M

1
MÉTODOS NUMÉRICOS1.1 Sistemas de numeración

• Gustavo Rocha
• 2005-2

2
1.1 Sistemas numéricos.

• Los números son los mismos en todos lados.
• Sus nombres y su simbología podrán ser
  diferentes, pero tienen el mismo significado.
• Los pueblos primitivos aprendieron a contar con
  los dedos, con los que no podían alcanzar cifras
  elevadas, pero si las suficientes para satisfacer
  sus necesidades.
• Si querían recordar algunos números, hacían
  incisiones en un palo o marcas en una roca.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3
1.1 Sistemas numéricos.

• Aún ahora, para contar algunas cosas, es útil
  usar rayas verticales, agrupando de cinco en
  cinco.
• Hay muchas maneras de contar de dos en dos,
  porque las personas tienen dos manos, dos pies,
  dos ojos y dos orejas de cinco en cinco, porque
  hay cinco dedos en cada mano de diez en diez,
  porque son diez los dedos de las manos de veinte
  en veinte, porque se tienen veinte dedos sumando
  los de las manos y los pies. Por eso, los
  números que sirven para contar se llaman
  naturales x ? N.
• Cuando la gente empezó a escribir, también
  encontró la forma de representar los números de
  manera más sencilla, con símbolos.

4
1.1.1 Los números egipcios.

• Los egipcios fueron quizá los primeros que
  crearon una forma de escritura numérica, usando
  diferentes símbolos
• 1 1000 1 000 000
• ? 10 10 000 10 000 000
• 100 100 000
• El sistema numeral egipcio tiene como base el
  diez, pero no es posicional, porque no hace uso
  del cero para representar un número, se repetían
  los ocho símbolos anotados, hasta nueve veces
  cada uno, con lo cual se alcanzaba un rango de
  representación de 1 a 99 999 999.
• De izquierda a derecha, primero aparecían las
  unidades, luego las decenas, en seguida las
  centenas y así, sucesivamente. La interpretación
  de los números se hace leyendo de derecha a
  izquierda, sumando los valores de los símbolos.
• Ejemplo
• ???
• ? ???
• ???
• 18 102 1997

5
1.1.2 Los números romanos

• Los romanos usaron letras del alfabeto para
  construir un sistema de numeración que resultaba
  algo más fácil de manejar
• I V X L C D M
• 1 5 10 50 100 500 1000
• Los números romanos todavía se usan, por
  tradición, en relojes, para el capitulado de
  libros, etc., como representaciones elegantes de
  los números, pero ya no para fines aritméticos.
• Las reglas de escritura incluyen el no usar nunca
  tres símbolos iguales juntos, lo que implica
  tener que hacer restas para interpretar
  correctamente la representación de algunos
  números IV, cinco menos uno IX, diez menos uno
  XL, cincuenta menos diez XC, cien menos diez
  CD, quinientos menos cien y CM, mil menos cien.
• El sistema numeral romano usa el diez como base,
  es decir, que la progresión se realiza de diez en
  diez, de derecha a izquierda el no uso del cero
  lo hace pseudo-posicional. Utiliza treinta
  numerales básicos para representar números en el
  rango de 1 a 3999

6
1.1.2 Los números romanos

• Para las unidades I II III IV
  V VI VII VIII IX
• 1 2 3 4 5 6 7
  8 9
• Para las decenas X XX XXX XL
  L LX LXX LXXX XC
• 10 20 30 40 50 60 70
  80 90
• Para las centenas C CC CCC CD
  D DC DCC DCCC CM
• 100 200 300 400 500 600
  700 800 900
• Para las unidades de millar M MM
  MMM
• 1000 2000 3000
• Con objeto de aumentar el rango de escritura de
  los números romanos, más tarde se optó por
  colocar una raya sobre los numerales, para
  indicar que su valor se incrementa mil veces, dos
  rayas, para incrementarlo un millón de veces,
  etc. esta regla tiene validez a partir del
  número IV y hasta el número MMMCMXCIX.
• Ejemplos
• XVIII CII MCMXCVII
• XVIII CII MCMXCVII
• 10 8 100 2 1000
  900 90 7
• 18 102 1997

7
1.1.3 Los números mayas

• El sistema numeral maya es semejante al romano,
  pero resulta superior por cuanto al uso del cero
  y porque en ningún caso es necesario restar para
  interpretar un número. El sistema maya usa
  solamente tres símbolos
• ? ?
• 0 1 5
• Con estos símbolos se puede representar cualquier
  número de 0 a ?, para lo cual requiere del uso de
  veinte numerales básicos
• 0 5 10 15
• ? 1 ? 6 ? 11 ? 16
• ?? 2 ?? 7 ?? 12 ?? 17
• ??? 3 ??? 8 ??? 13 ??? 18
• ???? 4 ???? 9 ???? 14 ???? 19

8
1.1.3 Los números mayas

• El sistema de numeración maya es vigesimal, es
  decir, que la progresión se realiza de veinte en
  veinte, de abajo hacia arriba, lo que le da la
  característica de ser posicional, donde la
  primera posición representa unidades, la segunda
  veintenas, las tercera múltiplos de
  cuatrocientos, la cuarta múltiplos de ocho mil,
  etc. Se escribe y se lee de arriba hacia abajo.
• Ejemplos
• ???? 4 x 400 1600
• 5 x 20 100 ???? 19 x 20
  380
• ??? 18 x 1 18 ?? 2 x 1 2
  ?? 17 x 1 17
• 18 102 1997

9
1.1.4 La evolución de los números.

• Además de contar, la gente empezó a necesitar
  hacer algo más con los números medirlos,
  fraccionarlos, sumarlos, restarlos,
  multiplicarlos y dividirlos. Así nació la
  aritmética, la que ha evolucionado a medida que
  el hombre avanza y encuentra muchas cosas que
  calcular y también muy distintas maneras de
  hacerlo. Pero toda la matemática se basa en el
  simple acto de contar.
• La necesidad de utilizar números cada vez mayores
  trajo consigo la noción de infinito ?,
  descubierta por los griegos a través de un
  elevado nivel de abstracción.
• Los números naturales ya no fueron suficientes
  había la necesidad de fraccionarlos para dividir
  en partes un todo, y así nacieron los números
  racionales Q q ? q a/b, (a, b ? N).

10
1.1.4 La evolución de los números.

• La aparición del cero 0, nace de la necesidad de
  representar la diferencia entre dos números
  idénticos y constituye el elemento fundamental
  para la construcción de los sistemas numéricos
  posicionales.
• Con la invención del álgebra, aparecieron los
  números negativos como solución de ecuaciones, y
  con ello se pudo establecer la clasificación de
  los números enteros en positivos y negativos
• Z z gt 0 Z- z lt 0
• La necesidad de representar algunas cantidades
  requeridas por los desarrollos geométricos trajo
  consigo el advenimiento de los números
  irracionales ?, e, ?2, etc. Qc u ? u ? R, u
  ? Q
• La unidad y fundamento lógico del estudio de los
  números se alcanzó a través de la construcción
  del sistema de los números reales, R, que incluye
  a todos los mencionados anteriormente.
• Los números complejos, C, aparecieron de la misma
  manera que los negativos, al resolver ecuaciones
  cuyo resultado requería de la introducción de los
  llamados números imaginarios.

11
1.1.5 El sistema decimal indo-arábigo.

• Los numerales que han resultado más apropiados
  son los que usamos en la actualidad. Fueron
  introducidos a Europa a través de los árabes,
  pero no fueron ellos quienes los inventaron, sino
  los hindúes, que desde hace diecisiete siglos
  usaban símbolos muy similares a los guarismos que
  se manejan hoy en día.
• Los cálculos, sin embargo, eran lentos y
  engorrosos, hasta que los árabes inventaron el
  diez y, con él, el sistema decimal posicional que
  conocemos, conviniendo en que el valor de un
  guarismo varía con su posición, acompañándolo de
  uno o varios ceros
• 10 es diez veces uno.
• 100 es diez veces diez veces uno, o cien veces
  uno.
• 1000 es diez veces diez veces diez veces uno, o
  mil veces uno.
• etc.
• Ejemplo El numeral 853, en base diez,
  representa el número ochocientos cincuenta y
  tres, y se interpreta como sigue
• 8 5 3
• (8 x 102) (5 x 101)
  (3 x 100) 800 50 3 853

12
1.1.5 El sistema decimal indo-arábigo.

• El sistema decimal permite manejar no solamente
  números enteros, sino todos los números reales,
  incluyendo racionales e irracionales, y también
  los números complejos.
• En el sistema decimal, los números reales se
  representan de la misma manera que los enteros,
  sólo que el valor de un guarismo, a la derecha
  del punto decimal, varía con su posición,
  anteponiéndole uno o varios ceros
• 0.1 es la décima parte de uno.
• 0.01 es la centésima parte de uno.
• 0.001 es la milésima parte de uno.
• etc.
• Ejemplo El numeral 0.0745, en base diez, es la
  representación del número fraccionario
  "setecientos cuarenta y cinco diez milésimos".
• .0 7 4 5
• (7 x 10-2) (4 x 10-3) (5 x
  10-4) 0.07 0.004 0.0005 0.0745

13
1.1.6 El sistema binario.

• El sistema binario es similar al decimal, pero su
  base es dos en lugar de diez y utiliza solamente
  dos símbolos o dígitos binarios 0 y 1, en vez de
  los diez guarismos que requiere el decimal. El
  valor de los unos varía con su posición,
  acompañándolos de uno o varios ceros
• 10 es dos veces uno.
• 100 es dos veces dos veces uno, o cuatro veces
  uno.
• 1000 es dos veces dos veces dos veces uno, u
  ocho veces uno.
• etc.
• El sistema binario se emplea en las computadoras
  digitales, porque los alambres que forman los
  circuitos electrónicos presentan solo dos
  estados magnetizados o no magnetizados,
  dependiendo si pasa o no corriente por ellos.

14
1.1.6 El sistema binario.

• En vez de agrupar de diez en diez, se agrupa de
  dos en dos por ejemplo, el número trece,
  representado a través de marcas simples e
  iguales
• 
  
• se agrupa por parejas, de izquierda a derecha
• 
  
• luego se agrupa por parejas de óvalos, otra vez
  de izquierda a derecha
• 
  
• luego por parejas de óvalos más grandes y así,
  sucesivamente
• 
  
• El número de marcas agrupadas dentro de cada
  óvalo, e incluso la marca que queda fuera de
  ellos, corresponde a una potencia de 2.
• 23 22 20

15
1.1.6 El sistema binario.

• Considerando los coeficientes de las potencias de
  2, se obtiene el numeral
• 1 1 0 1
• que representa el número trece en sistema
  binario, y se lee "uno, uno, cero, uno". El
  numeral obtenido se interpreta como sigue De
  derecha a izquierda, el primer 1 representa una
  unidad (20) luego aparece un cero, lo que
  significa que no hay ningún grupo de dos unidades
  (21) el siguiente 1 representa dos grupos de dos
  unidades (22) y el último 1 representa cuatro
  grupos de dos unidades (23).
• Al igual que en el sistema decimal, en el binario
  también se pueden representar números
  fraccionarios. El valor de los unos, a la
  derecha del punto decimal, varía con su posición,
  anteponiéndoles uno o varios ceros
• 0.1 es la mitad de uno.
• 0.01 es la cuarta parte de uno.
• 0.001 es la octava parte de uno.
• etc.
• Ejemplo El numeral binario 0.1101 es la
  representación del número fraccionario "trece
  dieciseisavos
• .1 1 0 1
• (1 x 2-1) (1 x 2-2) (0 x 2-3)
  (1 x 2-4) 0.5 0.25 0.0625 0.8125

16
1.1.7 Los sistemas octal y hexagesimal.

• El sistema octal, o de base ocho, requiere de 8
  símbolos, los cuales pueden ser los mismos del
  sistema decimal, del 0 al 7, o cualesquiera otros
  que se elijan convencionalmente. El valor de un
  guarismo varía con su posición, acompañándolo de
  uno o varios ceros
• 10 es ocho veces uno.
• 100 es sesenta y cuatro veces uno.
• 1000 es quinientas doce veces uno.
• etc.
• Aquí la agrupación se hace de ocho en ocho, como
  se muestra
• 
  
• que se puede expresar (2 x 81) (3 x 80)
• equivalente a 16 3 19, en
  sistema decimal.
• Considerando los coeficientes de las potencias de
  8, se obtiene el numeral 23 que se lee "dos,
  tres y representa al número diecinueve en
  sistema octal. El numeral obtenido se interpreta
  como sigue De derecha a izquierda, el 3
  representa tres unidades (80) y el 2 representa
  dos grupos de ocho unidades (81).

17
1.1.7 Los sistemas octal y hexagesimal.

• La representación de números fraccionarios en el
  sistema octal se hace considerando
• 0.1 es la octava parte de uno.
• 0.01 es la sesenta y cuatroava parte de uno.
• 0.001 es la quinientos doceava parte de uno.
• etc.
• El sistema hexagesimal, o de base dieciséis,
  requiere de 16 símbolos, los cuales pueden ser
  los mismos diez dígitos del sistema decimal, del
  0 al 9, complementados, por convención, por las
  primeras seis letras del alfabeto A 10, B
  11, C 12, D 13, E 14 y F 15 (podrían
  utilizarse, en su lugar, otros cinco símbolos
  cualesquiera). El valor de un guarismo varía con
  su posición, acompañándolo de uno o varios ceros
• 10 es dieciséis veces uno.
• 100 es doscientos cincuenta y seis veces uno.
• 1000 es cuatro mil noventa y seis veces uno.
• etc.

18
1.1.7 Los sistemas octal y hexagesimal.

• Aquí la agrupación se hace de dieciséis en
  dieciséis, como se muestra
• 
  
• que se puede expresar (1 x 161) (3 x 160)
• equivalente a 16 3 19, en
  sistema decimal.
• Considerando los coeficientes de las potencias de
  16, se obtiene el numeral 13 que se lee "uno,
  tres y representa al número diecinueve en
  sistema hexagesimal. El numeral obtenido se
  interpreta como sigue De derecha a izquierda,
  el 3 representa tres unidades (160) y el 1
  representa un grupo de dieciséis unidades (161).
• La representación de números fraccionarios en el
  sistema hexagesimal se hace considerando
• 0.1 es la dieciseisava parte de uno.
• 0.01 es la doscientos cincuenta y seisava parte
  de uno.
• 0.001 es la cuatro mil noventa y seisava parte de
  uno.
• etc.

19
1.1.8 Conversión de números enterosde un
sistema a otro.

• Conversión de enteros de base decimal a bases
  binaria, octal y hexagesimal El entero decimal
  n se divide entre la base b (2, 8 o 16) y se
  registra el cociente c1 y el residuo r1
  resultantes, abajo y a la derecha,
  respectivamente el cociente c1 se divide entre
  la base b, registrando el cociente c2 y el
  residuo r2 de igual manera el procedimiento se
  repite hasta alcanzar un cociente ck, que sea
  cero, con un residuo rk. El número n, expresado
  en base b, se construye a partir de los residuos,
  en el orden rk, rk-1, ..., r2, r1.
• Ejemplo Convertir el número decimal 199710 a
  los sistemas binario, octal y hexagesimal.
• A binario divisiones sucesivas entre 2.
• 1997 1
• 998 0
• 499 1
• 249 1
• 124 0
• 62 0
• 31 1
• 15 1
• 7 1
• 3 1
• 1 1
• 0

El número 199710 en binario es 111110011012
lectura
20
1.1.8 Conversión de números enterosde un
sistema a otro.

• A octal divisiones sucesivas entre 8.
• 1997 5
• 249 1
• 31 7
• 3 3
• 0
• A hexagesimal divisiones sucesivas entre 16.
• 1997 13 D
• 124 12 C
• 7 7
• 0

El número 199710 en octal es 37158
El número 199710 en hexagesimal es 7CD16
21
1.1.8 Conversión de números enterosde un
sistema a otro.

• Conversión de bases binaria, octal o hexagesimal,
  a base decimal. Cada uno de los dígitos que
  conforman el número m, expresado en binario,
  octal o hexagesimal, se multiplica por la base
  (2, 8 o 16, respectivamente) elevada a una
  potencia igual a la posición del dígito,
  empezando por la potencia cero, de derecha a
  izquierda. La suma de estos productos es el
  número m, en base decimal.
• Ejemplo Convertir el número binario 111001101
  al sistema decimal.
• 1 x 28 1 x 27 1 x 26 1 x 23 1 x 22 1
  x 20
• 256 128 64 8 4
  1 46110
• Ejemplo Convertir el número octal 5438 al
  sistema decimal.
• 5 x 82 4 x 81 3 x 80 320 32 3
  35510
• Ejemplo Convertir el número hexagesimal 9B216
  al sistema decimal.
• 9 x 162 11 x 161 2 x 160 2304 176 2
  248210
• La tabla siguiente muestra las equivalencias
  entre los primeros 16 numerales en los sistemas
  binario, octal y hexagesimal el sistema decimal
  aparece sólo como referencia. Con estas
  equivalencias se puede hacer la conversión de
  cualquier entero de un sistema a otro.

22
Conversión de enteros entre los sistemas
binario, octal y hexagesimal.
Binario Octal Binario Hexagesimal Decimal
000 0 0000 0 0
001 1 0001 1 1
010 2 0010 2 2
011 3 0011 3 3
100 4 0100 4 4
101 5 0101 5 5
110 6 0110 6 6
111 7 0111 7 7
1000 8 8
1001 9 9
1010 A 10
1011 B 11
1100 C 12
1101 D 13
1110 E 14
1111 F 15
23
Conversión de enteros entre los sistemas
binario, octal y hexagesimal.

• Ejemplo Convertir el número binario
  111110011012 a los sistemas octal y hexagesimal.
• A octal
• 011 111 001 101
• 3 7 1 5
• A hexagesimal
• 0111 1100 1101
• 7 C D
• Ejemplo Convertir el número octal 5438 a los
  sistemas binario y hexagesimal.
• A binario
• 5 4 3
• 101 100 011
• A hexagesimal
• 0001 0110 0011
• 1 6 3
• Ejemplo Convertir el número hexagesimal 9B216 a
  los sistemas binario y octal.
• A binario
• 9 B 2

El número 111110011012 en octal es 37158
El número 111110011012 en hexagesimal es 7CD16
El número 5438 en binario es 1011000112
El número 5438 en hexagesimal es 16316
El número 9B216 en binario es 1001101100102
El número 9B216 en octal es 46628
24
1.1.9 Conversión de númerosfraccionarios de un
sistema a otro.

• Conversión de fracciones de base decimal a bases
  binaria, octal y hexagesimal La fracción
  decimal n se multiplica por la base b (2, 8 o 16)
  y se registra por un lado la parte fraccionaria
  resultante f1 y por el otro la parte entera
  correspondiente e1 la fracción f1 se multiplica
  por la base b, registrando la fracción f2 y el
  entero e2 asociado el procedimiento se repite
  ocho veces ó hasta alcanzar una fracción fk, que
  sea cero o cercana a cero (fk 0.9961 ó fk 0.0039
  con su entero asociado ek. El número n,
  expresado en base b, se construye a partir de los
  enteros, en el orden e1, e2, ..., ek-1, ek.
• Ejemplo Convertir la fracción decimal 0.199710
  a los sistemas binario, octal y hexagesimal.
• A binario multiplicaciones sucesivas por 2.
• .1997
• .3994 0
• .7988 0
• .5976 1
• .1952 1
• .3904 0
• .7808 0
• .5616 1
• .1232 1
• .2464 0

El número 199710 en binario es aproximadamente
0.001100112
25
1.1.9 Conversión de númerosfraccionarios de un
sistema a otro.

• A octal multiplicaciones sucesivas por 8.
  
• .1997
• .5676 1
• .7808 4
• .2464 6
• .9712 1
• .7696 7
• .1568 6
• .2544 1
• .0352 2
• .2816 0
• A hexagesimal multiplicaciones sucesivas por 16.
• .1997
• .1952 3
• .1232 3
• .9712 1
• .5392 15 F
• .6272 8

El número 199710 en octal es aproximadamente
0.146176128
El número 199710 en hexagesimal es
aproximadamente 0.331F8A0916
26
1.1.9 Conversión de númerosfraccionarios de un
sistema a otro.

• Conversión de fracciones de bases binaria, octal
  o hexagesimal, a base decimal. Cada uno de los
  dígitos que conforman la fracción m, expresado en
  binario, octal o hexagesimal, se multiplica por
  la base (2, 8 o 16, respectivamente) elevada a
  una potencia igual a la posición del dígito,
  empezando por la potencia menos uno, de izquierda
  a derecha. La suma de estos productos es el
  número m, en base decimal.
• Ejemplo Convertir el número binario
  0.11100110110 al sistema decimal.
• 1 x 2-1 1 x 2-2 1 x 2-3 1 x 2-6 1 x 2-7
  1 x 2-9
• 0.5 0.25 0.125 0.015625 0.0078125
  0-001953125 0.900390610
• Ejemplo Convertir la fracción octal 0.5438 al
  sistema decimal.
• 5 x 8-1 4 x 8-2 3 x 8-3 0.625 0.0625
  0.005859375 0.693359310
• Ejemplo Convertir la fracción hexagesimal
  0.9B216 al sistema decimal.
• 9 x 16-1 11 x 16-2 2 x 16-3 0.5625
  0.0429687 0.0004882
• 0.605468710

27
Conversión de fracciones entre los sistemas
binario, octal y hexagesimal

• Conversión de fracciones entre los sistemas
  binario, octal y hexagesimal. La misma tabla del
  apartado 1.1.8 que muestra las equivalencias
  entre los primeros 16 numerales en los sistemas
  binario, octal y hexagesimal, sirve también para
  hacer la conversión de cualquier fracción de un
  sistema a otro.
• Ejemplo Convertir la fracción binaria
  0.111110011012 a los sistemas octal y
  hexagesimal.
• A octal
• 0.111 110 011 010
• 0. 7 6 3 2
• A hexagesimal
• 0.1111 1001 1010
• 0. F 9 A
• Ejemplo Convertir la fracción octal 0.5438 a
  los sistemas binario y hexagesimal.
• A binario
• 0. 5 4 3
• 0.101100 011
• A hexagesimal
• 0.1011 0001 1000
• 0. B 1 8

El número 111110011012 en octal es 0.76328
El número 111110011012 en hexagesimal es 0.F9A16
El número 5438 en binario es 0.1011000112
El número 5438 en hexagesimal es 0.B1816
28
Conversión de fracciones entre los sistemas
binario, octal y hexagesimal

• Ejemplo Convertir la fracción hexagesimal
  0.9B216 a los sistemas binario y octal.
• A binario
• 0. 9 B 2
• 0.1001 1011 0010
• A octal
• 0.100 110 110 010
• 0. 4 6 6 2

El número 9B216 en binario es 0.1001101100102
El número 9B216 en octal es 0.46628