UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Departamento de Fundamentos del An

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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de
Fundamentos del Análisis Económico I

• Teoría de juegos
• Tema 2
• Rafael Salas
• febrero de 2006

2
Teoría de juegos

• Cómo individuos racionales toman decisiones
  cuando son interdependientes
• Individualismo
• Racionalismo
• Interdependencia
• Tipos de juegos
• estáticos (simultáneos), dinámicos.
• con información perfecta, con incertidumbre, con
  información incompleta.
• estrictamente competitivos (intereses
  contrapuestos), no competitivos (intereses
  comunes). Conflicto-cooperación.
• juegos de suma cero

3
Elementos del juego

• Jugadores 1,...,n
• ngt1
• la naturaleza, en juegos de azar, un jugador más
• en numerosas ocasiones n2
• Acciones A1,...,An y donde Aiai / ai?Ai
• decisiones que puede tomar cada jugador en un
  momento dado
• Estrategias S1,...,Sn y donde Sisi / si?Si
• plan completo de acciones de cada jugador
• Perfil de estrategias
• un conjunto de estrategias, una por cada jugador
  (s1,...,sn) ? S donde s1?S1,..., sn?Sn
• existen S1xS2x...xSn perfiles posibles

4
Elementos del juego (2)

• Resultados del juego
• modos en que puede acabar el juego
• tiene consecuencias para cada jugador
• Pagos o función de ganancias
• representan los beneficios o utilidad al acabar
  el juego
• uno para cada jugador para perfil de estrategias
  ui(s)
• definidos sobre todo s(s1,...,sn) ? S
• uiS?R
• existen tantos pagos posibles para cada jugador,
  como elementos en SS1xS2x...xSn
• pueden ser magnituder ordinales (utilidad) o
  cardinales (utilidad esperada, beneficios)

5
Representación del juego

• Forma estratégica o normal
• Forma extensiva

6
Representación del juego (1)

• Forma estratégica o normal
• G1,...,n S1,...,Sn U1,...,Un
• Gráficamente
• mediante una tabla con una entrada para cada
  jugador, donde aparecen todas las estrategias y
  los pagos correspondientes a todas los perfiles
  de estrategias posibles.
• Ejemplos (juegos simultáneos)
• 1. Batalla de los sexos
• 2. Pares o nones (ó juego de las monedas)
• 3. Juegos con preferencia idénticas
• 4. Dilema de los presos
• 5. Halcón-paloma

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1. La batalla de los sexos
JUG 2
B
O
4 , 1
0 , 0
B
JUG 1
1 , 4
-1 , -1
O
.
8
Elementos del juego 1

• Conjunto de jugadores
• N1,2 ó n2
• Conjunto de acciones de los jugadores 1 y 2
• A1 B,O y A2 B,O
• Conjunto de estrategias de los jugadores 1 y 2
• S1 B,O y S2 B,O
• Hay 4 perfiles de estrategias
• (B,B), (B,O), (O,B) y (O,O)
• Los pagos de los jugadores 1 y 2
• u1(B,B)4, u1(B,O)0, u1(O,B)-1, u1(O,O)1
• u2(B,B)1, u2(B,O)0, u2(O,B)-1, u2(O,O)4

9
Estructura del juego 1

• u1(B,B) gt u1(O,O) gt u1(B,O) gt u1(O,B)
• u2(O,O) gt u2(B,B) gt u2(B,O) gt u2(O,B)
• No es un juego estrictamente competitivo. Ni de
  preferencias idénticas. Juego parcialmente
  competitivo
• Región de ganancias cooperativas (existe margen
  para la negociación)
• SOLUCIÓN La veremos una vez definamos conceptos
  de equilibrio adecuados. Se trata de predecir lo
  que los individuos racionales van a hacer,
  descentralizadamente.
• Muchos juegos en economía responden a este patrón
  (dos departamentos de una empresa utilizando
  mismos programas informáticos o diferentes)

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2. El juego de las monedas
JUG 2
CA
CR
1 , -1
-1 , 1
CA
JUG 1
1 , -1
-1 , 1
CR
.
11
Estructura del juego 2

• u1(CA,CA) u1(CR,CR) gt u1(CA,CR) u1(CR,CA)
• u2(CR,CA) u2(CA,CR) gt u2(CR,CR) u2(CA,CA)
• Es un juego estrictamente competitivo
  (preferencias opuestas).
• No existe margen para la negociación.
• Juego de suma cero.
• No son muy interesantes desde el punto de vista
  económico, aunque tienen propiedades matemáticas
  interesantes.

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3. Preferencias idénticas
JUG 2
IZQ
DCHA
1 , 1
-1 , -1
IZQ
JUG 1
1 , 1
-1 , -1
DCHA
.
13
Estructura del juego 3

• u1(I,I) u1(D,D) gt u1(I,D) u1(D,I)
• u2(I,I) u2(D,D) gt u2(I,D) u2(D,I)
• Es un juego con preferencias idénticas. Fácil
  ponerse de acuerdo y cooperar. No existe
  conflicto.
• No son muy interesantes desde el punto de vista
  económico.
• Los individuos cooperaran. Los interesantes son
  los parcialmente competitivos, donde hay margen
  para la negociación.

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4. Dilema de los presos
JUG 2
CA
CO
2 , 2
0 , 4
CA
JUG 1
1 , 1
4 , 0
CO
.
15
Estructura del juego 4

• u1(CO,CA) gt u1(CA,CA) gt u1(CO,CO) gt u1(CA,CO)
• u2(CA,CO) gt u2(CA,CA) gt u2(CO,CO) gt u2(CO,CA)
• Juego parcialmente competitivo
• Región de ganancias cooperativas (existe
  incentivos para cooperar)
• SOLUCIÓN La veremos una vez definamos conceptos
  de equilibrio adecuados. Veremos como la solución
  es no cooperar (ineficiencia).
• Muchos juegos en economía tienen esta estructura
  y esta solución
• Oligopolios
• Pesca
• Aranceles
• Carrera armamentista

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4bis. Oligopolio
JUG 2
A
B
1000 , 1000
-200 , 1200
A
JUG 1
600 , 600
1200 , -200
B
.
17
Ejemplo 5 Halcón-paloma
JUG 2
H
P
2-k , 2-k
4 , 0
H
JUG 1
2 , 2
0 , 4
P
.
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Estructura del juego 5

• Si klt2 Dilema de los presos
• u1(P,H) gt u1(P,P) gt u1(H,H) gt u1(H,P)
• u2(H,P) gt u2(P,P) gt u2(H,H) gt u2(P,H)
• Si kgt2 Juego diferente
• u1(P,H) gt u1(P,P) gt u1(H,P) gt u1(H,H)
• u2(H,P) gt u2(P,P) gt u2(H,P) gt u2(H,H)

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Ejemplo 5bis ciervo-liebre
JUG 2
C
L
2
1
2
C
0
JUG 1
0
1
L
1
1
.
20
Ejemplo 5bis ciervo-liebre
JUG 2
C
L
2
1
2
C
0
JUG 1
0
1/2
L
1
1/2
.
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Representación en forma extensiva (1)

• Forma extensiva
• Se resalta la secuencia y el tipo de información
  disponible.
• Se añade información sobre
• El momento en que cada jugador toma la decisión
• El conjunto de información disponible en cada
  momento
• Se representa mediante un árbol, que se compone
  de
• Un conjunto de nodos (vértice)
• Ramas (aristas)
• No hay ciclos

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Representación en forma extensiva (2)

• Elementos (de dominio público)
• Jugadores
• Nodo inicial (raíz) donde aparece la primera
  decisón.
• Si los juegos son finitos, terminan en nodos
  terminales (donde aparecen los pagos de cada
  jugador)
• Los nodos intermedios son nodos de decisión. De
  ellos salen ramas que representan las acciones o
  las decisiones de los jugadores en ese punto del
  juego.
• Si hay incertidumbre, los nodos que configuran
  una jugada de azar son nodos de incertidumbre,
  donde mueve de la naturaleza. De ellos salen
  ramas que representan sucesos posibles con sus
  probabilidades.
• En este caso los pagos son pagos o utilidades
  esperadas.

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Representación en forma extensiva (3)

• Elementos (de dominio público)
• Conjuntos de información todo lo que conoce el
  jugador a la hora de decidir.
• En los juegos con información perfecta se conoce
  todo el desarrollo del juego hasta ese momento.
  El jugador sabe en el nodo que se encuentra. El
  conjunto de información se compone de un solo
  nodo.
• En los juegos con información imperfecta puede
  que un jugador no conozca en todo el desarrollo
  del juego en qué nodo se encuentre. El conjunto
  de información se compone de más de un nodo.
• Esta característica es la que define información
  imperfecta más que si hay incertidumbre, como
  veremos con los ejemplo siguientes.

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Representación en forma extensiva (4)

• Elementos (de dominio público)
• Estrategias puras Es un plan contingente
  completo. Es un conjunto de acciones para cada
  conjunto de información.
• Jugadas (o Partida) Una secuencia de aristas que
  van desde el nodo inicial al final. La
  representamos entre corchetes.
• Todo esto es de conocimiento común.
• Veamos algunos ejemplos clarificadores...
• En general, se tratan de juegos dinámicos. Pero
  los juegos estáticos también pueden representarse
  en forma extensiva.
• ...Y los juegos dinámicos también se pueden
  representar en forma estratégica o normal. Hay
  que evitar esa confusión.
• Veamos...

25
Ejemplo 6
?
1
d
i
?
?
2
2
D
I
D
I
M
?
?
?
?
2
?
I
(1, -1)
(-1, 1)
(1, -1)
(1, -1)
D
?
?
1
(1, -1)
i
d
?
?
(-1, 1)
(1, -1)
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Ejemplo 6 elementos (1)

• Juego dinámico con 2 jugadores, de suma cero
• Información perfecta, sin jugadas de azar
• 5 conjuntos de información (C.I.) con un nodo de
  decisión cada uno
• Acciones asociadas a cada C.I.
• C.I 1 (nodo inicial) El jugador 1 tiene dos
  acciones posibles i,d
• C.I. 2 El jugador 2 tiene dos acciones posibles
  I,D
• C.I. 3 El jugador 2 tiene tres acciones posibles
  I,M,D
• C.I. 4 El jugador 2 tiene dos acciones posibles
  I,D
• C.I. 5 El jugador 1 tiene dos acciones posibles
  i,d

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Ejemplo 6 elementos (2)

• Estrategias puras
• 4 para el jugador 1
  ii,id,di,dd
• 12 para el jugador 2
  III,IID,
  IMI,IMD,IDI,IDD,DII,DID,DMI,DMD,DDI,DDD
• Jugadas ejemplo d,I,I,d
• Perfil de estrategias ejemplo (di, IID)
• Representación en forma estratégica...

28
Ejemplo 7

• 7. Suponga el siguiente juego de dos jugadores.
  El jugador 1 escoge, primero, una carta alta (a)
  o baja (b), con igual probabilidad. Tras verla,
  puede pasar (P), en cuyo caso pierde el euro o no
  pasar (NP). Si no pasa, el jugador 2 la ve y
  tiene dos opciones pasar (P), en cuyo el jugador
  1 retira su euro, o apostar un euro (A). El
  jugador con la carta más alta gana y se llevan el
  dinero de la mesa.
• Represente el juego en forma extensiva.

.
29
Práctica

• 7. El jugador 1 elige primero una acción entre
  L,M,R. Después el jugador 2 la observa si es
  L o no y escoge a continuación entre l,r
• Tirole, p. 638
• 8. El jugador 1 elige primero entre I,D.
  Después el jugador 2 escoge entre I,D al
  observar I ó D . Después el jugador 3
  observa D,D o no observa nada y escoge entre
  I,D
• Gibbons, p. 121
• 9. Represente el juego de las tres en raya.
• Binmore, p. 28 Mas-Collel et al., p. 220

.
30
Práctica

• 10. Suponga el siguiente juego de dos jugadores
  que ponen 1 euro en la mesa. El jugador 1 escoge,
  primero, una carta alta (a) o baja (b), con igual
  probabilidad. Tras verla, puede pasar (P), en
  cuyo caso pierde el euro o apostar otro euro (A).
  Si apuesta, el jugador 2, que no la ve, tiene dos
  opciones pasar (P), en cuyo caso pierde el euro,
  o apostar otro euro (A). Si la carta es alta gana
  el jugador 1 y si es baja gana el jugador 2. El
  que gane se llevan el dinero de la mesa.
• Represente el juego en forma extensiva y
  estratégica
• Se trata de un juego estático o dinámico y de
  información perfecta o imperfecta?
• Ricart, ejemplo 4

.
31
Práctica

• 7.1bis. Suponga el siguiente juego de dos
  jugadores que ponen 1 euro en la mesa. El jugador
  1 escoge, primero, una carta alta (a) o baja (b),
  con igual probabilidad. Tras verla, puede pasar
  (P), en cuyo caso pierde el euro o seguir (S). Si
  sigue, el jugador 2, que no la ve, tiene dos
  opciones pasar (P), en cuyo caso pierde el euro,
  o ver (V). Si la carta es alta gana el jugador 1
  y si es baja gana el jugador 2. El que gane se
  lleva el dinero de la mesa.
• Represente el juego en forma extensiva y
  estratégica
• Se trata de un juego estático o dinámico y de
  información perfecta o imperfecta?
• Es otra variante del juego 7 y 7.1.

.
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Fundamentos del Análisis Económico I

• Teoría de juegos
• Tema 2
• Rafael Salas
• febrero de 2006