12,19
X16,19 X18,19 1
El número de carreteras para entrar a la cuidad
El número de carreteras para salir de la
ciudad. Por ejemplo, en Boise (Ciudad 4) X14
X34 X74 X41 X43 X47.
Restricciones mayores que cero
50
Solución Optima por WINQSB
51

• Solución-Analogía con un problema de redes
• El algoritmo de Dijkstras
• -Encontrara la distancia mínima del nodo de
  partida a los otros nodos, en el orden que se
  encuentrana los nodos con respecto al nodo de
  inicio.
• - Este algoritmo encuentra la ruta más corta
  desde el nodo de inicio a todos los nodos de la
  red.

52
Una representación del algoritmo de Dijkstras
842
SEA.
Y de esta manera hasta cubrir toda la red..
53
4.6 Arbol de expansión mínima

• Este problema surge cuando todos los nodos de una
  red deben conectar entre ellos, sin formar un
  loop.
• El árbol de expansión mínima es apropiado para
  problemas en los cuales la reundancia es
  expansiva, o el flujo a lo largo de los arcos se
  considera instantáneo.

54

• EL TRANSITO DEL DISTRITO METROPOLITANO
• La ciudad de Vancouver esta planificando el
  desarrollo de una nueva línea en sistemas de
  tránsito.
• El sistema debe unir 8 residencias y centros
  comerciales.
• El distrito metropolitano de transito necesita
  seleccionar un conjunto de líneas que conecten
  todos los centros a un mínimo costo.
• La red seleccionada debe permitir
• - Factibilidad de las líneas que deban ser
  construídas.
• - Mínimo costo posible por línea.

55
RED QUE REPRESENTA EL ARBOL EXPANDIDO.
55
Zona Norte
Universidad
50
3
5
30
Distrito Comercial
39
38
4
33
34
Zona Oeste
45
32
1
8
28
43
35
2
6
Zona Este
Zona Centro
Shopping Center
41
40
37
44
36
7
Zona Sur
56

• Solución - Analogía con un problema de redes
• - El algoritmo que resuelve este problema es un
  procedimiento muy fácil (trivial).
• - Corresponde a una categoría de algoritmos
  ávidos.
• - Algoritmo
• Comience seleccionando el arco de menor
  longitud.
• En cada iteración, agregue el siguiente arco
  de menor longitud del conjunto de arcos
  disponibles , tomando la precaución de no formar
  ningún loop.
• El algoritmo finaliza cuando todos los nodos
  están conectados.
• Solución mediante el computador
• - Los entrada consiste en el número de nodos, el
  largo de los arcos y la descripción de la red.

57
Solución óptima mediante WINQSB
58
RED QU E REPRESENTA LA SOLUCIÖN ÖPTIMA
55
Universidad
50
3
5
30
Zona Norte
Distrito Comercial
39
38
4
33
34
Zona Oeste
45
Loop
32
1
8
28
43
35
2
6
Zona Este
Zona Centror
Shopping Center
41
40
37
44
36
Costo Total 236 milliones
7
Zona Sur
59
4.7 Problema del flujo máximo

• Este modelo se utiliza para reducir los
  embotellamientos entre ciertos puntos de partida
  y destino en una red.
• Existe un flujo que viaja desde un único lugar de
  origen hacia un único lugar destino a través de
  arcos que conectan nodos intermedios
• Cada arco tiene una capacidad que no puede ser
  excedida
• La capacidad no debe ser necesariamente la misma
  para cada dirección del arco.

60

• Definición del Problema
• - Existe un nodo origen (con el número 1), del
  cual los flujos emanan.
• - Existe un nodo terminal (con el número n), en
  el cual todos los flujos de la red son
  depositados.
• - Existen n-2 nodos (númerados del 2,
  3,....,n-1), en el cual el flujo que entra es
  igual al flujo que sale.
• - La capacidad Cij que transita del nodo i al
  nodo j, y la capacidad Cji para la dirección
  opuesta.

61

• El objetivo es encontrar la máxima cantidad de
  flujo que salga del nodo 1 al nodo n sin exceder
  la capacidad de los arcos.

62

• COMPAÑÍA QUIMICA UNIDA
• Química unida produce pesticidas y otros
  productos de control agrícola.
• El veneno químico necesario para la producción es
  depositado en grandes tambores.
• Una red de tubos y válvulas regula el flujo del
  químico de los tambores a las diferentes áreas de
  producción.
• El departamento de seguridad debe diseñar un
  procedimiento que vacíe los tambores de la forma
  más rápida posible dentro de los tubos del área
  de depósito, usando la misma red de tubos y
  válvulas.
• El procedimiento debe determinar
• - Qué válvulas deben abrirse y cerrarse
• - Estimar el tiempo total de descarga.

63
No se permite flujo de 4 a 2.

• Datos

0
El máximo flujo de 2 a 4 es 8
4
8
7
2
3
0
6
1
10
0
0
3
0
2
1
6
7
4
10
2
Tambores con químico
0
Tubo de Seg.
1
0
4
2
12
8
3
0
5
64

• Solución - Analogía de un problema de
  programación lineal
• Variables de decisión
• Xij - Flujo que viaja desde el nodo i hacia el
  nodo j a través del arco que conecta ambos nodos.
• Función Objetivo - Maximizar el flujo que sale
  del nodo 1
• Max X12 X13
• Restricciones
• Flujo total que sale del nodo 1 Flujo total
  que entra en el nodo 7
• X12 X13 X47 X57 X67
• Para cada nodo intermedio Flujo que entra
  flujo que sale
• Nodo 2 X12 X32 X23 X24 X26
• Nodo 3 X13 X23 63 X32 X35 X36
• Nodo 4 X24 X64 X46 X47
• Nodo 5 X35 X65 X56 X57
• Nodo 6 X26 X36 X46 X56 X63 X64 X65
  X67

65

• EL flujo no puede exceder la capacidad de los
  arcos
• X12 10 X13 10 X23 1 X24 8
  X26 6 X32 1
• X35 15 X36 4 X46 3 X47 7 X56
  2 X57 8
• X63 4 X64 3 X65 2 X67 2
• Los flujos no pueden ser negativos Todos Xij
  gt 0
• Se debe tener presente que este problema es
  relativamente pequeño y la solución puede ser
  obtenida rápidamente usando el modelo de
  programación lineal.
• Sin embargo para problemas de mayor envergadura
  se aconseja usar el modelo de redes.

66

• Solución-Analogía con un problema de redes
• - La idea básica es la siguiente
• Encontrara un sin capacidad en cada uno de
  sus arcos.
• Aumentar el flujo de esos arcos por la
  mínima capacidad de uno de los arcos de la ruta.
• Repetir este procedimiento hasta completar
  la ruta de manera tal que todos los arcos tengan
  una capacidad residual positiva.
• Designar un nodo origen y un nodo de flotación
• Definir las capacidades de todos los arcos en
  la red ( en ambos sentidos)
• A continuación se muestra la solución
  obtenida usando WINQSB.

67
El máximo flujo obtenido por WINQSB
8
4
2
Flujo Máximo 17
1
6
7
Tambores con químico
Tubo de Seg.
3
5