L

1
Sumário e Objectivos
Sumário Introdução à Teoria da Plasticidade.
Ensaio de Tracção. Critérios de Cedência. Regra
de Encruamento. Lei de Escoamento. Objectivos
da Aula Apreensão de Alguns Conceitos
Fundamentais Associados à Teoria da Plasticidade.
2
Compressão de uma Placa
3
Modelos de Comportamento Uniaxial
Comportamento linear elástico
4
Modelos de Comportamento Uniaxial
Comportamento rígido-perfeitamente plástico
5
Modelos de Comportamento Uniaxial
Comportamento rígido-plástico com encruamento
linear
6
Modelos de ComportamentoUniaxial
Comportamento elástico-perfeitamente plástico
7
Modelos de ComportamentoUniaxial
Comportamento elásto-plástico com encruamento
linear
8
Exemplo de Aplicação
As três barras são constituídas do mesmo
material, com igual E, A e Pc. Admita-se ainda
que, uma vez atingida a tensão de cedência o
material pode deformar-se infinitamente
mantendo-se contudo o estado de tensão constante.
Pretende-se determinar qual o valor da carga de
rotura da estrutura, Pr, em função de Pc.
9
Exemplo de Aplicação Esforços
normais numa barra
Começa-se por fazer um cálculo linear elástico
determinando os esforços normais suportados por
cada barra. Para o efeito, pode-se recorrer ao
método dos deslocamentos, em que numa dada barra
i, a uma variação de comprimento cos?i,
corresponde um esforço normal EiAi/Li?cos?i
10
Exemplo de Aplicação Coeficientes de
Rigidez para a Estrutura
Considerando os graus de liberdade assinalados na
figura inicial, ?1 e ?2, os coeficientes de
rigidez para a estrutura são
11
Exemplo de Aplicação Coeficientes de
Rigidez para a Estrutura
12
Sistema de Equações
O estabelecimento das equações de equilíbrio
segundo os respectivos graus de liberdade permite
determinar as componentes do vector deslocamento
do nó de aplicação da força exterior, P
13
Esforços Axiais
O esforço normal em cada uma das barras pode ser
calculado por
Para o conjunto das três barras tem-se
14
Esforços Axiais
ou, atendendo à relação entre comprimentos, L2L
e L1L3
15
Barra 2 Atinge a Cedência em 1º Lugar
Os esforços calculados, que apenas são válidos
enquanto todas as barras "funcionarem" no domínio
linear elástico, permitem concluir que a barra 2
é a que suporta um maior esforço normal, pelo
que, num processo de carregamento incremental
será a primeira a atingir a carga correspondente
à tensão de cedência. A carga P (P?) que leva a
que a primeira barra da estrutura (barra 2) a
atingir a carga de cedência
O deslocamento vertical é
16
Carga de Rotura
A carga de rotura é atingida quando os esforços
normais F1 e F3 igualarem a carga de cedência,
Pc. A equação de equilíbrio vertical permite
escrever
Fazendo coincidir F1F3?Pc e P?Pr, resulta
17
Cálculo dos Deslocamentos
Para forças exteriores em que se verifique P ?
P?,Pr, o cálculo dos deslocamentos nodais
faz-se de modo semelhante, mas considerando
apenas as duas barras que se encontram em regime
elástico.
18
Cálculo dos Deslocamentos
As componentes do vector deslocamento do nó de
aplicação da força tomam os seguintes valores
Pelo que, para uma força exterior de,
, o deslocamento vertical segundo o
grau de liberdade ?2 toma o valor
.
19
Gráfico Carga-Deslocamento
20
Observações Experimentais O Ensaio de Tracção
Gráfico Tensão-Deformação de uma liga metálica
21
Gráfico tensão-deformação de um aço de
baixo teor em carbono
Devido à dificuldade existente em distinguir no
ensaio todos estes parâmetros, normalmente apenas
se refere a tensão de cedência como a tensão
necessária para provocar uma deformação plástica
de 0,2.
22
Histerese e Encruamento
Na fase de deformação plástica, isto é, quando o
nível de carregamento corresponde a um valor para
a tensão superior à tensão de cedência, o
incremento de deformação plástica é acompanhado
de um incremento de tensão, e diz-se que houve um
encruamento do material. Regra geral, a curva
tensão-deformação de descarregamento pós
deformação plástica (AA? do gráfico seguinte) não
é exactamente linear e paralela à porção elástica
inicial da curva. No carregamento seguinte (curva
A?A?) observa-se que a curva não coincide com a
curva de descarga, retomando a curva inicial em
A?. Este fenómeno é conhecido por histerese não
sendo considerado no modelo descrito no presente
texto
23
Histerese e Encruamento
Gráfico tensão-deformação com descarregamento e
carregamento
24
Efeito de Bauschinger
Tensão de Cedência à Tracção
Tensão de Cedência à Compressão
A dependência da tensão de cedência com o sentido
de carregamento é conhecida como Efeito de
Bauschinger
25
Efeito do Tempo
Na Fig. representa-se um gráfico
tensão-deformação com duas curvas obtidas em dois
ensaios de tracção realizados a velocidades
diferentes. A curva dinâmica OP é obtida num
ensaio realizado com uma velocidade de deformação
superior à velocidade aplicada no ensaio
referente à curva quase estática OP?. Conclui-se
assim, que a velocidade de deformação com que se
realiza o ensaio de tracção conduz a diferentes
curvas tensão-deformação.
26
Efeito do Tempo
Outra observação importante que se verifica
nestes testes, é que, realizando-se o ensaio a
uma taxa de deformação finita, e portanto numa
situação dinâmica, se se parar no ponto A,
verifica-se que o estado de deformação tende, com
o tempo, para o ponto A?, mantendo-se contudo o
mesmo nível de tensão. Quando o ponto A? é
atingido a velocidade de deformação é
aproximadamente nula, isto é, entre o ponto A e o
ponto A? a velocidade de deformação sofreu uma
variação, cuja lei pode seguir a curva do gráfico
da Fig.
27
Efeito do Tempo
Em certos metais, a dependência da deformação
plástica com a velocidade de deformação pode ser
razoavelmente quantificada por 24 ,
em que o expoente r depende da deformação
plástica e da temperatura. No quadro seguinte
apresentam-se vários valores de r para um ensaio
de compressão realizado à temperatura ambiente
21.
Metal Valores de r para as seguintes reduções em altura Valores de r para as seguintes reduções em altura Valores de r para as seguintes reduções em altura
Metal 10 30 50
Alumínio 0,013 0,018 0,020
Cobre 0,001 0,002 0,010
28
Efeito da Pressão, Humidade e Temperatura
O expoente r, definido anteriormente, de modo a
quantificar a dependência da deformação plástica
com a velocidade de deformação é ainda função da
temperatura, como se mostra no quadro seguinte
21.
Metal Temperatura (ºC) Valores de r para as seguintes reduções em altura Valores de r para as seguintes reduções em altura Valores de r para as seguintes reduções em altura
Metal Temperatura (ºC) 10 30 50
Alumínio 18 0,013 0,018 0,020
Alumínio 350 0,055 0,073 0,088
Alumínio 550 0,130 0,141 0,155
Cobre 18 0,001 0,002 0,010
Cobre 450 0,001 0,008 0,031
Cobre 900 0,134 0,154 0,190
Aço 930 0,088 0,094 0,105
Aço 1200 0,116 0,141 0,196
29
Definição de Fluência
Considere-se a curva tensão-extensão representada
no gráfico da Fig. em que, quando se atinge o
ponto A da curva localizado na região plástica, a
carga é mantida constante. Observa-se que a
deformação aumenta de A para B e o seu valor
depende do tempo de permanência da tensão
constante. Quanto maior for o tempo de
permanência da tensão constante, maior será o
alongamento verificado. O fenómeno acabado de
descrever é conhecido por fluência (creep) 22 e
para certos materiais pode até ser verificado à
temperatura ambiente.
30
Curvas de Fluência
Considerando a extensão de fluência ( ) como a
extensão total menos a inicial (em que se aplicou
a tensão), obtém-se tipicamente para os metais
uma das curvas representadas na Fig. 24. Na
curva de fluência típica (a traço interrompido) é
possível distinguir três estágios correspondentes
a fluência primária, secundária e terciária.
Para baixas temperaturas e tensões apenas é
visível o estagio de fluência primário,
verificando-se um valor limite.
31
Lei da Potência em Fluência
Para elevadas temperaturas e tensões a fluência
primária mostra uma dependência logarítmica ou
potencial de acordo com uma das seguintes leis
24
em que ? toma valores entre 0 e 1, designando-se
por lei de fluência de Andrade para ?1/3.
Segundo Nadai 29, a fluência descrita pela lei
da potência pode ser obtida a partir duma fórmula
que relaciona a tensão, a deformação de fluência
( ) e a velocidade de deformação de fluência (
)
em que C, n e r dependem da temperatura
32
Lei de Bailey-Norton
A fluência terciária é normalmente considerada
como resultante de modificações ao nível
estrutural acompanhada de perda de resistência e,
eventualmente, de rotura. Segundo Lubliner 24,
para um metal submetido a elevadas temperaturas e
tensões pode-se considerar como característica
desse metal a taxa de fluência mínima. Por outro
lado, a dependência dessa taxa de fluência
mínima, para uma dada temperatura, pode ser
aproximada por uma lei exponencial para um
elevado estado de tensão, ou, para um estado de
tensão reduzido, por uma função potencial do
tipo
Esta relação é normalmente conhecida pela lei de
Bailey-Norton 24, verificando-se que a
expressão de Nadai descreve esta mesma lei
tomando n0 e r1/q.
33
Deformação de Fluência em função do Tempo
Uma aproximação utilizada para o cálculo da
deformação de fluência como função do tempo e
para uma dada temperatura é a seguinte
em que é a velocidade de fluência mínima, e
é um valor fictício definido pela
intercepção da recta tangente à curva de fluência
num ponto pertencente à zona em que a taxa de
fluência é estacionária.
34
Modelo de Bingham
Para muitos materiais e a diferentes
temperaturas, a deformação inelástica é
insignificante quando o nível de tensão é
inferior à tensão de cedência. Um modelo simples
que descreve este efeito é o modelo de Bingham
em que ? representa a viscosidade do metal e
representa o estado de tensão instalado.
Deve-se ainda observar que o modelo de Bingham
acabado de descrever representa de facto o modelo
mais simples apresentado pela teoria da
viscoplasticidade.
35
Dependência da Tensão de Cedência com a
Temperatura
Os trabalhos experimentais demonstraram que nos
ensaios de tracção realizados a temperaturas
superiores à temperatura ambiente se obtêm
valores diferentes, quer para as constantes
elásticas, quer para as propriedades de
resistência, dos obtidos à temperatura ambiente.
Por exemplo, os aços ao carbono revelam um
aumento da resistência à tracção para
temperaturas até 300ºC a partir da qual a
resistência à tracção desce cerca de 50 até
temperaturas da ordem de 500 a 600ºC. De um modo
geral, para os metais, verifica-se um decréscimo
da tensão de cedência com o aumento da
temperatura 6
36
Combinação de Efeitos
Para os metais, a tensão de escoamento é
simplesmente a tensão de cedência para o estado
uniaxial de tensão, expresso como uma função da
temperatura, do estado de deformação, da
velocidade de deformação e da microestrutura.
Genericamente, também é referida como a tensão
efectiva ou tensão equivalente representando um
estado triaxial de tensões. Assim, pode-se
escrever
em que , é a tensão efectiva, é a
deformação efectiva, é a velocidade de
deformação efectiva, T é a temperatura e,
reflecte a estrutura metalúrgica do material
37
Função de Sellars-Tegart
Existem de facto algumas expressões cujo
objectivo é determinar a influência que cada um
dos termos atrás referidos provoca no valor da
tensão de cedência. Uma das funções, baseada na
equação de Arrhenius 24, foi proposta por
Sellars-Tegart 2337, permitindo analisar a
influência da temperatura e da taxa de deformação
em simultâneo
em que Z é o parâmetro de Zener-Hollomon, Q
representa uma energia de activação do escoamento
plástico, normalmente independente da temperatura
e em muitos casos independente do estado de
deformação, R é a constante de Boltzmann (8,314
J/molºK) e T é a temperatura em ºC.
38
Relação Tensão Efectiva Deformação efectiva
e velocidade de Deformação
Outra função para a tensão de cedência e que,
contrariamente à de Sellars-Tegart, tem em
consideração o estado de deformação, através da
deformação efectiva , é a seguinte 3738
Os parâmetros Ai e mi diferem de acordo com o
tipo de metal. Por exemplo, para o aço inoxidável
tomam os seguintes valores 17
39
Relação de ALSPEN
Existem ainda outras expressões que tentam
combinar os vários efeitos que os diferentes
parâmetros possam provocar nas características de
resistência, e que foram estabelecidas para um
determinado tipo de metais, como por exemplo a
expressão de ALSPEN, que é adequada para as ligas
de alumínio 12
em que ?0 é uma função dependente da deformação
efectiva, e os coeficientes c, m e n são funções
não lineares dependentes da temperatura.
40
Carregamento-Descarregamento
O comportamento elasto-plástico é caracterizado
por uma resposta do material, inicialmente
elástica e, a partir de um determinado nível de
tensão, por um comportamento essencialmente
plástico. O comportamento plástico do material é
geralmente acompanhado por uma invariância do seu
volume
41
Modelos Elasto- perfeitamente Plástico e
elasto-plástico com endurecimento.
42
Modelo Unidimensional
Na Fig. mostra-se o modelo reológico
unidimensional. Aplica-se uma força (tensão ?),
que provoca um alongamento do modelo (?l), cujo
resultado pode ser aferido pela extensão causada
que comporta uma componente elástica e, uma
componente plástica
43
Relação Tensão Deformação
O comportamento do material, isto é, a extensão
causada pelo carregamento é elástica até um
determinado ponto, denominado limite elástico (e
a tensão que o provoca tensão limite elástico ou
tensão de cedência - ), após o qual, o
material apresenta deformação plástica. No modelo
da figura, o comportamento linear elástico é
caracterizado pela constante elástica da mola E
traduzindo-se matematicamente pela expressão
A deformação plástica inicia-se quando a tensão
aplicada atinge o valor da tensão de cedência (
). O modo como se estabelece esse valor da
tensão aplicada, de modo a compará-lo com a
tensão de cedência, denomina-se critério de
cedência. Na modelo considerado, a tensão de
cedência corresponde ao atrito entre as placas.
44
Variação da Tensão de Cedência
Atingida a tensão de cedência, este valor pode,
ou não, manter-se constante com o aumento de
deformação. Se esse valor não depender do aumento
da extensão plástica, diz-se que o material tem
um comportamento perfeitamente plástico. Se, pelo
contrário, o valor da tensão de cedência,
aumentar com o crescimento da extensão plástica,
diz-se que o material está a sofrer um
encruamento.
45
Tensor das Deformações
Começa-se por considerar formulações
elasto-plásticas considerando pequenas
deformações. De acordo com a teoria da
elasticidade para as pequenas deformações, tem-se
o Tensor das Deformações definido do seguinte
modo
em que é o gradiente dos deslocamentos,
e a sua parte simétrica.
46
Lei da decomposição Multiplicativa
47
Decomposição Aditiva
Extensão Total
48
Gradiente de Deformação e Tensor das
Deformações
Fazendo coincidir a primeira fase com o domínio
elástico, vindo a segunda fase a ocorrer no
domínio plástico, ter-se-á formalmente para o
Tensor das Deformações e, e para o gradiente de
deformação, F
49
Comportamento Elasto-plástico
Numa formulação elasto-plástica envolvendo
pequenas deformações, decompoe-se o Tensor das
Deformações numa componente elástica e, numa
componente plástica, pelo que se torna
conveniente estabelecer modelos matemáticos, que
traduzam os fenómenos físicos da elasticidade e
da plasticidade, separadamente. O comportamento
elástico é descrito pela teoria da elasticidade,
importando agora definir o modelo matemático para
a componente plástica das deformações. Com esse
objectivo, três aspectos devem ser
considerados i) Um critério de cedência
indicando o nível de tensão, em termos do tensor
das tensões, de modo a analisar-se o início da
plastificação ii)Uma lei de encruamento,
descrevendo, se e como, o critério de cedência
depende do grau de deformação plástica, depois de
se iniciar a plastificação iii)Uma regra de
escoamento, definindo a relação entre tensão e
deformação pós-plastificação, comportando a
deformação total, as componentes elástica e
plástica.
50
Funções de Cedência
O aparecimento do comportamento plástico é
condicionado por um critério de cedência, que na
sua forma mais geral, pode ser formulado do
seguinte modo
em que a indica um conjunto de variáveis de
endurecimento e s é o tensor das tensões. Para
um material isotrópico, em que a cedência
plástica dependa unicamente da grandeza das
tensões principais, e nunca das suas orientações
no espaço das tensões, a função escalar F
torna-se apenas dependente de um valor escalar,
conhecido por parâmetro de encruamento a.
em que f (s) é a função de cedência
51
Espaço de Westergaard
A função de cedência pode tomar várias formas
analíticas com representação geométrica no espaço
distintas. Tratando-se de uma função de tensão
pode assumir-se como espaço para a respectiva
representação geométrica, o espaço de tensões de
Westergaard 3, em que três eixos mutuamente
ortogonais são coincidentes com as direcções
principais de tensão
52
(No Transcript)
53
Invariantes das Tensões de Desvio
54
Projecção de duas superfícies de cedência
no plano do desviador.
Outra forma de representação geométrica da
superfície de cedência é através das projecções
ortogonais dos eixos das tensões no plano normal
a OO?.
Na figura encontram-se representadas duas
superfícies de cedência uma corresponde, no
espaço das tensões principais, a um cilindro
outra, no mesmo espaço, corresponde a um prisma.
O plano de corte dos objectos geométricos, e que
coincide com o plano do papel designa-se plano do
desviador.
55
Função de Cedência
Atendendo a
56
Condição de ortogonalidade no espaço das
tensões ?1-?2
57
Condição de ortogonalidade no espaço das
tensões ?1-?2
58
Critério da Tensão Principal Máxima
Ou em termos dos invariantes
59
Critério de Tresca
Este critério, postulado por Tresca em 1864 ,
baseado em resultados experimentais, admite por
hipótese, que a deformação plástica num ponto
material, ocorre sempre que a tensão tangencial
máxima atinge um determinado valor limite.
em que Y(?) é uma função característica do
material obtida com base no ensaio de tracção
uniaxial, e que depende da deformação plástica.
60
Representação gráfica das superfícies
de cedência de Tresca e von Mises
Graficamente, as expressões anteriores definem,
no espaço das tensões principais, um prisma
hexagonal regular e infinitamente longo, cujo
eixo é perpendicular ao plano do desviador, ?,
representado pela equação
Função de Tresca em Termos dos Invariantes
61
Critério de Mohr-Coulomb Pirâmide Hexagonal
O critério de Mohr-Coulomb é utilizado para
representar o comportamento dos materiais
granulosos dotados de atrito interno, tendo-se no
entanto verificado que estes materiais atingem em
geral um estado de cedência plástica à tracção
antes de se ter atingido a superfície de
Mohr-Coulomb.
Com o objectivo de ter em conta estes resultados,
Prandtl propôs em 1921 uma superfície de cedência
obtida a partir da de Mohr por substituição do
vértice da pirâmide por uma superfície
parabólica, conhecida por superfície de cedência
de Mohr-Prandtl e que se pode representar
matematicamente pela seguinte função
62
Energia de Deformação Elástica por unidade
de Volume
Dilatação média
Deformação de Desvio
63
Critério de Beltrami
Beltrami apresentou em 1885 um critério de
cedência que estabelece para o início da
deformação plástica o estado de tensão que
corresponde a um valor crítico da energia de
deformação elástica por unidade de volume
Este valor crítico pode ser obtido para uma
estado de tensão uniaxial, resultante do ensaio
de tracção
ou
No espaço de Westergaard esta condição de
cedência representa-se por uma superfície
elíptica com simetria circular em relação ao eixo
hidrostático.
64
Critério de von Mises
Von Mises formulou um critério de cedência em
1913, sugerindo que a cedência ocorre quando o
segundo invariante das tensões de desvio atinge
um valor crítico
em que , dependente do parâmetro de
endurecimento (?) é o raio da superfície de
cedência.
65
Representação das projecções das
superfícies de Tresca e de von Mises.
66
Interpretação do Critério de von Mises
Existem duas interpretações físicas possíveis
para o critério de von Mises. Uma, dada por Nadai
(em 1937), que introduziu o conceito de tensão de
corte octaédrica, , que é a
tensão de corte nos planos do octaedro regular,
cujos vértices coincidem com os eixos principais
de inércia. Outra interpretação, dada por Hencky
(em 1924), mostra que a cedência ocorre quando a
energia elástica de distorção atinge um valor
crítico.
67
Critério de Drucker-Prager(cone de revolução)
Ainda para aplicação ao comportamento de
materiais granulosos dotados de atrito interno
existe uma outra função de cedência utilizada com
alguma frequência e que corresponde à superfície
de cedência de Drucker-Prager cuja expressão
matemática é a seguinte
em que os coeficientes e são constantes do
material e que dependem do ângulo de atrito
interno (?) e da coesão (c)
68
Critério de Green
Para materiais com fendas interiores ou materiais
porosos, Green apresentou uma superfície de
cedência que é função do coeficiente de
porosidade do material
69
Regra de Encruamento
A regra do encruamento estabelece as condições
para que um novo escoamento plástico possa
ocorrer, depois de se ter atingido o estado
plástico do material. Esta situação verifica-se
em virtude da superfície de cedência poder sofrer
contínuas alterações à medida que se dá o
escoamento plástico
Na expressão
70
Variáveis de Encruamento
71
Variáveis de Encruamento
72
Modelos de Encruamento (I)
Encruamento isotrópico para o caso bidimensional
73
Modelos de Encruamento (II)
Encruamento Cinemático para o caso Bidimensional
Este modo de encruamento, apresentado
inicialmente por Prager, surgiu com o objectivo
de modelar um fenómeno bem visível
experimentalmente, o efeito de Bauschinger, muito
corrente em materiais sujeitos a regimes de
carregamento cíclico
74
Modelos de Encruamento (III)
Encruamento Distorcional para o caso
Bidimensional
75
Variáveis no Encruamento Isotrópico e
cinemático
76
Função de Cedência Encruamento Isotrópico e
Cinemático
Encruamento Isotropico
Encruamento Cinemático
com
77
Curva tensão-deformação de um ensaio de
tracção uniaxial
Tendo em atenção novamente o ensaio de tracção,
mostra-se na Fig. uma curva típica de um ensaio
de tracção dum provete metálico
A curva resulta das medidas de e , em que
o índice 1 indica a direcção para a primeira
direcção principal
78
Ensaio de Tracção
79
Ensaio de Tracção
80
Teorias do Escoamento Plástico
81
Postulado de Drucker
Ilustração para um modelo uniaxial
82
Postulado de Drucker
83
Postulado de Drucker
84
Postulado de Drucker
85
Postulado da Dissipação Plástica Máxima
Para um estado de Tensão uniaxial pode escrever-se
86
Normalidade do vector incremento de
deformação
Para que o produto interno possa ser válido para
um estado de tensão elástico inicial arbitrário,
o vector correspondente ao incremento de
deformação plástica , deve ser normal ao plano
tangente à superfície e com o sentido a apontar
para fora da superfície. A descrição acabada de
descrever é conhecida como a regra da normalidade
87
Convexidade da superfície de cedência
No entanto, como se pode verificar na se o estado
de tensão inicial se encontrar do outro lado do
plano tangente a inequação é violada. Deste modo,
toda a região elástica se encontra do mesmo lado
do plano tangente, pelo que se pode concluir que
a superfície de cedência é convexa.
A regra da normalidade, bem como a conclusão
acerca da convexidade da superfície de cedência
são consideradas propriedades consequentes do
postulado da dissipação plástica máxima.
88
Potencial Plástico e Regra de Escoamento
89
Potencial Plástico e Regra de Escoamento
90
Trabalho de Deformação Plástica
Donde
Tendo em conta
Obtém-se
91
(No Transcript)
92
(No Transcript)
93
Lei Associativa e Lei não Associativa
Note-se que, para outros materiais, como por
exemplo, em solos, a aplicação de regras de
escoamento plástico fazendo uso da lei não
associativa em simulações numéricas, conduz a
resultados mais realistas.
94
Plasticidade Anisotrópica
Em processos tecnológicos relacionados com a
conformação em chapa, considere-se a direcção de
rolamento (RD) e a direcção transversal à
direcção de rolamento, ou simplesmente direcção
transversal (TD). As propriedades Mecânicas podem
ser distintas.
Direcções de Anisotropia
95
Critério de Hill
Tensão Equivalente
96
Incremento de Deformação Plástica
Fazendo uso da lei associativa, tomando portanto
para potencial plástico a própria função de
cedência e utilizando a expressão anterior para
a regra de escoamento, obtém-se para os
incrementos de deformação plástica (segundo as
três direcções principais)
Resultando para uma estrutura tipo casca e
tomando posteriormente
97
Provetes para ensaios Experimentais
Os valores associados às constantes do material
F,G, e H terão que ser determinados
experimentalmente. sendo as constantes
determinadas de forma indirecta, por recorrência
à condição de normalidade, e em que são
determinados os cocientes entre extensões obtidas
em ensaios de tracção. Para o efeito são
efectuados provetes a partir da própria chapa
como se mostra na Fig.
98
Coeficientes de Anisotropia
Tomando um provete cuja direcção longitudinal
coincida com a direcção RD (provete A na Fig.),
define-se coeficiente de anisotropia (R) segundo
a direcção RD como sendo
Para um provete cuja direcção longitudinal
coincida com a direcção TD (provete B),
coeficiente de anisotropia segundo a direcção TD
vale
99
Coeficientes de Anisotropia
100
Coeficientes de Hill
A relação entre os coeficientes de anisotropia,
e , e as constantes do material presentes
no critério de Hill (F,G e H) pode ser obtida com
base no ensaio de tracção e recorrendo às
expressões que definem as deformações plásticas.
Para o caso em que o provete é executado de modo
a que seja esticado (por aplicação de uma tensão
de tracção ) segundo a direcção RD tem-se
101
Coeficientes de Hill
102
Modelo Constitutivo Elasto-Plástico
Gradientes da função de cedência e do potencial
plástico,
103
Modelo Constitutivo Elasto-plástico
Estado de Tensão
104
Modelo Constitutivo Elasto-plástico