Conceptos B

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Conceptos Básicos de Probabilidad
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• EXPERIMENTO
• Es cualquier acto o proceso en el que se realizan
  observaciones que no puede ser predecidas con
  certeza.
• EVENTO SIMPLE
• Es el resultado más básico de un experimento. Es
  un punto en el espacio muestral.
• EVENTO O SUCESO
• Es una colección específica de eventos simples.
• ESPACIO MUESTRAL
• S De un experimento es el conjunto que consta de
  la totalidad de puntos muestrales (eventos
  simples), mutuamente excluyentes, que resultan de
  la ejecución del experimento.

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ENFOQUES DE PROBABILIDAD

• PROBABILIDAD SUBJETIVA
• PROBABILIDAD OBJETIVA
• Clásica o a Priori
• Frecuencia Relativa o a Posteriori
• Axiomático

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Probabilidad Subjetiva

• La posibilidad (probabilidad) de que suceda un
  evento, asignado por una persona (opinión
  experta) con base en cualquier información de que
  disponga.
• Significa evaluar las opiniones disponibles y
  otra información subjetiva para luego llegar a la
  probabilidad.
• Por ej. esta vaca tiene una probabilidad de 60
  de parir esta noche.
• Desventajas
• 1. Son difíciles de defender cuando son puestas
  en duda.
• 2. Difícil de identificar los sesgos del
  informante.

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Probabilidad Clásica o a priori

• Se basa en la consideración de que los resultados
  de los experimentos son igualmente posibles y
  mutuamente excluyentes. Se basa en el modelo
  teórico.
• ESuceso ncasos posibles hnúmero de casos
  en que el suceso ocurre.
• Todos los eventos simples son igualmente posibles
• La probabilidad de aparición del suceso
  (ocurrencia) está dada por P(E)h/n

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Probabilidad Clásica o a priori

• La probabilidad de no-ocurrencia (no aparición)
• q P(no E) (n-h)/n 1 (h/n) 1 p 1
  P(E)
• P(E) es un número comprendido entre 0 y 1.
• p0 es un suceso imposible p1 suceso cierto.
• Limitaciones
• En muchas situaciones la ocurrencia de eventos
  simples posibles no es igualmente probable, ni
  mutuamente excluyentes.

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Concepto de frecuencia relativa o probabilidad a
posteriori

• Se determina observando en que fracción de
  tiempo sucedieron eventos semejantes en el pasado
  (Probabilidad Estimada o Empírica).
• La probabilidad será el límite de la frecuencia
  relativa cuando el número de observaciones crece
  indefinidamente.
• La probabilidad así determinada es solo una
  estimación del valor verdadero.
• Cuanto mayor es el tamaño de la muestra mejor es
  esta estimación.
• La probabilidad son solo válidas bajo las mismas
  condiciones en los cuales los datos fueron
  originados.

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Concepto de frecuencia relativa o probabilidad a
posteriori

• La probabilidad de que un evento ocurra a largo
  plazo se determina observando en que fracción de
  tiempo sucedieron eventos semejantes en el
  pasado.
• P número de veces que ocurrió en el
  pasado/número de observaciones.
• Ejemplo probabilidad de parto múltiples en
  bovinos

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Concepto de frecuencia relativa o probabilidad a
posteriori
10
Encare Axiomático

• PROBABILIDAD
• De un Evento Simple es un número entre 0 y 1.
• COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVO La suma de todos los
  resultados mutuamente excluyentes es igual a 1,
  por lo menos uno de los eventos ocurre cuando se
  realiza un experimento.

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Calculo de la Probabilidad de un Evento

• Definir el experimento
• describir el proceso usado para hacer una
  observación y el tipo de observación que será
  registrada.
• Listar todos los Eventos Simples Posibles
• Asignar Probabilidad a cada Evento Simple.
• Determinar la Composición del Evento de interés
• Calcular la probabilidad del Evento
• Sumando la probabilidad de los eventos simples.

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DEFINICION AXIOMATICA
Se llama probabilidad a cualquier función P que
asigna a cada suceso A del espacio muestral S un
valor numérico P(A), verificando los siguientes
axiomas
1.- No negatividad 0 P(A)
2.- P(S) 1
3.- Aditividad P(A ? B) P(A) P(B) si A n
B Ø (donde Ø es el conjunto vacío).
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REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD

• Complemento
• General de Adición
• Especial de Adición
• General de Multiplicación
• Especial de Multiplicación

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Nomenclatura

• Probabilidad de ocurrencia de A y B
• p(A?B) A intersección B
• Probabilidad de ocurrencia de A o B
• p(A?B) A unión B
• Probabilidad de B dado que ya ocurrió A
• p(BA) (probabilidad condicional)

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Eventos o Sucesos

• Cuando se realiza un experimento aleatorio
  diversos resultados son posibles. El conjunto de
  todos los resultados posibles se llama espacio
  muestral (S).
• Se llama suceso o evento a un subconjunto de
  dichos resultados.
• Se llama evento complementario de un suceso A,
  al formado por los elementos que no están en A y
  se denota Ac
• Se llama evento unión de A y B, A?B, al formado
  por los resultados experimentales que están en A
  o en B (incluyendo todos los que están en ambos).
• Se llama evento intersección de A y B, AnB al
  formado por los elementos que están en A y B

intersección
unión
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Regla del Complemento

• Probabilidad del complemento de un evento A es el
  evento donde A no ocurre (Ac o ), en otras
  palabras es la suma de todos los eventos simples
  donde A no ocurre. La suma de un evento con su
  complementario es igual a 1.
• P(A) P(Ac) 1 P(A) 1 P(Ac)

• Ejemplo
• Si la probabilidad de un gatito vacunado entre la
  semana 9 y 13 contra rinotraqueitis viral felina
  de contraer la enfermedad es de 0.04, la
  probabilidad de estar adecuadamente protegido (o
  de no contraer la enfermedad) es 1-0.04 0.96

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Regla General de Adición

• La unión de dos eventos A y B es un nuevo evento,
  cuya probabilidad se calcula sumando las
  probabilidades de los puntos que lo forman
• Ejemplo cual es la probabilidad que al elegir una
  carta de truco aleatoriamente y que saquemos un 2
  o una espada.

unión
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S (12 elementos o puntos muestrales)
Si P1/n para cada punto

B
A











P(A)7/12
P(A?B)3/12
P(B)6/12
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S (12 elementos o puntos muestrales)
Si P1/n para cada punto

B
A











P(A?B)10/12
P(A?B) 7/12 6/12 3/12 10/12
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Regla Especial de Adición

• Si 2 eventos son mutuamente excluyentes (cuando
  ocurre un evento, ninguno de los otros puede
  ocurrir al mismo tiempo) la probabilidad de que
  ocurra uno u otra es igual a la suma de sus
  probabilidades.
• Ejemplo una línea de envasado de vacunas muestra
  que hay frascos correctamente llenos (900), hay
  frascos con menos dosis (25) y hay frascos con
  más dosis (75)
• cuál es la probabilidad de llenado incorrecto?

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S (12 elementos o puntos muestrales)
Si P1/n para cada punto

B
A











P(A?B)7/12
P(A?B) 4/12 3/12 7/12
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Probabilidad Condicional

• A veces tenemos información adicional que nos
  altera la probabilidad de su presentación. Hay
  una reducción del espacio muestral.
• La probabilidad de que A ocurra dado que B se ha
  presentado se denota como P(AB).
• Es igual a la P(A) cuando la ocurrencia de B no
  afecta la presencia de A y se dice que A y B son
  independientes.
• P(AB) P(A) INDEPENDENCIA
• Si la probabilidad que ocurra A es afectada por
  la ocurrencia de B se dice que los sucesos son
  dependientes.

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S (12 elementos o puntos muestrales)
Si P1/n para cada punto

B
A











P(AB) 3/12/6/123/6
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Regla General de Multiplicación

• Indica que para dos eventos la probabilidad
  conjunta de que ambos ocurran resulta de
  multiplicar la probabilidad del primero por la
  probabilidad de que ocurre el segundo dado que el
  primero ocurrió.

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Independencia

• A veces, la información de la ocurrencia de un
  evento no nos da información adicional sobre la
  ocurrencia de otro.
• Si la probabilidad de que A ocurra dado que B se
  ha presentado P(AB) es igual a la P(A), quiere
  decir que la ocurrencia de B no afecta la
  presencia de A y se dice que A y B son
  independientes.
• P(AB) P(A) INDEPENDENCIA

Ecuación General
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Regla Especial de Multiplicación

• Esta regla requiere que los sucesos sean
  independientes esto es cierto si la ocurrencia de
  uno no altera la probabilidad del otro.
• Ejemplos
• P(sacar 2 caras) al tirar 2 monedas al aire
• P(de sacar un oro y un 3) en un mazo de cartas.

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Probabilidad condicionada
P(A) 0,25 P(B) 0,10 P(AnB) 0,10
P(A) 0,25 P(B) 0,10 P(AnB) 0,08
Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?
P(AB)0,8
P(AB)1
28
Intuir la probabilidad condicionada
P(A) 0,25 P(B) 0,10 P(AnB) 0,005
P(A) 0,25 P(B) 0,10 P(AnB) 0
Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?
P(AB)0
P(AB)0,05
P(A?B)P(A) P(BA)P(B) P(AB)
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Teorema de la probabilidad total
A2
A1
Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de
los componentes de un sistema exhaustivo y
excluyente de sucesos, entonces podemos calcular
la probabilidad de B como la suma de todas las
intersecciones.
P(BA1)
P(A1)
P(BA2)
P(A2)
A3
A4
P(BA3)
P(A3)
P(A4)
P(BA4)
P(B) P(BnA1) P(BnA2 ) P( BnA3 ) P( BnA4
) P(A1) P(BA1) P(A2) P(BA2)
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Teorema de Bayes
Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de
los componentes de un sistema exhaustivo y
excluyente de sucesos, entonces si ocurre B,
podemos calcular la probabilidad (a posteriori)
de ocurrencia de cada Ai.
A1
A2
A3
A4
P(B) se puede calcular usando el teorema de la
probabilidad total P(B)P(BnA1) P(BnA2 ) P(
BnA3 ) ( BnA4 ) P(BA1) P(A1) P(BA2) P(A2)

31
Teorema de Bayes