Moto di una particella che incontra una barriera finita di potenziale

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Moto di una particella che incontra una barriera
finita di potenziale
se
se
oppure
consideriamo il caso in cui lenergia totale
della particella sia inferiore al potenziale V0
ossia E lt V0
non sono inizialmente presenti onde regressive
oltre la barriera quindi non ce termine del
tipo Ge-ikx
vi sono quindi cinque coefficienti da determinare
con le quattro condizioni di continuita della
funzione e della sua
derivata prima nei punti x 0 ed x L piu
la condizione di normalizzazione
le condizioni di continuita della funzione
donda e della sua derivata prima in x 0
forniscono
e
ossia
risolvendo per A
si ottiene
da
in definitiva
sfruttando le altre due condizioni di continuita
e
si ottiene
ossia
e
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risolvendo per C e D si ottiene
e
esprimendo A in funzione di F
ossia
dove
e
e sfruttando la relazione
il rapporto
e detto coefficiente di trasmissione T
riesce
dal punto di vista classico nessuna trasmissione
e possibile oltre la barriera di potenziale in
quanto essendo E lt V0
lenergia cinetica risulterebbe negativa
allinterno della barriera
dal punto di vista quantistico viceversa la
particella possiede proprieta ondulatorie quindi
una parte dellonda di probabilita viene sempre
trasmessa oltre la barriera di potenziale
leffetto e tanto piu marcato quanto e
piccola la massa della particella e quanto piu
la sua energia totale E e grande e si approssima
a V0
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il coefficiente di trasmissione si puo scrivere
se si introduce il parametro adimensionale
come
in conclusione
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Barriere di potenziale, effetto tunnel e il
decadimento alfa
Un elettrone incontra una barriera di larghezza
L 15 nm e di altezza U0 0.1 eV .


Determinare
quale sia la probabilita di trasmissione se la
sua energia e di 0.04 eV. E se fosse di 0.06
eV ?
per una barriera di potenziale di altezza U0 e
larghezza L si ha
entro la barriera la funzione donda e
proporzionale ad e-ax, scritto anche come e-x/d
dove d e la lunghezza di penetrazione
se la larghezza della barriera L e molto
maggiore della lunghezza di penetrazione d si
parla di barriere larghe .
In questi casi la
probabilita di effetto tunnel sara molto piccola
in altri termini si parla di barriere larghe
quando
in presenza di barriere larghe vale
lapprossimazione
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e dato che
infatti
quindi il coefficiente di trasmissione potra
essere riscritto come
in presenza di barriere larghe
percio il termine
e le costanti potranno essere trascurate
rispetto a
quindi si ha che
da notare la dipendenza esponenziale del
coefficiente di tramissione
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verifichiamo che sussistano nel problema dato le
condizioni di barriera larga
per un elettrone di energia E 0.04 eV posto in
fronte ad una barriera di potenziale di 0.10 eV
profonda 15 nm
per un elettrone di energia E 0.06 eV posto in
fronte ad una barriera di potenziale di 0.10 eV
profonda 15 nm
in conclusione la barriera e comunque di molto
piu ampia della profondita di penetrazione
dell elettrone dunque si potra in entrambi i
casi usare lapprossimazione per barriere larghe .
da notare come, a causa della dipendenza
esponenziale, la probabilita di tunnelling
dipenda in modo cruciale dallenergia della
particella. Nellesempio la probabilita varia di
molti ordini di grandezza, mentre lenergia della
particella e variata del 50
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se per una barriera larga si ha che
per una successione di barriere tutte uguali
poste una dopo laltra si puo ottenere
(trascurando la riflessione da ogni barriera) l
espressione approssimata
se la barriera e generica, U sara una funzione
di x e potremo pensare di dividere la barriera in
tante barriere successive di profondita Dx tutte
uguali poste una dopo laltra Sempre trascurando
la riflessione da ogni barriera si ha
al limite si puo pensare di rendere Dx
infinitesimo, facendo attenzione che le
condizioni per avere una barriera larga
rimangano valide
ovvero
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Decadimento alfa
Uranio 238 92 protoni e 146 neutroni
Torio 234 90 protoni e 144 neutroni He 2
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Un nucleo atomico pesante puo essere pensato
come composto di molte particelle alfa legate da
forze attrattive nucleari, dunque effettive solo
quando le particelle sono a breve distanza una
dallaltra.
finche si trova allinterno del nucleo una
qualsiasi particella alfa costituente risente di
forze attrattive che si possono pensare derivate
da un potenziale costante

la cui estensione oltre il
diametro nucleare , pari a qualche unita in
termini di fermi, si esaurisce molto in fretta
oltre il raggio nucleare r0.
landamento del potenziale puo quindi essere
schematizzato come
R0 10-12 m E 5 MeV
a distanze maggiori di r0 e presente il
potenziale dovuto alla repulsione coulombiana tra
nucleo e particella alfa.
di conseguenza una particella alfa si trova in un
punto di massimo potenziale quando e a distanza
pari al raggio nucleare r0 .
Una stima per latomo di torio 234 porta ad un
valore di circa 35 MeV il valore del massimo del
potenziale.
Per superare questa barriera coulombiana una
particella alfa intrappolata allinterno del
nucleo dovrebbe possedere una energia di almeno
35 MeV e quindi se la si trova a grande distanza
dal nucleo con energia E ci si aspetterebbe
classicamente che abbia energia gt 35 MeV
Mentre le particelle alfa vengono emesse con
energie sempre inferiori a 10 MeV !
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dove Z e la carica del nucleo dopo la
disintegrazione
I limiti di integrazione vanno da r0 al valore
r1 distanza alla quale il potenziale uguagliera
lenergia E della particella alfa emessa nella
disintegrazione
se lenergia e espressa in MeV ed r0 in
unita di 10-15 si ha
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la frequenza di decadimento , il cosiddetto
rate si puo stimare dalla relazione
dove la velocita della particella e assunta
essere (2E/m)1/2
questa epressione vale per una singola particella
alfa, ma andrebbe ricalcolata applicando un
fattore moltiplicativo
valutato pensando che un nucleo puo essere
immaginato come fatto di tante particelle alfa
strettamente legate
vi possono quindi essere molte particelle alfa
che simultaneamente tentano di superare la
barriera.
per ottenere la vita media basta ricordare che il
rate e inversamente proporzionale alla vita media
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Nucleo a emettitore Energia della particella a (MeV) Vita media t del decadimento a
Po 212 8.8 4.4 10-7 sec
Rn 220 6.3 79 sec
Ra 224 5.7 5.3 giorni
Ra 226 4.8 2300 anni
U 238 4.3 6.5 109 anni