Instituto Tecnol

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Instituto Tecnológico de Costa Rica

• REGLAS DE SIMPSON

Métodos Numéricos
2
AGENDA

• Regla de Simpson
• Introducción
• De 1 / 3
• De 3 / 8
• Desarrollo de problemas
• Manualmente
• Mediante Matlab

3
Regla de Simpson

• Es un método para estimar el resultado de una
  integral.

• Es una mejor aproximación a la regla Trapezoidal,
  sin incurrir en un mayor número de subdivisiones.
  

• Ajusta una curva de orden superior en lugar de
  una línea recta como en la regla trapezoidal

4
Regla Trapezoidal
Polinomio de primer orden
o
o
a
b
ancho altura promedio
5
Regla Trapezoidal
o
o
o
a
b
Dos segmentos
6
Regla Trapezoidal
o
o
o
o
a
b
Tres segmentos
7
Regla de Simpson (1/3)
Aproximación a la Regla trapezoidal.
Polinomio de Segundo orden
o
o
o
a
b
ancho altura promedio
8
Regla de Simpson (3/8)
Polinomio de tercer orden
o
o
o
o
a
b
ancho altura promedio
9
Problemas

• Descripción del problema 1

Se tiene un sistema magnético en un
transformador, en donde la energía se almacena en
la inductancia. Recordemos que la energía en este
caso está relacionada con el enlazamiento de
flujo ? y sabemos que la corriente en función de
los enlazamientos de flujo es i(?) (?/2-10)5.
Determine la energía almacenada en la inductancia
desde ?20, hasta ?25Wb. Además encuentre el
error estimado usando la regla de Simpson.
10
Problemas

• Solución Matemática problema 1

La energía está dada por la siguiente
ecuación     Sustituyendo la ecuación
anterior en la integral
11
Problema 1
Utilizando el método de Simpson 1/3, hacemos la
siguiente aproximación
Determinación de puntos
Sustituyendo en (2)
12
Problema 1
El error de truncamiento o error estimado en este
ejemplo está dado por la ecuación
(3)
Hacemos la siguiente aproximación
(4)
13
Problema 1
Derivando la expresión  
Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación
(4) y colocando los límites de integración se
obtiene
14
Problema 1
Ya obtenido el valor anterior sustituimos en la
ecuación (3) para encontrar el error.     Si
derivamos de manera analítica la solución es
81.3802083333.   Si restamos el valor real menos
el aproximado obtenido con la regla de SImpson se
obtiene .   En este caso se concluye que el
error es el mismo.
15
Problemas

• Descripción del problema 2

Utilice la regla de 1/3 Simpson para evaluar la
doble integral.     Los límites de
integración son a1, b3, c(x) ln(x), d(x) 3
exp(x/5).
16
Problema 2

• Solución matemática problema 2

Para aplicar la regla de Simpson puede hacer la
siguiente sustitución
Por lo que se obtiene
Aplicando la regla de Simpson se obtiene
17
Problema 2
Los puntos son los siguientes   X0 1 X1 2
X23      Por lo tanto sustituyendo () en ().
Obtenemos  
18
Problema 2
   
 
19
Problemas

• Solución en Matlab problema 2

20
Problemas

• Descripción del problema 3

El circuito de la figura 1 corresponde al de un
amplificador operacional conectado como
integrador. La ecuación que relaciona el voltaje
de salida con el voltaje de entrada es la
siguiente
Si , R1 100 kohm, Cf 4.7uF y Vc 2V.
Calcule el voltaje de salida en t de 0 a 0.8
segundos.
Figura 1 Amplificador operacional conectado como
un integrador.
21
Problema 3
a) Solución del problema en forma
analítica        
22
Problema 3
b) A continuación se muestra la solución del
problema utilizando la Regla de Simpson  
Determinación de los puntos
       
23
Problema 3
Si n 4, para obtener la integral se utiliza la
regla de Simpson 1/3, aplicación múltiple. La
primera sumatoria va de i1,3,5 a n-1 y la
segunda de j2,4,6 a n-2   

Por lo tanto el voltaje de salida es
24
Problema 3
El error exacto es
El error estimado se calcula como
Como
25
Problema 3
Así  
26
Problemas

• Solución en Matlab problema 3

27
Regla de Simpson 3/8

• Por cálculos
• Programado

28
Problema 1
Datos tabulados Datos tabulados
t f(t)
1,6 4,593
1,8 6,05
2 7,389
2,2 9,025
2,4 11,023
2,6 13,464
2,8 16,445
3 20,066
3,2 24,533
3,4 29,964

• Para los datos de máximo punto del volumen en un
  tanque, tabulados en una fábrica de jugos y
  medidos por un sensor cada cierto tiempo

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Integrar con trapecio de segmentos múltiples

• n-1
• I (b-a)2? f(xi) f(xn)/2n
• i1
• I (3,4-1,6) 4,5932(108,015 29,964)
• 218
• I 25,0547

30
Aplicando Simpson 3/8

• I1 (0,6)4,5933(6,050)3(7,389)9,025
• 8
• I1 4,045125
• I2 (0,6)9,0253(11,023)3(13,464)16,445
• 8
• I2 7,4198
• I3 (0,6)16,4453(20,086)3(24,533)29,964
• 8
• I3 13,1449
• I 24,6099

31
Problema 2 Chapra

• Con la regla de Simpson de 3/8 integre la función
  f(x) 0,225x-200x2675x3-900x4400x5.
• Desde a 0 hasta
• b 0,8.

32
Resolución del problema

• n 3 ? h 0,8-0 0,2667, entonces,
• 3
• f(0) 0,2 f(0,2667) 1,433
• f(0,5333) 3,487 f(0,8) 0,232
• I 0,80,23(1,4327243,4871770,232
• 8
• I 1,519170.

33
Errores en el problema

• Error de truncamiento
• Et 1.640533 1,519170 0,1213630
• Et 7,4
• Para un error estimado de
• Ea -(0,8)2(-2400)
• 6480
• Ea 0,1213630.

34
Problema 3 - programado

• include ltiostream.hgt
• include ltiostream.hgt
• include ltstdlib.hgt
• include ltstdlib.hgt
• include ltstdio.hgt
• include ltconio.hgt
• include ltmath.hgt
• int Lee_Datos(void)
• int Nseg
• float a,b
• double Xi
• float X10
• float Fx10

• int main (void)
• int i
• float Base
• double Area
• double SumMulti 0
• double SumResto 0
• Lee_Datos()
• Base (b-a)/Nseg
• Xi a

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Encabezados

• printf("\nDatos Tabulados.......")
• printf("\n-------------------------")
• printf("\n i Xi Funcion")
• printf("\n-------------------------")
• printf("\n 0 .2f .4lf",a,Fx0)

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Inicia Proceso (Calculo de Sumatorias)

• for ( i1 iltNseg i)
• Xi Base
• if ( i (i/3)3 )
• SumMulti 2Fxi
• else
• SumResto 3Fxi
• printf("\n 2d .2f
  .4lf",i,Xi,Fxi)
• printf("\n 2d .2f .4lf",Nseg,b,Fxi
  )

37
Aplicación de la Fórmula

• Area 3(b-a)/(8Nseg)( Fx0 SumMulti
  SumResto FxNseg)
• printf("\n--------------------------------------
  ----")
• printf("\n Area bajo La Curva es gt
  .8lf",Area)
• getche()

38

• int Lee_Datos(void)
• printf("\n Numero de Segmentos (Multiplo de 3)
  ")
• scanf("d",Nseg)
• printf("\n Valor de a gt")
• scanf("f",a)
• printf("\n Valor de b gt")
• scanf("f",b)

39
Cambiar valores aqui

• X0 0 F x0 0
• X1 2 F x1 4
• X2 4 F x2 16
• X3 6 F x3 36
• X4 8 F x4 64
• X5 10 F x5 100
• X6 12 F x6 144