Fondamenti di Automatica

1
Fondamenti di Automatica

• Luigi Chisci, Università di Firenze
• CdL Ingegneria dellInformazione
• CdL Ingegneria dellAmbiente e delle Risorse
• Prato, A.A. 2003-2004

2
Automatica

• Automatica settore scientifico disciplinare con
  competenze di sistemistica (modellistica
  matematica di sistemi reali), controllistica
  (metodologie per la soluzione di problemi di
  controllo), automazione e robotica (supervisione
  e coordinamento di macchine e impianti
  finalizzati alla realizzazione di processi
  produttivi).
• Fondamenti di Automatica
• elementi di sistemistica (modellistica,
  simulazione e analisi di sistemi dinamici)
• elementi di controlli automatici (analisi e
  sintesi di sistemi di controllo a retroazione)

3
Cosa è lAutomatica ?

• Automatico che può funzionare senza lintervento
  di un operatore umano
• Automatica complesso di discipline che
  forniscono strumenti per la progettazione e la
  realizzazione di sistemi automatici, ad esempio
• pilota automatico di un velivolo (veicolo,
  natante) commerciale
• climatizzatore di un ambiente, edificio, serra
• sistema automatizzato di produzione industriale
  (carta, tessuti, prodotti alimentari, circuiti
  integrati, prodotti chimico-farmaceutici e
  petrolchimici, pezzi meccanici etc.)
• sistema per la depurazione delle acque o per lo
  smaltimento dei rifiuti
• controllo di livello di un fiume (lago, serbatoio
  idrico etc.)

4
Problemi di controllo

• Nella conduzione di apparati ingegneristici di
  varia natura emergono numerosi problemi di
  controllo
• Problema di controllo si desidera che certe
  variabili del sistema di interesse si comportino
  nel modo desiderato corrispondente ad un
  funzionamento corretto e ottimale del sistema
• Esempi di problemi di controllo
• controllo di temperatura (forno, ambiente,
  reattore nucleare etc.)
• controllo di pressione (cabina pressurizzata,
  reattore nucleare etc.)
• controllo di velocità (motore elettrico, veicolo
  etc.)
• controllo di posizione (raggio laser, antenna,
  radar, telescopio, manipolatore robotico etc.)
• controllo di forza (manipolatore robotico)
• controllo di livello (serbatoio idrico, lago,
  fiume etc.)
• controllo di concentrazione (processo chimico)
• controllo di portata
• controllo di tensione (generatore elettrico,
  alimentatore, convertitore etc.)

5
1. ELEMENTI COSTITUTIVI DI UN PROBLEMA DI
CONTROLLO
d
P
u
z
y

• SISTEMA SOTTO CONTROLLO, P (Processo)

u variabili di controllo (manipolabili) d
disturbi (non manipolabili)

• variabili di ingresso
• variabili di uscita

z variabili controllate y variabili misurate

• COMPORTAMENTO DESIDERATO

• z(t) r(t)

( r riferimento uscita desiderata )
6
Sistema di Controllo
Obiettivo z(t) ? r(t) ovvero e(t) r(t) - z(t)
? 0
disturbi d
variabili controllate z
Processo
variabili misurate
variabili di controllo
Controllore automatico
u
y
Attuatori
Sensori
disturbi di misura v
riferimento r
7
ESEMPIO

• Controllo della temperatura in un ambiente
  riscaldato ad aria

P(a)
Te
Ti, a
T
Ta

• z T (temperatura media dellambiente)
• u a (apertura della serranda che regola
  la portata dellaria immessa a temperatura Ti)
• d Te (temperatura esterna)
• y Ta (temperatura aria estratta)
• r 20C (temperatura desiderata)

8
2. SISTEMI DI CONTROLLO
2.1. CONTROLLO AD ANELLO APERTO
Le variabili di ingresso del controllore,
utilizzate per generare il comando, sono
indipendenti dal comando stesso

• ESEMPI

d
C
P
r
u
z

• P impianto ( sensore (S) )
• C controllore ( attuatore )

9
2.2.CONTROLLO AD ANELLO CHIUSO (O A RETROAZIONE)
Le variabili di ingresso del controllore,
utilizzate per generare il comando, sono
influenzate dal comando stesso

• ESEMPI

d
d
C
P
r
u
z
C
P
r
u
z
y

• P impianto ( sensore )
• C controllore ( attuatore )

10
3. ANELLO DI CONTROLLO
d

C
P
u
r
zy
e
_

• Lazione di controllo u dipende dallentità
  dellerrore

Sistema di controllo
d
e
r

• Specifiche di controllo

• adeguata precisione (statica e dinamica)
• adeguata stabilità (incertezza)

11
4. ESEMPIO SISTEMA DI CONTROLLO
4.1. Controllo del livello di un serbatoio
q
q portata volumetrica di fluido allinizio della
condotta h livello del serbatoio qi portata
volumetrica di fluido in ingresso al
serbatoio qu portata volumetrica di fluido in
uscita dal serbatoio
12
RegolatoreAttuatoreValvole
condotta
serbatoio
z

r
u
C
P1
P2
-
Impianto sotto controllo, P
S
galleggiante

• Il ritardo T dipende dalla lunghezza e dalla
  sezione della condotta e dalla portata nominale
  del fluido
• Il guadagno K e la costante di tempo ? del
  serbatoio dipendono dalla superficie a pelo
  libero e di uscita del sebatoio e dalla portata
  nominale del fluido

rh zh uq
P1(s) exp(-sT)
P2(s) K/(1ts)
13
4. CONTROLLO DI PROCESSO

• Problema regolare la temperatura Tu in uscita
  dalla tubazione agendo sulla portata di
  ingresso wi dello scambiatore
• wi portata di fluido in ingresso allo
  scambiatore
• Ti, To temperatura del fluido in ingresso e
  alluscita dello scambiatore
• Hi, Ho entalpie del fluido in ingresso e
  alluscita dello scambiatore
• Tu temperatura del fluido in uscita dalla
  tubazione adiabatica di lunghezza l
• Q flusso termico assorbito dal fluido nello
  scambiatore

14
Tu variabile controllata (e misurata) (z) Tu
temperatura di uscita desiderata (z) Q, Ti
disturbi agenti sul processo (d) wi variabile di
controllo (u) T0 variabile ausiliaria misurata
15
5. COMPONENTI DEI SISTEMI DI CONTROLLO

• Componenti base

• Altri componenti

• Sistemi di comunicazione fra unità di controllo,
  sensori e attuatori
• Interfaccia uomo-macchina per interazione con
  operatore)

• Dispositivi di misura (sensori)
• Unità di elaborazione (controllo)
• Dispositivi di attuazione (attuatori)

16
MODELLI MATEMATICI (LINEARI STAZIONARI)
Dny a1Dn-1y . any b0Dnu b1Dn-1u
bnu
dky
Dky
dtk
G(s)
y
u
b(s)

b0sn b1sn-1 bn-1s bn
a(s)
G(s)

sn a1sn-1 an-1s an
s variabile di Laplace
17
SISTEMI ELETTRICI
CIRCUITI R-L-C OP AMP
R
i
RESISTORE v R i INDUTTORE v
L di/dt CONDENSATORE i C dv/dt
-

L
i

-

C
i
o
o

-
i2
v
v1
o
-
AMPLIFICATORE IDEALE v1 v2 i1 i2 0
o
v2
o

i1
18
SISTEMI ELETTRICI
v R i
v R i v L di/dt sostituendo d/dt con
s v sL i i C dv/dt
v i
1
sC
v Z(s) i

R RESISTORE sL
INDUTTORE 1/sC CONDENSATORE
IMPEDENZA GENERALIZZATA
Z(s)
19
ESEMPI ELETTRICI
R
y/u G(s) 1/(1ts) t RC (costante di tempo)


u
C
y
-
-
y
wn
2
R
L

u
2
s2 2 d wn s wn

u
C
wn
2
1/LC ,
2 d wn R/L
d fattore di smorzamento wn pulsazione
naturale
20
R2
R1


C1
u
C2
y
-
-
21
SISTEMI MECCANICI (DI TRASLAZIONE)
M
MASSA F M dv/dt
v dx /dt MOLLA F K (x1 -
x2) SMORZATORE F B (v1 - v2)
F
x
K
F
F
x1
x2
B
F
F
o
o
x1
x2
22
ESEMPI MECCANICI (DI TRASLAZIONE)
B
Ingresso forza u Uscita velocità y
dx/dt F.d.T. G(s) y/u G 1/B, t M/B
M
u
x
G
1 ts
K
M
u
B
Ingresso forza u Uscita posizione y x
x
G0 wn
2
G(s)
G0 1/K, 2dwn B/M, wn K/M
2
s2 2 d wn s wn
2
23
SISTEMI MECCANICI (DI ROTAZIONE)
INERZIA T J dw/dt
w dq /dt MOLLA T K (q1 -
q2) TORSIONALE SMORZATORE T B (w1 -
w2) TORSIONALE
J
q
T
K
q1
q2
T
B
o
o
q1
q2
T
24
SISTEMI MECCANICI (DI TRASLAZIONE)
v Z(s) F x v/s Z(s)/s F
v velocità, F forza, x posizione Z(s)
IMPEDENZA MECCANICA

1/sM MASSA s/K MOLLA 1/B
SMORZATORE
Z(s)
25
SISTEMI MECCANICI (DI ROTAZIONE)
w Z(s) T q w /s Z(s)/s T
w velocità angolare, T coppia, q posizione
angolare Z(s) IMPEDENZA MECCANICA (DI
ROTAZIONE)

1/sJ INERZIA s/K MOLLA TORSIONALE
1/B SMORZATORE TORSIONALE
Z(s)
26
ANALOGIE ELETTRO-MECCANICHE
27
MOTORE IN CONTINUA ( MODELLO PER IL CONTROLLO DI
ARMATURA )
Ingresso u vapp (tensione di armatura) e vemf
( fem indotta ) i
( corrente di armatura ) T t
( coppia applicata allalbero
motore ) R, L ( resistenza,
induttanza, di armatura ) J
( momento dinerzia albero motore ) B Kf
( coeff. attrito viscoso )
28
MOTORE IN CONTINUA ( MODELLO PER IL CONTROLLO DI
ARMATURA )
L di/dt R i u - e ( eq.ne elettrica ) e Ke
w ( fem indotta ) J dw/dt
B w T ( eq.ne meccanica ) T Km i
( coppia indotta ) Ke, Km
costanti del motore

29
MOTORE IN CONTINUA ( MODELLO PER IL CONTROLLO DI
ARMATURA )
CONTROLLO DI VELOCITA y w G(s)
y/u
G0 wn
2

s2 2 d wn s wn
2
2dwnR/L B/J wn(KeKmBR) / LJ G0Km /
(KeKmBR)
2
30
MOTORE IN CONTINUA ( MODELLO PER IL CONTROLLO DI
ARMATURA )
CONTROLLO DI POSIZIONE y q G(s)
y/u
G0 wn
2

s (s2 2 d wn s wn)
2
2dwnR/L B/J wn(KeKmBR) / LJ G0Km /
(KeKmBR)
2
31
MOTORE IN CONTINUA ( MODELLO PER IL CONTROLLO DI
ARMATURA )
MODELLO SEMPLIFICATO L0 w/u G0 /
(1ts), q/u G0 / s (1ts)


G0 Km / (BRKmKe) guadagno in continua t
JR / (BR KmKe) costante di tempo
32
ANALISI NEL TEMPO DI UN SISTEMA LINEARE
STAZIONARIO
G(s)
y
u
Problema di analisi della risposta date
condizioni iniziali y(0), Dy(0),,Dn-1y(0) e
landamento temporale u(t), 0 t, determinare
la risposta y(t), 0 t . Commento occorre
risolvere leq.ne diff.le y(t) G(D) u(t)
rispetto a y(t).
33
SISTEMA DEL PRIMO ORDINE
G(s)G0/(1ts)
y
u
Eq.ne diff.le t dy/dt y G0u
Condizione iniziale y(0) Ingresso (gradino)
u(t) u se t ? 0
u(t) 0 se t lt 0 Soluzione (risposta y(t) (
y(0)-G0u ) e-t/t G0u al gradino)
34
SISTEMA DEL PRIMO ORDINE
35
SISTEMA DEL PRIMO ORDINE
La risposta, partendo dal valore iniziale
y(0), tende asintoticamente al valore di
regime y(?) G0u, dove G0 è il guadagno in
continua e u è lingresso costante, con una
rapidità che dipende dalla costante di tempo t
. In particolare, luscita è al 95 della sua
escursione per un tempo t 3t.
36
SISTEMA DEL SECONDO ORDINE
G(s)b/(s2 a1s a2)
y
u
Eq.ne diff.le D2y a1 Dy a2y bu
Condizioni iniziali y(0), Dy(0) Ingresso
(gradino) u(t) u se t ? 0
u(t) 0 se t lt 0
37
SISTEMA DEL SECONDO ORDINE
G(s)b/(s2 a1s a2)
y
u
Soluzione (risposta) y(t) c1 exp(p1t) c2
exp(p2t) G0 u G0 b/ a2 guadagno in
continua p1 , p2 poli di G(s), soluzioni
delleq.ne algebrica a(s) s2 a1s
a2 0 c1 , c2 dipendono da y(0), Dy(0), u
38
SISTEMA DEL SECONDO ORDINE
a(s)
2
s2 2 d wn s wn
s2 a1s a2
Poli p -dwn /- wn (d2 -1)1/2
Si distinguono tre casi (1) d gt 1 poli
reali distinti (2) d 1 poli
reali coincidenti (3) d lt 1 poli complessi
coniugati Casi (1) e (2) comportamento simile ai
sistemi del primo ordine Caso (3) comportamento
oscillatorio
39
CASO SOVRASMORZATO d gt 1
40
CASO CRITICAMENTE SMORZATO d 1
41
CASO SOTTOSMORZATO 0 lt d lt 1
Risposta y(t) c e-st sen(wtf) G0u s dwn ,
w wn 1-d2 , G0 guadagno dc c, f
dipendono dalle c.i. y(0), Dy(0) e da u
La risposta tende al valore di regime G0u con
oscillazioni smorzate di pulsazione w
42
(No Transcript)
43
(No Transcript)
44
CASO SOTTOSMORZATO 0 lt d lt 1
45
(No Transcript)
46
(No Transcript)
47
(No Transcript)
48
(No Transcript)
49
(No Transcript)
50
(No Transcript)
51
Sistema del 2o ordine con zero negativo
52
Sistema del 2o ordine con zero negativo
53
Sistema del 2o ordine con zero negativo
54
Sistema del 2o ordine con zero positivo
negativo
55
Sistema del 2o ordine con polo aggiuntivo
56
Sistema del 2o ordine con polo aggiuntivo
57
GENERALIZZAZIONE SISTEMA DI ORDINE n
G(s)b(s)/a(s)
y
u
Eq.ne diff.le a(D)y b(D)u
Condizioni iniziali y(0),Dy(0),,Dn-1y(0) Ingres
so (gradino) u(t) u se t ? 0
u(t) 0 se t lt 0
58
RISPOSTA AL GRADINO DI UN SISTEMA DI ORDINE n
G(s)b(s)/a(s)
y
u
p1 , p2 , , pn poli di G(s), soluzioni
delleq.ne algebrica a(s)
sn a1sn-1 an-1s an 0 Per semplicità si
assume p1 ? p2 ? ? pn ? 0 Risposta y(t) c1
exp(p1t) c2 exp(p2t) cn exp(pnt) G0
u c1 , c2 , , cn dipendono da y(0),
Dy(0),,Dn-1y(0), u G0 b(0)/a(0) bn / an
guadagno in continua
59
RISPOSTA LIBERA DI UN SISTEMA DI ORDINE n
G(s)b(s)/a(s)
y
u0
Poli di G(s) p1 , p2 , , pn Per semplicità si
assume p1 ? p2 ? ? pn Risposta y(t) k1
exp(p1t) k2 exp(p2t) kn exp(pnt) k1 , k2
, , kn dipendono da y(0), Dy(0),,Dn-1y(0)
60
STABILITA
G(s)b(s)/a(s)
y
u
DEFINIZIONE Il sistema dicesi STABILE se la sua
risposta libera tende asintoticamente a zero
qualunque siano le condizioni iniziali cioè lim
y(t) 0 ? y(0), Dy(0),,Dn-1y(0)
t??
61
STABILITA
G(s)b(s)/a(s)
y
u
Poiché la risposta libera è y(t) k1 exp(p1t)
k2 exp(p2t) kn exp(pnt) dove k1 , k2 , ,
kn possono assumere valori arbitrari al variare
di y(0), Dy(0),,Dn-1y(0) il sistema è stabile se
e solo se i poli p1 , p2 , , pn di G(s) hanno
tutti parte reale negativa re(pi)
lt 0 per i1,2,,n
62
STABILITA
G(s)b(s)/a(s)
y
u
OSSERVAZIONE Se il sistema è STABILE, ad un
ingresso limitato corrisponde sempre unuscita
limitata, cioè il sistema non può mai esplodere
per effetto di un segnale di ingresso limitato.
63
COME VERIFICARE LA STABILITA
G(s)b(s)/a(s)
Sistema di ordine 1 a(s) s a1 stabile se e
solo se a1gt0 Sistema di ordine 2 a(s) s2 a1s
a2 stabile se e solo se a1gt0 e a2gt0 Sistema di
ordine n a(s) sn a1sn-1 an stabile solo
se a1gt0, a2gt0, , angt0 cioè se almeno uno dei
coefficienti ai ? 0 allora il sistema è
instabile, viceversa se tutti i coefficienti ai
gt0 non si può dire che il sistema è stabile
occorre determinare le radici di a(s)
y
u
64
VERIFICA DI STABILITA CASO ngt2
METODO 1 richiede luso del calcolatore si
determinano radici di a(s) con MATLAB a a1,
a2, , an roots(a) METODO 2 METODO DI
ROUTH-HURWITZ, richiede solo carta e matita
65
VERIFICA DI STABILITA CASO ngt2
Esempio a(s) s5 2s4 s3 s2 s 1 Verifica
con MATLAB a1 2 1 1 1 1 roots(a) -1.67
0.44j0.75 0.44-j0.75 -0.61j0.63
-0.61-j0.63 sistema instabile (2 poli con parte
reale positiva) sistema oscillatorio 2 coppie di
poli complessi coniugati
66
Esempio a(s) s5 2s4 s3 s2 s 1 Verifica
con ROUTH-HURWITZ s5 1 1
1 s4 2 1
1 s3 1/2 1/2 0 s2
-1 1 s1 1/2 s0
1 I coefficienti della colonna 1 non sono
tutti positivi sistema instabile
67
ANALISI ARMONICA (IN FREQUENZA) DI UN SISTEMA
LINEARE STAZIONARIO
G(s)b(s)/a(s)
y
u
Ingresso (armonica) u(t) A sen(wtf) A, f
ampiezza e fase dellarmonica In forma fasoriale
u(t) im ( U ejwt ), U A ejf Si vuole
determinare risposta armonica y(t) per arbitrarie
condizioni iniziali y(0), Dy(0),,Dn-1y(0)
68
ANALISI ARMONICA (IN FREQUENZA) DI UN SISTEMA
LINEARE STAZIONARIO
G(s)b(s)/a(s)
y
u
TEOREMA DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA La risposta
allingresso u(t) im ( U ejwt ) è della
forma y(t) c1exp(p1t)c2exp(p2t)
cnexp(pnt) im( Y ejwt ) dove c1 , c2 , , cn
dipendono da y(0), Dy(0),,Dn-1y(0), U Y G(jw) U
69
RISPOSTA TRANSITORIA E A REGIME PERMANENTE
G(s)b(s)/a(s)
y
u(t) A sen(wtf)
Risposta a regime permanente yrp(t) im( Y ejwt
) G(jw) A sin(wtf?G(jw)) è una armonica
della stessa pulsazione dellarmonica in ingresso
di AMPIEZZA G(jw) A FASE ?G(jw)
f Transitorio yT(t) c1exp(p1t)c2exp(p2t)
cnexp(pnt)
70
RISPOSTA TRANSITORIA E A REGIME PERMANENTE
G(s)b(s)/a(s)
y
u(t) A sen(wtf)
OSSERVAZIONE Se il sistema è stabile, il
transitorio si esaurisce asintoticamente cioè
dopo un tempo sufficientemente lungo rimane
quindi la sola risposta a regime.
71
RISPOSTA IN FREQUENZA
G(s)
u
y
G(jw), cioè G(s) valutata per sjw, prende il
nome di RISPOSTA IN FREQUENZA Nota che per ogni
pulsazione w, G(jw) è un numero complesso il cui
modulo G(jw) rappresenta il guadagno del
sistema alla pulsazione w e il cui argomento
(fase) ?G(jw) rappresenta lo sfasamento del
sistema alla pulsazione w.
72
MISURA DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA
Fissato w si applica al sistema un ingresso
armonico u di pulsazione w, di ampiezza A e
fase f note. Si attende che il sistema vada a
regime e si misurano ampiezza A e fase f
delluscita y. Allora G(jw) A / A (ampiezza
uscita / ampiezza ingresso) ?G(jw) f - f
(fase uscita - fase ingresso) Si ripete
lesperimento per vari valori di w
73
PROPRIETA RISPOSTA IN FREQUENZA
G(jw) G(jw) exp(j ?G(jw) ) re G(jw)
j im G(jw)
G(jw) G(-jw) ?G(jw) -
?G(-jw) re G(jw) re G(-jw) im G(jw) -
im G(-jw)
74
RAPPRESENTAZIONI DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA
DIAGRAMMI DI BODE (CARTESIANI) diagramma
delle ampiezze G(jw), in decibel, in
funzione di w diagramma delle fasi
?G(jw) , in gradi, in funzione di w su scala
logaritmica per w DIAGRAMMA DI NYQUIST
(POLARE) Curva descritta da G(jw) al variare
di w
75
G(s) 1 / (1ts)
76
(No Transcript)
77
DIAGRAMMI DI BODE DI G(s) G0
AMPIEZZA Retta orizzontale a 20
log10G0dB FASE Retta orizzontale a O se G0
gt0, a -180 se G0 lt0 VALORI IN
dB G0 G0dB
0.01 - 40
0.1 - 20
1/ ?2 - 3
1
0 ?2
3 2
6 10
20 100
40
78
DIAGRAMMI DI BODE DI G(s) 1/s
AMPIEZZA Retta con pendenza di -20 dB per
decade che attraversa 0 dB alla
pulsazione w1 FASE Retta
orizzontale a -90 ALCUNI VALORI w
G(w), in dB
0.01 40
0.1
20 1
0 10
- 20
100 - 40
79
DIAGRAMMI DI BODE DI G(s) GENERICA
OSSERVAZIONI (1) Se G(s) G1(s) G2(s) G3(s)???
i diagrammi di Bode di G(s) sono ottenuti
sommando i diagrammi di G1(s), G2(s), G3(s) ..
Poiché G1 G2 G3 ??? dB G1 dB G2
dB G3 dB ??? ? G1 G2 G3 ???
? G1 ? G2 ? G3 ??? (2) I diagrammi di
Bode di 1/G(s) sono ottenuti ribaltando rispetto
allasse delle ascisse i diagrammi di G(s)
poiché 1/GdB - G dB ?
1/G - ? G (3) Il diagramma di ampiezza di
G(s)1/(1-ts) è uguale a quello di G(s)
1/(1ts) il diagramma di fase di G(s) è
ottenuto ribaltando rispetto allasse delle
ascisse quello di G(s). (4) Come al punto (3)
vale per i diagrammi di G(s)wn/(s22dw sw2n)
G(s)wn / (s2-2dw swn)
2
2
2
80
DIAGRAMMI DI BODE DI G(s) GENERICA
Una generica f.d.t. G(s) può essere espressa
come prodotto di f.d.t. dei quattro tipi già
esaminati vale a dire G(s)
G1(s) G2(s) G3(s) ??? dove Gi(s) può essere dei
seguenti tipi (già esaminati) Gi(s) G0 Gi(s)
1/s Gi(s) 1/(1ts)
o Gi(s) 1ts Gi(s)
1/12d(s/wn)(s/wn)2 o Gi(s)12d(s/wn)(s/w
n)2
2
81
DIAGRAMMI DI BODE DI G(s) GENERICA
ESEMPIO Modello semplificato per il controllo di
posizione dellalbero di un motore dc G(s) G0 /
s (1ts) G0 10, t 1 Si ha G(s) G1(s)
G2(s) G3(s) con G1(s) 10 , G2(s)1/s ,
G3(s)1/(s1)
82
(No Transcript)
83
CONNESSIONE IN SERIE (IN CASCATA)
G1(s)
G2(s)
yy2
uu1
y1u2
y G2(s) G1(s) u G(s) u F.d.T. del sistema
serie G(s) prodotto delle f.d.t. dei
sottosistemi G1(s) e G2(s)
84
CONNESSIONE IN PARALLELO
y1
u1
G1(s)
y y1 y2
u

u2
G2(s)
y2
y G1(s) G2(s) u G(s) u F.d.T. del
sistema parallelo G(s) somma delle f.d.t. dei
sottosistemi G1(s) e G2(s)
85
CONNESSIONE IN RETROAZIONE
u
y1y
u1
G1(s)

y2
G2(s)
u2
y G1 u G2y G1u G1G2y y G1 / (1-G1
G2) u G u G(s) G1(s) / 1- G1(s)
G2(s) F.d.T. del sistema parallelo G(s)
f.d.t. del ramo diretto diviso per (1-f.d.t.
danello)
86
SISTEMA DI CONTROLLO A RETROAZIONE
d

C(s)
G(s)
r
y
e
u
_
Il sistema deve essere INTERNAMENTE STABILE nel
senso che se gli ingressi r e d sono
limitati, tutte le variabili interne del sistema
(e, u e di conseguenza tutte le altre) devono
rimanere limitate La stabilità interna deve
impedire che il sistema esploda per effetto di
ingressi limitati ed è quindi un requisito
necessario di un sistema di controllo
87
STABILITA INTERNA
d

C(s)
G(s)
r
y
e
u
_
F.d.t. del processo P G(s)b(s)/a(s)
del controllore C C(s)q(s)/p(s) danello
L(s)C(s)G(s)b(s)q(s) / a(s)p(s)
da r a e 1/(1L(s)) a(s)p(s) /
c(s) da r a u C(s)/(1L(s))
a(s)q(s) / c(s) da d a e -G(s)/(1L(s))
-b(s)p(s) / c(s) da d a u
1/(1L(s)) a(s)p(s) / c(s) c(s) a(s) p(s)
b(s) q(s) polinomio caratteristico
88
STABILITA INTERNA
d

C(s)
G(s)
r
y
e
u
_
Il sistema a retroazione in figura è internamente
stabile se e solo se il polinomio caratteristico
c(s)a(s)p(s)b(s)q(s)
ha tutte le radici con parte reale negativa.
89
CRITERIO DI NYQUIST
d
C(s)q(s)/p(s) G(s)b(s)/a(s)

C(s)
G(s)
r
y
e
u
_
Si indichi con L(s)C(s)G(s) la f.d.t.
danello del sistema in figura
c(s)a(s)p(s)b(s)q(s) il pol. caratteristico
Pa no. di poli di L(s) con parte reale
positiva Pc no. di radici di c(s) con
parte reale positiva N no. di giri del
diagramma di Nyquist di L(jw), in
senso orario, intorno al punto critico -1j0 Vale
la relazione N Pc - Pa Stabilità interna
? Pc 0 ? N -Pa
90
CRITERIO DI NYQUIST
d

C(s)
G(s)
r
y
e
u
_
Il sistema in figura è internamente stabile se e
solo se il diagramma di Nyquist di L(s) C(s)
G(s) non passa per il punto critico -1j0 e
compie intorno ad esso un numero di giri in senso
antiorario pari al numero di poli di L(s) con
parte reale positiva
91
COROLLARIO DEL CRITERIO DI NYQUIST
d

C(s)
G(s)
r
y
e
u
_
Assumendo che L(s)C(s)G(s) non ha poli con
parte reale positiva, il sistema in figura è
internamente stabile se e solo se il diagramma di
Nyquist di L(s) non passa per il punto critico
-1j0 e non lo contiene al suo interno.
92
MARGINI DI STABILITA
93
MARGINI DI STABILITA
Pulsazione di attraversamento a 0 dB
wf G(j wf) 1 (0 dB) Margine di fase
mf 180 ?G(j wf) Pulsazione di
attraversamento a -180 wg ? G(j wg)
- 180 Margine di guadagno mg 1 /
G(j wg) (mg)dB - 20 log10 G(j wg)
94
MARGINI DI STABILITA
OSSERVAZIONI (1) I margini di fase e di guadagno
misurano la distanza dallinstabilità del
sistema tanto più grandi sono mf e mg tanto
più il sistema è sicuro, lontano
dallinstabilità. (2) Valori indicativi per un
progetto soddisfacen- te dellanello di
controllo sono mf 40 ? 60
mg 4 ? 6 ( 12 ? 16 dB )
95
CRITERIO DI BODE
Se si assume che - la f.d.t. danello L(s) non ha
poli con parte reale positiva - il diagramma
di Bode di L(jw) attraversa alpiù una volta
gli 0 dB allora il sistema è internamente stabile
se e solo se mf gt 0 e KB gt 0
96
SPECIFICHE DI UN SISTEMA DI CONTROLLO

C(s)
G(s)
r
y
e
u
_
(1) STABILITA Lanello di controllo deve essere
internamente stabile (2) PRECISIONE Il
segnale errore e deve essere piccolo A REGIME
(PRECISIONE STATICA) ed IN TRANSITORIO
(PRECISIONE DINA_ MICA) (3) ROBUSTEZZA Le
specifiche di stabilità e precisione devono
essere soddisfatte a fronte di incertezze di
modello e disturbi
97
PRECISIONE STATICA (A REGIME)
y
L(s)C(s)G(s)
r
e

-
Per misurare la precisione a regime del sistema
si definiscono gli errori ek errore a regime
se il segnale di riferimento è r(t) tk /
k! per k0,1,2, e0 errore a regime al
gradino, o anche errore di posizione e1
lerrore a regime alla rampa, o anche errore di
velocità e2 lerrore a regime alla parabola,
o anche errore di accelerazione
98
ERRORI A REGIME
Come dipendono gli errori a regime ek
dalle caratteristiche dellanello di controllo
? Conviene scomporre la f.d.t. danello L(s)
come L(s) K L(s) /
sh dove L(s) ha guadagno in continua
unitario L(0)1 K è il guadagno danello h è
il numero di poli di L(s) in s0

99
ERRORI A REGIME
Ke
KL(s)
1/sh
e
r
La precisione statica dipende solo da h e
K Precisamente e0 e1 ???? eh-1 0 eh
1/(1K) se h0, eh 1/K se hgt0 eh1 eh2
???? ?

100
PRECISIONE A REGIME
Ke
e
r
KL(s)
1/sh
Il sistema in fig. in cui il n di
integratori presenti nellanello è uguale a h,
dicesi di tipo h Per un sistema di tipo h,
lerrore eh è finito ma non nullo gli errori
ei, ilth, sono nulli gli errori ei, igth, sono
infiniti

101
PRECISIONE A REGIME
ESEMPIO Specifiche di precisione statica -errore
a regime al gradino nullo -errore a regime alla
rampa non superiore all1 Lanello di controllo
deve avere - h1 integratore - K ? 100
102
PRECISIONE DINAMICA (IN TRANSITORIO)
Le specifiche di precisione dinamica
(comportamento in transitorio) possono essere
espresse in diversi modi (1) SPECIFICHE NEL
DOMINIO DEL TEMPO sulla risposta al gradino
dal segnale di riferimento r alluscita y
sovraelongazione, tem- po di salita, tempo
di assestamento (2) SPECIFICHE NEL DOMINIO DELLA
FREQUENZA AD ANELLO CHIUSO sulla risposta in
frequenza da r a y picco di risonanza,
banda passante a -3dB. (3) SPECIFICHE NEL
DOMINIO DELLA FREQUENZA AD ANELLO APERTO
sulla risposta in frequenza della f.d.t. danello
L(jw) margini di fase e di guadagno e
relative pulsazioni di attraversamento
103
SPECIFICHE NEL DOMINIO DEL TEMPO
104
SPECIFICHE NEL DOMINIO DEL TEMPO
Tempo di salita ts tempo necessario affinchè
luscita raggiunga per la prima volta il valore
di regime se il transitorio è oscillatorio, oppure
tempo richiesto per raggiungere il 90 del
valore di regime se il transitorio non è
oscillatorio. Tempo di assestamento ta tempo
necessario dopo il quale lerrore di
inseguimento si mantiene entro il 5 del valore
di regime Sovraelongazione S valore, in , di
superamento del valore di regime
105
SPECIFICHE NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA
106
PICCO DI RISONANZA E BANDA PASSANTE

C(s)
G(s)
r
y
e
u
_
F.d.T. danello L(s)
C(s) G(s) F.d.T. da r a y
T(s) L(s)/(1L(s)) Risposta in frequenza da
r a y T(jw) Picco di risonanza Mr valore in
dB del picco di ampiezza della risposta in
frequenza da r a y valori tipici di un buon
progetto Mr 1 ? 4 dB Banda passante (a -3dB) wB
valore della pulsazione alla quale il guadagno
si riduce a -3dB
107
SPECIFICHE NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA SU L(jw)
108
CONVERSIONE DI SPECIFICHE
Per la sintesi conviene tradurre le specifiche
in specifiche equivalenti su mf e wf . Formule
empiriche per la conversione wB ts ? 3 (1S) /
Mr ? 0.85 ? 1 wf / wB ? 0.5 ? 0.8 mf ? arccos(
1 - 0.5/ Mr )
2
109
SINTESI PER TENTATIVI
(1) COMPENSAZIONE STATICA Si determinano il
numero c di poli in s0 del controllore C(s)
ed eventualmente un guadagno Kc in modo da
soddisfare le specifiche di precisione
statica. (2) CONVERSIONE SPECIFICHE Si
convertono, tramite le formule approssimate,
le specifiche di precisione dinamica in
specifiche equivalenti su mf e wf . (3)
COMPENSAZIONE DINAMICA Si progetta una rete
correttrice C(s) in modo da conseguire i
valori di mf e wf impostati. (4) VERIFICA Si
verifica se il controllore C(s) Kc C(s) / sc
soddisfa le specifiche e in tal caso si
arresta il procedimento. Altrimenti si
modificano i valori impostati di mf e wf e si
ritorna al passo (3).
110
RETI CORRETTRICI
Si consideri la f.d.t. con un polo ed uno zero
C(s) (1ss) / (1ts) s,t gt 0 Se la
pulsazione di rottura del polo precede quella
dello zero, cioè s lt t, allora C(s) introduce
ATTENUAZIONE e ritardo. Viceversa, se s gt t,
allora C(s) introduce ANTICIPO e amplificazione.
111
RETI CORRETTRICI
Rete Anticipatrice Cant(s)
t gt 0 mgt1
1ts
1(t/m)s
Rete Attenuatrice Catt(s)
t gt 0 mgt1
1(t/m)s
1ts
112
DIAGRAMMI DI BODE DELE RETI CORRETTRICI
113
COMPENSAZIONE DINAMICA - CASO 1
114
COMPENSAZIONE DINAMICA - CASO 2
115
COMPENSAZIONE DINAMICA - CASO 3
116
COMPENSAZIONE DINAMICA - CASO 4
117
REALIZZAZIONE CIRCUITALE DELLE RETI CORRETTRICI
Rete attenuatrice t C(R1R2 ) m 1
R1/R2
R1
C
y
u
R2
Rete anticipatrice t R1C m 1 R1/R2
R1
u
C
m
R2
y
118
ESEMPIO DI SINTESI
F.d.T. del sistema da controllare G(s) 1
/ s(s1) Specifiche (1) errore a regime
nullo al gradino e1 0 (2) errore a
regime alla rampa e1? 1 (3)
sovraelongazione S? 20 (4) tempo di
salita ts ? 0.5 sec
119
ESEMPIO DI SINTESI

C(s)1
G(s)
r
y
e
u
_
Il sistema non soddisfa specifica (2)
120
COMPENSAZIONE STATICA
r
y

100
G(s)
e
u
Per soddisfare (2) si sceglie Kc100. Il
sistema non soddisfa (3) Sgt80
_
121
CONVERSIONE SPECIFICHE DINAMICHE
Usando le formula empiriche si trovano valori di
primo tentativo per mf e wf ts0.5 sec ? wf
2 / ts 4 rad/sec S 0.2 ? mf 50
122
COMPENSAZIONE DINAMICA
123
COMPENSAZIONE DINAMICA
Alla pulsazione wf 4 rad/sec occorre - un
anticipo di circa 35? 40 - unattenuazione di
circa 15 ?16 dB Si possono usare - rete
anticipatrice con m8 e wwft 1.5 - rete
attenuatrice con m10 e wwft 200
124
COMPENSAZIONE DINAMICA
Il compensatore risultante è C(s) 100
guadagno anticipatrice
attenuatrice
1 3/8 s
1 5s
1 3/64 s
1 50 s
125
VERIFICA PROGETTO DIAGRAMMI DI BODE DI L(jw)
126
VERIFICA PROGETTO RISPOSTA AL GRADINO DI y
127
VERIFICA TEMPO DI ASSESTAMENTO
128
VERIFICA PROGETTO RISPOSTA ALLA RAMPA
129
VERIFICA PROGETTO DIAGRAMMA DI AMPIEZZA DI T(jw)
130
VERIFICA PROGETTO INGRESSO DELLATTUATORE
131
CONTROLLORI INDUSTRIALI STANDARD
d


Regolatore
Processo
u
z
z
e
_

n

• Controllo a relay

Il controllo a relay è usato diffusamente negli
elettrodomestici e in semplici sistemi di
controllo di temperatura, industriali e per
edifici.
e
u
e
u
Le variabili di un sistema di controllo a relay
tendono ad esibire un comportamento periodico,
che va studiato con attenzione per garantire che
lampiezza e il periodo di tali oscillazioni
siano compatibili con le specifiche del problema
di controllo.
132

• Regolatori industriali standard
• P regolatore proporzionale
  
• I regolatore integrale
  
• PI regolatore proporzionale-integrale
• PD regolatore proporzionale-derivativo
• PID regolatore proporzionale-integrale-derivat
  ivo

• Funzioni di trasferimento U(s)/E(s)
• P C(s) Kp
• I C(s) Kp/sTi
• PI C(s) Kp(1 1/sTi)
• PD C(s) Kp(1 sTd)
• PID C(s) Kp(1 sTd 1/sTi)

• Azioni di controllo
• P u(t) Kp e(t)
• I u(t) (Kp/Ti)
• PI u(t) Kp ?e(t)(1/Ti) ?
• PD u(t) Kp ?e(t)Td ?
• PID u(t) Kp ?e(t)Td (1/Ti)
  ?

Kp guadagno proporzionale Ti costante di
tempo integrale Td costante di tempo
derivativa
133
e
u
P, I, PI,PD,PID
Note sulle proprietà dei regolatori industriali

• azione proporzionale

Il comando u(t) è proporzionale allerrore e(t).
Lerrore di regolazione in genere non si annulla
allinfinito, ma risulta comunque inversamente
proporzionale alla costante di proporzionalità K.
Daltra parte laumento del guadagno K tende a
far peggiorare sia la stabilità del sistema di
controllo che leffetto prodotto dal rumore di
misura. Talvolta per azzerare lerrore si
preferisce sommare allingresso u(t) un valore
costante U (chiamato valore di reset).

• azione integrale

La differenza fra i comandi u(t) e u(0) è
proporzionale allintegrale dellerrore
nellintervallo 0,t. Limportanza dellazione
integrale deriva dal fatto di assicurare errore
nullo a regime per variazioni a gradino del
segnale di riferimento (set-point) e del disturbo
sulluscita. Inoltre lerrore si mantiene nullo
anche in presenza di variazioni del guadagno in
continua del processo. Nel regolatore PI lazione
integrale si somma a quella proporzionale
garantendo il reset automatico. Gli inconvenienti
maggiori dellazione integrale sono legati al
problema noto come wind-up e al passaggio da
funzionamento manuale ad automatico del
regolatore.

• azione derivativa

Il comando u(t) è proporzionale alla derivata
dellerrore e(t). Lazione derivativa è utile per
processi che hanno uno scarso margine di
stabilità, non facilmente migliorabile con
lazione proporzionale. Daltra parte lazione
derivativa risulta dannosa per quanto riguarda
leffetto prodotto dal rumore ad alte frequenze
sul comando u(t), e non viene mai utilizzata da
sola perché farebbe perdere al sistema di
controllo la fondamentale proprietà di essere
passa-basso.
134
Altre azioni caratteristiche dei regolatori
industriali

• Azione in andata

I regolatori industriali hanno spesso dei
morsetti di ingresso addizionali per
lintroduzione di unazione in andata (anticipo o
feedforward) u(t) sulla variabile di
controllo. Tale azione risulta utile nei casi in
cui si ha a disposizione delle misure sul
disturbo sulluscita.

• Guadagno variabile

Alcuni regolatori possono far dipendere il
guadagno dellazione integrale dallerrore di
regolazione e(t). Nel caso più comune si hanno
due valori fissabili a priori, ed è usato il più
piccolo fino a quando lerrore rimane in un
intervallo prefissato, mentre al di fuori di tale
intervallo è usato il maggiore.

• Controllo a tempo proporzionale

I regolatori commerciali sono predisposti per
uscite analogiche di caratteristiche standard
(420 mA e 010 V). Esistono anche le
predisposizioni per uscite di tipo logico a
relay, dette a tempo proporzionale. In tal caso
si usa un circuito, detto PWM (Pulse Width
Modulator), che modula la durata degli intervalli
nei quali il comando è on/off.

• Saturazioni comando

La variabile di controllo u(t) in un qualsiasi
anello di regolazione è sempre limitata
superiormente e inferiormente. In alcuni casi,
come per esempio in presenza di variazioni
rilevanti dei segnali agenti sul sistema di
controllo, può accadere che il comando vada in
saturazione. In tal caso anche il regolatore
lavora ad anello aperto ed integrando un segnale
praticamente costante può allontanarsi molto dal
campo di valori utili per il controllo. Questo
implica che occorrerà molto tempo per ristabilire
i valori normali di controllo (wind-up).
135
Note sulla scelta della legge di controllo
I regolatori industriali sono molto utilizzati
per il controllo di processi industriali. Uno dei
motivi principali è relativo al fatto che le
specifiche di controllo non sono mai molto
stringenti. Il PI risulta adeguato per processi
caratterizzati essenzialmente da una dinamica del
primo ordine, oltre a un eventuale ritardo
puro. Il regolatore I risulta adeguato per
processi puramente algebrici (dinamica
trascurabile) come la regolazione di portata con
valvole. Il regolatore PID è indicato per
sistemi dove la dinamica risulta essenzialmente
del secondo ordine. Nel caso di ritardo puro
trascurabile, lazione derivativa fornisce un
anticipo di fase utile per assicurare la
stabilità dellanello in una banda passante più
ampia. Se invece il ritardo puro è dominante
risulta necessario utilizzare schemi di controllo
più sofisticati come il predittore di Smith
oppure il controllo in cascata. Il regolatore PID
può risultare inadeguato per sistemi con modi
oscillatori sostenuti. Tali situazioni si
incontrano nei servo-posizionatori
elettrodinamici e oleo-dinamici, in cui sono
presenti masse mobili, collegate tra loro e con
la base fissa mediante trasmissioni in qualche
misura elastiche. Esistono diversi metodi per
tarare i parametri dei regolatori industriali,
sia con procedure manuali che automatiche. Tali
metodi sono basati sullo studio della risposta al
gradino, sulla determinazione di alcuni punti
della risposta in frequenza, e sulla stima
parametrica del processo.

-st
-st
G(s) K e /(1 2ds/?n s²/?n²)
G(s) K e /(1 Ts)
Dinamica del primo ordine ritardo
Dinamica del secondo ordine ritardo
136
TARATURA DEI CONTROLLORI PID
Esistono numerose regole empiriche e metodi
sistematici per la scelta dei guadagni Kp , Ki,
Kd del controllore PID alcuni dei quali non
richiedono la conoscenza della f.d.t. G(s) del
processo da controllare.
137
METODO DI ZIEGLER-NICHOLS AD ANELLO CHIUSO
Si determinano sperimentalmente guadagno
critico Kc periodo critico Tc come il
valore del guadagno a cui il sistema oscilla ed
il relativo periodo di oscillazione.
Kp Ti Td P
0.5Kc PI 0.45Kc
0.8Tc PID 0.6Kc 0.5Tc
0.125Tc
138
METODO DI ZIEGLER-NICHOLS AD ANELLO APERTO
Si determinano sperimentalmente f.d.t. del
processo G(s) K exp(-ts) / (1Ts) guadagno K,
ritardo T, costante di tempo t
Kp Ti Td P
T/(Kt) PI 0.9 T/(Kt)
3t PID 1.2 T/(Kt) 2t
0.5t
139
METODO DI ZIEGLER-NICHOLS AD ANELLO CHIUSO
Si determinano sperimentalmente guadagno
critico Kc periodo critico Tc come il
valore del guadagno a cui il sistema oscilla ed
il relativo periodo di oscillazione.
Kp Ti Td P
0.5Kc PI 0.45Kc
0.8Tc PID 0.6Kc 0.5Tc
0.125Tc
140
CENNI DI CONTROLLO DIGITALE
y
Controllore digitale C
Processo P
ek
uk
u
r
e
A/D
D/A
A/D convertitore analogico/digitale converte
il segnale analogico e(t) in una sequenza
di dati binari ek e(kD) a N bit. D/A
convertitore digitale/analogico converte
la sequenza uk in un segnale analogico u(t)
141
CAMPIONATORE (Convertitore A/D)
A/D
ek
e(t)
Campionatore ideale ek e(kD) k0,1,2,.. D
periodo di campionamento A/D effettua
campionamento e quantizzazione del campione ek su
una parola di N cifre binarie
142
MANTENITORE (Convertitore D/A)
D/A
uk
u(t)
Mantenitore di ordine zero (Zero-Order-Hold) u(t)
uk kD ? t lt (k1) D
k0,1,2,.. D periodo di campionamento D/A
fornisce in uscita un segnale costante a
tratti mantenendo luscita al valore uk
nellintervallo kD ,(k1)D )
143
CONTROLLORE (REGOLATORE, COMPENSATORE) DIGITALE
C(z)
uk
ek
Nel periodo di campionamento kD ,(k1)D ), dopo
aver campionato ek, il controllore
digitale calcola uk mediante lequazione alle
differenze ukp1uk-1 pruk-r
q0ekq1ek-1 qsek-s
144
CONTROLLORE (REGOLATORE, COMPENSATORE) DIGITALE
C(z)
uk
ek
Leq.ne alle differenze del controllore
digitale ukp1uk-1 pruk-r q0ekq1ek-1
qsek-s è rappresentata sinteticamente dalla
funzione di trasferimento
q(z)

q0 q1z-1 qr-1z-s1 qsz-s
p(z)
C(z)

1 p1z-1 pr-1z-r1 prz-r
145
SINTESI DI UN CONTROLLORE DIGITALE
Esistono due diverse filosofie di progetto di un
sistema di controllo digitale (1)
Discretizzazione di un controllore analogico si
progetta con tecniche classiche (ad esempio
sintesi per tentativi) la f.d.t. C(s) di un
controllore analogico che consente di soddisfare
tutte le specifiche (statiche e dinamiche)
successivamente si determina la f.d.t. Cd(z)
di un controllore digitale che, collegato in
serie fra D/A e A/D, approssima il
comportamento del controllore analogico
progettato. (2) Sintesi diretta di un controllore
digitale si approssima la connessione
serie mantenitore-processo G(s)-campionatore con
una f.d.t. Gd(z) e si progetta direttamente
in tempo-discreto un controllore C(z) che
soddisfa tutte le specifiche.
146
SCELTA DEL PERIODO DI CAMPIONAMENTO
D periodo di campionamento 1/D
frequenza di campionamento 2p /D pulsazione di
campionamento p /D pulsazione di Nyquist La
scelta del periodo di campionamento D è
fondamentale nei sistemi di controllo digitale.
Essa è prevalentemente influenzata dai seguenti
fattori - costo dei dispositivi A/D, D/A e
potenza di calcolo richiesta - problemi numerici
(perdita di precisione per D piccolo) -
sensibilità ai disturbi - campionamento e
informazione la pulsazione di campionamento va
commensurata alla banda richiesta al sistema
retroazionato
147
SCELTA DEL PERIODO DI CAMPIONAMENTO
D periodo di campionamento 1/D
frequenza di campionamento 2p /D pulsazione di
campionamento p /D pulsazione di Nyquist Se
wB è la banda passante desiderata occorre
scegliere (per il teorema di Shannon) p /D gt wB
una buona regola euristica è
6 lt wc / wB lt 20, wc 2p /D
148
DISCRETIZZAZIONE DI UN CONTROLLORE DIGITALE
Esistono numerosi metodi per effettuare
lapprossimazione C(s) ? Cd(z), quali METODO DI
EULERO (in avanti) s (z-1)/D METODO DI EULERO
(indetro) s (z-1)/ (D z) METODO DI TUSTIN
s2(z-1)/D (z1) Lapprossimazione è
tanto migliore quanto più D è piccolo buona
regola euristica wc / wB 20
? 50 wc 2p/D
149
SINTESI DIRETTA DI UN CONTROLLORE DIGITALE
yk
Processo G(s)
A/D
ZOH
uk
yk
Gd(z)
uk
Modello discreto equivalente Gd(z) (z-1/z)
ZG(s)/s
150
CONTROLLORE PID DIGITALE
CPID(s) Kp Ki /s Kd s s ? (z-1)/Dz
(approssimazione di Eulero) CPID(z) Kp Ki Dz
/(z-1) Kd (z-1)/Dz ukuk-1 Kp(ek -ek-1) KiD
ek (Kd/D ) (ek-2ek-1ek-2)
ek
uk
PID digitale
151
IMPLEMENTAZIONE DI UN CONTROLLORE DIGITALE
(1) Acquisizione di ek dal convertitore A/D (2)
Calcolo di uk mediante eq.ne alle differenze (3)
Invio di uk al convertitore D/A