S

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Séries chronologiques et prévision

• L3 Gestion

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Séries chronologiques et prévisions

• Introduction
• Objectif maniement simple de quelques
  techniques statistiques (Statistiques
  descriptives, indices, séries chronologique,
  moindres carrés ordinaires).
• De quelle façon
• Sans démonstration et beaucoup dintuition

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Séries chronologiques et prévisions

• Plan prévisionnel (15 heures)
• Chapitre 1 Statistiques descriptives
• Chapitre 2 Taux de croissance et indices
• Chapitre 3 Les moindres carrés ordinaires (mco)
• Chapitre 4 Les séries chronologiques
• - Composantes,
• Dessaisonalisation,
• Estimation du trend par moyennes mobiles et par
  les mco
• Estimation des coefficients saisonniers
• Prévisions par lissage exponentiel

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Chapitre 1 Statistiques descriptives

• On distingue deux types de statistiques résumées
  
• Les statistiques qui résument la tendance
  centrale dune série ( mode, moyenne et
  médiane) et les statistiques qui résument la
  dispersion dune série
• Sans référence à aucune statistique de tendance
  centrale (intervalle interquartile ou
  interdécile),
• Qui fait référence à la tendance centrale
  (variance, écart-type et coefficient de
  variation).

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Statistiques descriptives

• Il existe aussi des statistiques qui résument la
  forme dune distribution, mais celles-ci ne
  sont plus trop utilisées aujourdhui dans la
  mesure où il est plus facile dobserver
  directement le graphique dune distribution pour
  en apprécier la forme.

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Statistiques descriptives

• 1. Les statistiques de tendance centrale
• A Le mode
• Le mode d'une série est la valeur la plus
  fréquente d'une série. Exemple Soit la série
  8,4,4,3,4,3,8,7,5
• La valeur la plus fréquente de cette série est 4.
  Le mode est donc égal à 4. L'effectif associé à
  ce mode est 3.

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Statistiques descriptives

• Quelques remarques à propos du mode
• Une série peut avoir plusieurs modes 
• S 4, 0, 1, 1, 7, 7, 7, 3, 3, 4, 7, 3, 4, 5, 7,
  1, 3, 3, 4, 5,
• Cette série a 2 modes, elle est bimodale. Ses
  deux modes sont 7 et 3. L'effectif associé à
  chacun de ces modes est 5.
• Il existe également des séries multimodales.
• b) Le mode nexiste pas forcément C'est le cas
  lorsque toutes les valeurs ont le même effectif.
• Exemple S 4, 0, 1, 2, 5, 6

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Statistiques descriptives

• c) Le mode nest pas la valeur la plus élevée. Il
  ne faut pas confondre le mode, qui est la valeur
  la plus fréquente, avec la valeur la plus élevée
  de la série.
• d) Les caractères quantitatifs et qualitatifs
  peuvent avoir un mode
• Le mode existe aussi bien dans le cas dune série
  de valeurs que dans le cas dune série de
  modalités
• la série A,C,C,D,A,A,C,E,E,B,C a la modalité C
  pour mode car cest la modalité C qui revient le
  plus souvent.

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Chapitre 1

• B La moyenne arithmétique
• Soit un échantillon de n valeurs observées x1,
  x7, .,xi,.,xn dun caractère quantitatif X, on
  définit sa moyenne observée comme la moyenne
  arithmétique des n valeurs
• Exemple avec S 4, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 2,
  3, 4, 5, 2, 1, 3, 3, 4, 5

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Statistiques descriptives

• Une des propriétés de la moyenne arithmétique est
  que la somme des écarts à la moyenne est nulle

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Statistiques descriptives

• Si les données observées xi sont regroupées en k
  classes deffectifs ni (variable continue
  regroupée ou variable discrète), il faut les
  pondérer par les effectifs correspondants
• Avec

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Statistiques descriptives

• Exemple précédent regroupé

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Statistiques descriptives

• Remarque La moyenne obtenue après regroupement
  des données en classe peut différer légèrement en
  raison dune perte dinformation.
• Exemple supposons que les données précédentes
  soient regroupées en classe de la façon suivante
  

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Statistiques descriptives

• Pour calculer la moyenne, nous devons déterminer
  les centres de classe et appliquer la formule
  où les xi sont les centres de
  classe (nommés Ci)
• La différence ici est de 0.5 et cette différence
  dépend de la définition des classes amplitude
  et nombres de classes.

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Statistiques descriptives

• Décomposition de moyenne
• Soit une population totale de n individus,
  composée de k groupes. Les groupes sont désignés
  par des lettres. La population totale est égale à
  la somme des populations des groupes
• Notons la moyenne de la variable X du groupe m

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Statistiques descriptives

• La moyenne globale se calcule ainsi
• Ou encore

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Statistiques descriptives

• La formule sécrit en définitive
• Exemple

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Statistiques descriptives

• Les effets de structure les moyennes de chaque
  classe possèdent des pondérations très
  différentes

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Statistiques descriptives

• Deux autres moyennes
• Moyenne géométrique
• Avec les notations précédentes
• est la moyenne géométrique de la série
  statistique.

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Statistiques descriptives

• Exemple
• Lessence a augmenté de 10 lan dernier et de
  30 cette année. Quelle est le taux
  daugmentation annuelle ?
• Ce nest pas 20 ! La moyenne arithmétique ne
  convient pas. Si t est ce taux, on a bien sûr
• et donc t 0,19619,6.
• La  bonne  moyenne est ici la moyenne
  géométrique.

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Statistiques descriptives

• Moyenne harmonique
• Toujours avec les notations précédentes
• est la moyenne harmonique de la série
  statistique.

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Statistiques descriptives

• Exemple
• Si je fais un trajet aller-retour avec une
  vitesse v1 à laller et une vitesse v2 au retour,
  quelle est ma vitesse moyenne sur lensemble du
  trajet ?
• La réponse nest pas
• Mais qui est la moyenne harmonique de v1 et
  v2.

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Statistiques descriptives

• C La médiane
• Définition
• Si F désigne la fonction des fréquences cumulées,
  la médiane dune série statistique sera la plus
  petite valeur x telle que F(x) 0,5. Autrement
  dit La médiane est la valeur du caractère pour
  laquelle la fréquence cumulée est égale à 0,5 ou
  50 .
• Interprétation Elle correspond donc au centre de
  la série statistique classée par ordre croissant,
  ou à la valeur pour laquelle 50 des valeurs
  observées sont supérieures et 50 sont
  inférieures.

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Statistiques descriptives

• Avantages
• Contrairement à la moyenne, la médiane nest pas
  sensible aux valeurs extrêmes.
• dans une entreprise où les 10 salariés gagnent
  chacun 1500 par mois et le patron 7000 par
  mois, le salaire médian mensuel est de 1500.
• La médiane a une signification concrète.

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Statistiques descriptives

• Détermination pratique caractère discret
• Si leffectif total n est impair, i.e. n 2k
  1, la médiane sera le k1ème terme de la série.
  La médiane est la valeur du milieu. EX  17, 15,
  18. n 3, k(n-1)/2(3-1)/21 k1ème terme est
  donc le deuxième gt M15.
• Si n est pair, i.e. n 2k, la médiane sera le
  kème terme de la série. EX  17, 15, 16, 18
  gtM15.
• Mais, si n est pair, une médiane est aussi une
  valeur quelconque entre le kème et k1ème terme
  de la série (M entre 15 et 16). Dans ce cas il
  peut être commode de prendre le milieu (15,5).

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Statistiques descriptives

• On peut déterminer la médiane graphiquement

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Statistiques descriptives

• Détermination de la médiane caractère continu
• On commence par déterminer la classe médiane,
  i.e. la première classe où la fréquence cumulée
  dépasse 0,5.
• Ensuite, on calcule la médiane par interpolation
  linéaire.

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Statistiques descriptives

• Interpolation linéaire (Théorème de Thales)
• ABC est un triangle. M se trouve sur le segment
  AB et N sur le segment AC. D'après le
  théorème de Thalès, si les droites (BC) et (MN)
  sont parallèles, alors on a l'égalité 

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Statistiques descriptives

• Le théorème de Thalès permet de calculer des
  longueurs. Pour calculer une longueur dans la
  configuration représentée ci-dessus, il suffit de
  connaître trois des longueurs figurant dans deux
  des rapports.

C
N
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Statistiques descriptives
Classes Effectif Fréquences cumulées croissantes
Moins de 25 ans 18 0,06
25X lt30 54 0,24
30X lt 35 72 0,48
35X lt40 84 0,76
40X lt 45 36 0,88
45X lt 50 22 0,95
50 ans et plus 14 1
Dans le cas de valeurs groupées, on pose
l'hypothèse selon laquelle les valeurs sont
uniformément réparties à l'intérieur de chaque
classe.
35,36
31
Statistiques descriptives
32
Statistiques descriptives

• 2. a)
• 2. b)

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• Résumé des caractéristiques des indicateurs

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Statistiques descriptives

• 2. Les indicateurs de dispersion
• Deux séries statistiques peuvent avoir les mêmes
  paramètres de tendance centrale mais pas la même
   dispersion .
• Exemple
• Notes de Ruby 7 , 8 , 11 , 12 , 13 , 13 et 13
  (moyenne 11)
• Notes de Iris 4 , 7 , 9 , 12 , 13 , 13 et 19
  (moyenne 11)
• Il est donc nécessaire dadjoindre à un paramètre
  de tendance centrale(moment 1), un ou des
  paramètres de dispersion (moment 2).Ces
  paramètres ont pour objectif dans le cas d'un
  caractère quantitatif de caractériser la
  variabilité des données dans léchantillon.
• Les indicateurs de dispersion fondamentaux sont
  la variance observée et lécart-type observé.

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Statistiques descriptives

• Quelques indicateurs de dispersion
• Étendue.
• Lécart interquartile
• Écart absolu.
• La variance et lécart type.
• Coefficient de variation

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Statistiques descriptives

• 1. Létendue
• Létendue dune série statistique est la
  différence entre la plus grande valeur de la
  série et la plus petite.
• Remarque
• - Très simple à calculer et à interpréter.
• - Par nature très sensible aux valeurs extrêmes.

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Statistiques descriptives

• 2. Lécart interquartile Q3-Q1
• Si F désigne la fonction des fréquences cumulées,
  le premier (resp. troisième) quartile dune série
  statistique sera la plus petite valeur x telle
  que F(x) 0,25 (resp. 0,75) . On le note Q1
  (resp. Q3).
• Q1 et Q3 se calculent comme la médiane. Q1 est la
  valeur qui coupe la distribution en deux 25
  en dessous et 75 au dessus. Q3 75 et 25 .
• Lécart interquartile contient au moins 50 des
  valeurs de la série.
• Lécart interquartile mesure la dispersion sans
  tenir compte des valeurs extrêmes.

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Statistiques descriptives

• Après les quartiles, on peut définir de la même
  façon les déciles (voire les centiles) dune
  série statistique.
• Il sagit de regarder les valeurs de la série
  correspondant à des fréquences cumulées de 0,1
  0,2 0,9.
• Pour visualiser la dispersion dune série
  statistique, on peut alors représenter une  Box
  plot  ( boîte à moustache ).

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Statistiques descriptives
D1
D9
Min
Max
Q1
Q3
Médiane
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Statistiques descriptives

• 3. Lécart absolu moyen
• moyenne des valeurs absolues des écarts à la
  moyenne.
• Intérêts
• - Paramètre simples à calculer, prenant en compte
  lensemble des données.
• Très facile dinterprétation.
• Inconvénient
• Mauvaises propriétés calculatoires (non
  linéaire).
• Peu utilisés par les logiciels de statistiques.

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Statistiques descriptives

• 4. Variance et écart-type
• On définit la variance comme la moyenne
  arithmétique des carrés des écarts à la moyenne.

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Statistiques descriptives

• Dans le cas de données regroupées en k classes
  d'effectif ni (variable continue regroupée en
  classes ou variable discrète), la formule de la
  variance est la suivante

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Statistiques descriptives

• Lécart-type observé correspond à la racine
  carrée de la variance observée
• Remarque De part sa définition, la variance est
  toujours un nombre positif. Sa dimension est le
  carré de celle de la variable. Il est toutefois
  difficile dutiliser la variance comme mesure de
  dispersion car le recours au carré conduit à un
  changement dunités. Elle na donc pas de sens
  direct contrairement à l'écart-type qui sexprime
  dans les mêmes unités que la moyenne.

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Statistiques descriptives

• 5. Le coefficient de variation
• La variance et lécart-type observée sont des
  paramètres de dispersion absolue qui mesurent la
  variation absolue des données indépendamment de
  lordre de grandeur des données. Le coefficient
  de variation noté C.V. est un indice de
  dispersion relatif prenant en compte ce biais et
  est égal à
• Exprimé en pour cent, il est indépendant du choix
  des unités de mesure permettant la comparaison
  des distributions de fréquence dunité
  différente.

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Statistiques descriptives

• Exercice 1 La présence des clients dans un
  magasin
• 1.Calculer la moyenne et la médiane.
• 2. Calculer la variance et lécart-type

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Statistiques descriptives

• Moyenne et médiane
• Moyenne On calcule le centre de chaque classe
  ci (i1,..,5).

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Statistiques descriptives

• 2. La médiane
• On calcule les fréquences et les fréquences
  cumulées et on détermine la classe médiane
• (25.5 30,5). On fait une interpolation linéaire
  

Classes effecctif Fréquence Freq cumul
15,520,5 200 0,08 0,08
20,525,5 500 0,2 0,28
25,530,5 1000 0,4 0,68
30,535,5 600 0,24 0,92
35,540,5 200 0,08 1
2500 1
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Statistiques descriptives

• Exercice 2 Variation du CAC 40 au cours dune
  semaine (en points). Il y a 8 observations
  journalières.
• Calculer la moyenne, la variance et lécart-type
• Sur le nouveau marché, la même semaine on
  observait une moyenne de 0.8 et un écart-type de
  26,05. Est-il préférable dinvestir sur le
  nouveau marché ? Certains analystes se fient au
  coefficient de variation. Le calculer pour les 2
  marchés. Est-il un bon estimateur du risque ?