Pitagora

1
Pitagora
2

• Rapporti armonici Rapporti numerici
• ottava 21
• ( do do)
• quinta 32
• (do sol)
• quarta 43
• (do fa)

3
Credo pitagorico

• Tutto è razionale

4

• Greco latino italiano
• logo? ratio rapporto
• Linguaggio pensiero matematica

5
Musica

• Problema comma pitagorico
• 5 ottave ? 12 quinte
• Soluzione temperamento
• Tono radice 12a di 2
• ma che non è un numero razionale
• Vedi
• www.orianapagliarone.it/proporzioni /musica

6

• Unità didattica realizzata perchè gli alunni
  possano completare i loro programmi in Turbo
  Pascal con commenti musicali scritti da loro,
  nota per nota.
• Ho organizzato il lavoro in 5 schede con i
  seguenti obiettivi
• mettere  i ragazzi in grado  di  calcolare
• la frequenza di un semitono 
• la frequenza della nota più bassa del pianoforte
• la frequenza di una nota qualsiasi
• la frequenza di una nota qualsiasi nella forma
  opportuna per l'inserimento nella procedura in
  Turbo Pascal
• la frequenza di tutte le note necessarie per
  implementare una semplice melodia
• Una volta calcolate le frequenze delle note ,
  aiutandosi con spartiti semplificati ,gli alunni
  sono arrivati ad implementare le procedure che
  permettono al calcolatore di suonare alcuni
  semplici brani musicali
• Vediamo le schede nel dettaglio

7
Scheda di lavoro n.1 In una scala
musicale temperata 2 ottave successive stanno tra
loro come 1 sta a 2 Ossia se x è la frequenza
del do di un'ottava , 2x è la frequenza del do
dell'ottava successiva Inoltre le frequenze
delle note formano una progressione geometrica di
ragione qsemitono Ricordando che in
un'ottava ci sono 12 semitoni (tra tasti bianchi
e neri) calcoliamo la frequenza di un semitono
a1 x      a13 2 x                 a13 a1
q12                                            2
x x q12                                        
     q (2)1/12
8
Scheda di lavoro n.2 Sapendo che 440 è la
frequenza del la dell'ottava centrale (dopo 48
note da quella avente frequenza più bassa
,calcoliamo la frequenza della nota più bassa
     440 Nota_ più_ bassa (2)48/12      
Nota_più_ bassa 440/24 27.5
9
Scheda di lavoro n.3 Ora sapendo il
valore del semitono e della frequenza della nota
più bassa , possiamo calcolare la frequenza di
una qualunque nota ( dopo x note da quella più
bassa )            frequenza Nota_più_bassa
2x/12
10
Scheda di lavoro n.4 Per implementare una
procedura che calcoli le frequenze delle note è
opportuno trasformare la formula precedente
in   frequenza Nota_più_bassa  ex(log2)/12
11
Ora è possibile scrivere la procedura per
calcolare le frequenze delle note dell'ottava
centrale Procedure lenote function
nota(xinteger)integer         begin           
rappln(2)/12           nota
round(notapiùbassa exp(rappx))        
end begin notadonota(52) renota(54) minot
a(56) fanota(57) solnota(59) lanota(61)
sinota(63) end
12
Ora adoperando uno spartito semplificato
dell'Inno alla gioia di Beethoven, adoperando
l'istruzione sound per il suono di una nota ,
nosound per sottolineare la fine di una battuta
e delay per la durata delle note , passiamo alla
procedura che permetterà agli alunni di suonare
con il calcolatore l'Inno alla gioia
13
(No Transcript)
14
l'Inno alla gioia                              
                                                  
                        
15
program gioco7s i graph.p const
notapiubassa27.5 semitono1.05946 var
n,domande,esatteinteger rispostachar
rispochar var notado,re,mi,fa,sol,la,si,do2
,re2,si2,re3,fa2,sib,la2,sol2,re1,mi1,fa1,si1inte
ger rappreal procedure lenote
function nota(xinteger)integer begin
rappln(2)/12 notaround(notapiuba
ssaexp(rappx)) end begin
notadonota(52) renota(54)
re3nota(55) minota(56)
fanota(57)
fa2nota(58) solnota(59)
lanota(61) sinota(63)
do2nota(64) re2nota(66)
si2nota(51)
sibnota(50) la2nota(49)
sol2nota(47) re1nota(42)
mi1nota(44)
fa1nota(46) si1nota(39) end
16
sound(la) delay(6400)
nosound sound(sol)
delay(6400) nosound
sound(sol) delay(6400)
nosound sound(la)
delay(6400) nosound
sound(si) delay(6400)
nosound sound(si)
delay(9600) nosound
sound(la) delay(3200)
nosound sound(la)
delay(12800) nosound end
procedure ritornello begin
sound(si) delay(6400)
nosound sound(si)
delay(6400) nosound
sound(notado) delay(6400)
nosound sound(re)
delay(6400) nosound
sound(re) delay(6400)
nosound sound(notado)
delay(6400) nosound
sound(si) delay(6400)
nosound

17
Matematica

• Il teorema di Pitagora
• egiziani
• babilonesi
• greci
• indiani
• cinesi

18
La prima dimostrazione del teorema di Pitagora è
riportata da Platone nel Menone In questo
dialogo Platone racconta come sia possibile
duplicare larea di un quadrato, che risulta un
caso particolare del teorema di Pitagora
Prima dei greci nessuno aveva costruito
dimostrazioni rigorose. Molti problemi
venivano risolti dicendo semplicemente quale era
la soluzione, ma senza dimostrarlo
19
La prima dimostrazione del teorema di Pitagora
nella sua formulazione generale si trova negli
Elementi di Euclide
20
Tante altre dimostrazioni del teorema di Pitagora
21
(No Transcript)
22
(No Transcript)
23
(No Transcript)
24
(No Transcript)
25
(No Transcript)
26
Questa è la dimostrazione del teorema di Pitagora
che si trova nei libri di testo di geometria
27
Duplicazioni
La dimostrazione della duplicazione del quadrato
è semplice e intuitiva
28
Non altrettanto si può dire per la
duplicazione del volume di un cubo ossia il

cosiddetto.
Problema di Delo
Delo è un'isola dell'arcipelago greco, patria di
Apollo. Durante una pestilenza ad Atene , gli
abitanti mandarono un emissario a chiedere
all'oracolo di Apollo a Delo cosa fare. L'oracolo
rispose che la pestilenza sarebbe cessata non
appena gli Ateniesi avessero raddoppiato la
grandezza dell'altare di Apollo ( di forma
cubica) La pestilenza non cessò perché gli
Ateniesi non seppero costruire ,con riga e
compassa , unici strumenti che possedevano, un
cubo di lato la radice cubica di 2 , per
raddoppiare un cubo di lato 1
29
Numeri irrazionali
Pitagora per la duplicazione del quadrato, o se
si vuole per il calcolo della diagonale di un
quadrato aveva incontrato per la prima volta i
numeri irrazionali La dimostrazione
dellirrazionalità della diagonale del quadrato
si trova negli Analitici Primi di Aristotele in
cui si dimostra rigorosamente che la diagonale
del quadrato non è un numero razionale Tale
affermazione mandò in crisi i Pitagorici del
tempo che giurarono di non rivelare tale
scoperta a nessuno,perché il credo pitagorico era
tutto è razionale ma un certo Ippaso di
Metaponto tradì il segreto, i pitagorici
lo maledirono e Giove fece affondare la nave su
cui viaggiava Ippaso che morì. Ormai però il
segreto era stato svelato e tutto il mondo venne
a conoscenza dei numeri irrazionali, ossia che
non ammettono una rappresentazione sotto forma di
rapporto. Tali numeri vennero detti surdi
assurdo ossia ciò che non ammette una
rappresentazione sotto forma di rapporto .la loro
presenza scardino il mondo dei Pitagorici
aprendo però nuove frontiere del sapere.