D

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Détection et correction derreurs

• au sein de la couche 2 liaison de données

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Introduction

• Les erreurs de transmission sont
• rares sur des supports numériques (fibre
  optique),
• beaucoup plus fréquentes sur les boucles locales
  du RTC (paires torsadées analogiques) ou les
  réseaux sans fil.
• Ces erreurs se produisent la plupart du temps en
  rafale
• Avantage (par rapport aux erreurs isolées, ie 1
  seul bit) en moyenne, moins de blocs de bits
  sont affectés. Exemple
• Soit la taille des blocs 1000 bits, le taux
  derreur 1/1000
• Erreurs isolées la plupart des blocs
  contiennent 1 erreur
• Erreurs en rafale de 100 ou plus 1 ou 2 blocs
  sur 100 seulement
• Inconvénient beaucoup plus difficiles à
  détecter et à corriger

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Il faut donc apprendre à vivre avec les erreurs

• Deux stratégies ont été développées. Lémetteur
  inclut dans le bloc de données
• suffisamment de redondance pour que le récepteur
  puisse reconstituer les données originales.
• ? utilise des codes correcteurs derreur
• plutôt pour des canaux non fiables comme le sans
  fil
• juste assez de redondance pour que le récepteur
  puisse détecter les erreurs et demander une
  retransmission.
• ? utilise des codes détecteurs derreur
• plutôt pour des canaux fiables comme la fibre
  optique

4
Principe

• On souhaite envoyer m bits de données.
• On y rajoute r bits de redondance selon un
  certain algorithme ou codage
  .
• ? Ainsi, la longueur de la trame envoyée est n
  m r.(cette séquence de n bits un mot du
  code)
• A la réception, en fonction du codage , on
  pourra détecter (2.) et/ou corriger (1.) des
  erreurs.
• En général, lapproche (1.) induit davantage de
  redondance, ce qui diminue le débit utile du
  canal

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Généralités sur les codes

• Un code C de longueur n est un ensemble de mots
  (séquences) de n bits.Ex n 3, C 110,
  101, 011
• Parmi toutes les séquences possibles de n bits
  (2n)
• celles qui appartiennent à C sont valides.
• celles qui nappartiennent pas à C sont
  invalides.
• Ex 111 est invalide 101 est valide

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A la réception dune séquence S de n bits

• Soit S est invalide (nappartient pas au code C).
• Il y a forcément eu une (ou plusieurs) erreur de
  transmission.
• Le récepteur corrige (1.) ou demande une
  retransmission (2.).
• Soit S est valide (appartient au code C).
• La séquence S est considérée comme correcte
  et acceptée par le récepteur.
• Remarque considérée seulement, car
• si lémetteur envoie 011 et le récepteur reçoit
  101,
• aucun moyen de détecter quil y a eu des erreurs
  (2 ici)
• car 101 est valide !

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Distance de Hamming dun code

• Cest le critère qui permet dévaluer le pouvoir
  détecteur dun code ainsi que son pouvoir
  correcteur.
• Distance de Hamming entre 2 mots (noté dh) nbre
  de positions qui ont des valeurs distinctes.Ex
  dh ( 110011, 101010 ) 3
• (Astuce nbre de 1 du OU exclusif)
• Distance de Hamming dun code C (noté DH(C)) le
  minimum des distances entre 2 mots du codeEx
  DH ( 110, 101, 011 ) 2 DH ( 0011,
  0101, 1001, 0110, 1010, 1100 ) 2

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Représentation graphique

• Sommets ts les mots de n bits
• Liens entre les mots tq dh 1
• DH(C) longueur du plus court chemin entre 2
  mots valides

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Pouvoir détecteur dun code

• Déf On parle derreur dordre k lorsquun mot
  émis u diffère par k bits du mot reçu v, ie
  dh(u,v) k.
• Pour détecter une erreur dordre 1, quelle doit
  être la distance de Hamming du code ?
• Réponse DH(C) 2en effet, dans ce cas, 1
  erreur simple ne peut pas changer un mot du code
  en un autre mot du code.
• Même question pour une erreur dordre k ?
• Réponse DH(C) k1

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Pouvoir correcteur dun code
M
mot de code valide
0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0
point dans lespace
Code transmis S un point en M dimensions
Distance 1 bit
Au décodeur S est toujours le mot de code le
plus près du mot reçu S ? on décode sans
erreur
S
(code reçu avec 1 erreur)
S
(point transmis)
11
Pouvoir correcteur dun code

• Pour pouvoir corriger une erreur dordre 1, une
  distance de Hamming DH(C) 2 est-elle suffisante
  ?
• Réponse non il faut DH(C) 3en effet, si
  DH(C) 2, 1 erreur simple peut nous produire un
  mot exactement au milieu de 2 mots du code, à
  distance 1 de chacun !si DH(C) 3, 1 erreur
  simple produit un mot qui reste le plus proche du
  mot transmis on peut donc le retrouver !
• Pour corriger une erreur dordre k,
• il faut DH(C) 2k1.

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Résumé pouvoir détecteur et correcteur

• Un code C peut
• détecter des erreurs dordre DH(C) 1
• corriger des erreurs dordre (DH(C) 1)/2
  (partie entière)

Distance de Hamming du code Ordre maximal des erreurs détectables Ordre maximal des erreurs corrigibles
1 - -
2 1 -
3 2 1
4 3 1
5 4 2
6 5 2
13
Exemples de codes détecteurs
14
Détection des erreurs

• Permet de vérifier lintégrité dune trame au
  récepteur
• Retransmission des trames corrompues
• Plus efficace que la correction
• ? requiert moins de bits de redondance
• Parité Verticale
• Parité Horizontale
• Parité Verticale et Horizontale
• CRC Cyclic Redundancy Code
• ? codes de détection couramment utilisés

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Parité Verticale (Exo 2.1)

• Exemple envoi de 7 caractères de longueur 3
  (m3).
• Info utile 000 111 000 110 101 011 010
• Info envoyée 0000 1111 0000
  1100 1010 0110 0101
• Propriétés
• distance de Hamming est 2 détecte les erreurs
  simples
• détecte les erreurs qui sont d'ordre impair
• ignore les erreurs doubles et toutes celles qui
  sont d'ordre pair

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Parité Horizontale (Exo 2.2)

• Exemple envoi de 7 caractères de longueur 3
  (m3).
• Info utile 000 111 000 110 101 011 010
• Info envoyée 000 111 000 110 101 011 010 010
  

17
Parité Verticale et Horizontale (Exo 2.3)

• Exemple envoi de 7 caractères de longueur 3
  (m3).
• Info utile 000 111 000 110 101 011 010
• Info envoyée 0000 1111 0000
  1100 1010 0110 0101 1010
• Propriétés
• détecte les erreurs dordre 3 et corrige les
  erreurs simples
• détecte les erreurs qui sont d'ordre impair

0 1 0 1 1 0 0 1
0 1 0 1 0 1 1 0
0 1 0 0 1 1 0 1
0 1 0 0 0 0 1 0
18
Codes Polynomiaux CRC

• Codes de blocs particuliers
• Facilement implémentables de façon matérielle
• Excellents résultats
• Principe
• Toute séquence de n bits peut être représentée
  par un polynôme à coefficients binaires.
• Opérations d'addition et de multiplication modulo
  2.
• G(X) un polynôme de degré r appelé polynôme
  générateur.
• Code polynomial CG,n
• Ensemble des séquences de longueur n, dont le
  polynôme associé est multiple de G(X).

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CRC Propriétés

• Peut détecter 1 erreur isolée si G contient au
  moins 2 termes
• Peut détecter 2 erreurs (si G ne divise pas xk1,
  avec kfenêtre)
• Peut détecter tous les patrons derreurs impairs
• ? si (x 1) est un facteur de G(x)
• Peut détecter r erreurs consécutives sil est
  dordre r (bursts)
• Trois polynômes standards
• CRC-12 x12 x11 x3 x2 x 1
• CRC-16 x16 x15 x2 1
• CRC-CCITT x16 x12 x5 1

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Anciennes non utilisées
21
Technique de détection/correction derreur

• Code de longueur N
• exemples
• 2 parmi 3
• Distance de Hamming 2
• Parité verticale/horizontale
• Distance de Hamming 4
• Contrôle de flux
• Pb perte à la réception
• Solution
• Sol1réception bufferisée
• Sol2évenement Xon/Xoff

22
CODES VERSION PF
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Technique de détection/correction derreur

• Stratégies
• Détection (et demande de retransmission) code
  détecteur derreurs
• Détection correction code correcteur
  derreurs
• Code de longueur N
• Ensemble de séquences (mots) binaires de N bits
• Séquences valides / invalides
• Exemple M bits utiles, R bits de redondance
• 2M séquences valides (2N séquences possibles)
• Distance de Hamming entre 2 mots de code
• Nombre de différences si u1101100 et
  v1001010, alors dh(u,v)3
• Distance de Hamming dun code C
• Le minimum des distances entre 2 séquences du
  code C ( DH(C).

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Un exemple de code 2 Parmi 3

• Configurations valides
• mots de longueur 3 avec exactement 2 bits à 1.
• Code de longueur 3
• Distance de Hamming 2
• Propriétés
• Pouvoir détecteur oui (erreur simple)
• Pouvoir correcteur non
• Plus généralement
• La distance de Hamming d'un code permet d'évaluer
  son pouvoir détecteur d'erreur ainsi que son
  pouvoir correcteur.
• un code C peut détecter des erreurs d'ordre
  (DH(C) -1),
• un code C peut corriger des erreurs d'ordre
  PartieEntière((DH(C)-1)/2).

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Code de bloc

• On découpe l'information utile en tronçon de m
  bits auquel on rajoute r bits de redondance.
• Code de longueur nmr.
• Sur 2n combinaisons possibles, seules 2m
  combinaisons sont valides.
• Exemple 1 Parité verticale (VRCVertical
  Redundancy Checking)
• m8 (caractère) et r1 (parité paire ou impaire)
• Exemple envoi de 4 caractères de longueur 3
  (m3).
• Information utile 110 001 011 000
• Information envoyée 1100 0011 0110 0000
• Propriétés
• distance de Hamming est 2 détecte les erreurs
  simples
• détecte les erreurs qui sont d'ordre impair
• ignore les erreurs doubles et toutes celles qui
  sont d'ordre pair

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Code de bloc (suite)

• Exemple 2 Parité verticale/horinzontale
  (LRC/VRC pour Vertical Redundancy Checking /
  Longitudinal Redundancy Checking)
• Principe les caractères munis de leur bit de
  parité transversale sont regroupés en blocs, et
  on ajoute à la fin de chaque bloc un caractère
  supplémentaire pour la parité longitudinale
• Exemple envoi dun bloc de 4 caractères de
  longueur 3 (m3).
• Information utile 110 001 011 000
• Information envoyée 1100 0011 0110 0000 1001
• Propriétés
• distance de Hamming est 4
• détecte les erreurs dordre 3 et corrige les
  erreurs simples
• détecte les erreurs qui sont d'ordre impair

1 0 0 0 1
1 0 1 0 0
0 1 1 0 0
0 1 0 0 1
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Codes polynomiaux

• Codes de blocs particuliers
• Facilement implémentables de façon matérielle
• Excellents résultats.
• Principe
• Toute séquence de i bits peut être représentée
  par un polynôme à coefficients binaires
• Par exemple, la séquence "001101" peut être
  représentée par le polynôme x3x21.
• opérations d'addition et de multiplication modulo
  2
• G(X) un polynôme de degré r appelé polynôme
  générateur
• Code polynomial CG,n
• Ensemble des séquences de longueur n, dont le
  polynôme associé est multiple de G(X).

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Codes polynomiaux (suite)

• Exemple n4, G(X)X2.
• Les multiples de G(X) de degré au plus égal à n-1
  
• 0.G(X)0, 1.G(X)X2, X.G(X)X3, (X1).G(X)X3X2.
  
• Les séquences valides du code CG,4 0000, 0100,
  1000, 1100.
• Application à la détection d'erreur
• G(X) (degré r) connu de l'émetteur et du
  récepteur
• La taille des informations utiles m.
• On utilise le code CG,mr

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Codes polynomiaux (suite)

• Côté émetteur
• bm-1 bm-2 ... b2 b1 b0 l'information utile de
  longueur m
• M(X) le polynôme associé à l'information utile.
• On divise le polynôme M(X).Xr par G(X)
• M(X).Xr G(X).Q(X) R(X) (R(X) de degré r-1)
• On envoie la séquence de bits de longueur nmr
  associée au polynôme N(X)M(X).Xr R(X).
• Remarquons que ce polynôme N(X) est divisible
  par G(X)
• M(X).Xr R(X) G(X).Q(X) R(X) R(X)
  G(X).Q(X).
• Côté récepteur
• Détection d'erreur vérifier que le polynôme
  associé à la séquence binaire reçue, est
  divisible par G(X).
• Information utile supprimer les r derniers bits
  de la séquence reçue.

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Contrôle de flux

• Problème
• Un émetteur émet plus de messages que le
  récepteur peut accepter
• perte à la réception
• couches concernées 2, 3 et 4
• Solution éviter cette situation (prévention).
  Deux approches
• Lémetteur német que sur autorisation du
  récepteur
• Le débit est adapté au capacité du récepteur
• Exemple Transmission asynchrone
• Réception bufferisée évenement Xon/Xoff