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Résistance des structures
Chapitre 1 Équilibre et statique des
poutres Chapitre 2 Contraintes et
déformations Chapitre 3 Théorèmes énergétiques
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Ch 1 Équilibre et statique des poutres
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I. Définition
I.1. But de la Résistance Des Matériaux
Déterminer par le calcul les dimensions
éléments dune machine, dun édifice
Vérifier la stabilité dans les meilleures
conditions de SÉCURITÉ et dÉCONOMIE
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Deux orientations possibles de dimensionnement
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I.2. Hypothèses de la RDM - dimension
longitudinale principale, - matériaux
homogènes, isotropes, et linéaires, -
classification des solides
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Exemples concrets de structures poutre
Pylône électrique
Ressort de suspension
Ski
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- schématisation
est un vecteur unitaire tangent à la ligne moyenne
où
et
sont axes principaux d inertie
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II. Équations d équilibre
II.1. Sollicitations et conditions d appui
- les sollicitations
- efforts et moments ponctuels
- efforts et moments répartis
torseur au point G
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- forces intérieures
ex
F2
R
M
(2)
S
S
(1)
(1)
(S)
M1
M1
ez
F1
F1
ey
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- les différentes liaisons
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II.2. Équations d équilibre global
le Principe Fondamental de la Statique donne
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- degré d hyperstaticité
n inconnues de réaction p équations d équilibre
( p - n ) est le degré d hyperstaticité
( p - n ) gt 0 hypostatique ( p - n ) 0
isostatique ( p - n ) lt 0 hyperstatique
Exemples
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II.3. Équations d équilibre local
Évaluer le torseur des efforts intérieurs
Exemple Cas dune poutre console
A
B
(L)
XA ,YA et MAz
P.F.S
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On réalise une coupure fictive entre A et B en un
point P dabscisse x
Équilibre de la partie gauche
Équilibre des moments au point P
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Méthode de détermination du torseur des efforts
intérieurs

• coupure fictive entre chaque singularité (point
  dappui ou point de charge)
• Rint somme des efforts extérieurs situés à
  gauche
• Mint somme des moments situés à gauche la
  somme des

Relation entre les éléments du torseur des
efforts intérieurs
et
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III. Caractérisation géométrique des poutres
III.1. Moment statique
Exemples
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III.2. Détermination du centre de gravité
Si (S) est décomposée en nombre fini d aires
(Si)
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Exemple
Calculer la position du centre de gravité
0
XG 15.45 mm YG 25.45 mm
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III.3. Moment quadratique
- moment produit
- moment quadratique ou moment d inertie
- moment d inertie polaire
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Exemples
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- théorème de HUYGENS
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Ch 2 Contraintes et déformations
I. Notion de contrainte II. Notion de
déformation III. Relation contraintes -
déformations
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Position du problème
?
Structure poutre
Prévoir la rupture
- nature du matériau - modèle géométrique
déformation - la loi de comportement
contrainte / déformation
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I. Notion de contrainte
contrainte
rapport d un effort par une surface
unité d une pression Pa, MPa, daN/mm2
Fn
S
Ft
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II. Notion de déformation
Solides indéformables
Solides DEFORMABLES
déformation relative
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III. Relation contraintes - déformations
III.1. Hypothèses et principes
Principe de Saint - Venant
Théorie de lélasticité
Identité de la répartition - des
contraintes - des déformations
R.D.M
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Principe de superposition des états d équilibre

En un point donné


Déplacements et Contraintes (1)
Déplacements et Contraintes (2)
Déplacements et Contraintes (3)
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III.2. Loi de comportement de quelques
sollicitations simples
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- traction unidirectionnelle
Déformation longitudinale
Déformation transverse
Contrainte normale
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Courbe dévolution contrainte / déformation
Loi de HOOKE
Coefficient de POISSON
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Concentration de contraintes
Variation brusque de section
Répartition des contraintes non uniforme
(coefficient de concentration de contraintes)
Exemples
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- compression
Hypothèses

• matériau homogène et isotrope,
• poutre à axe rectiligne vertical,
• 2 sections droites Sa et Sb parallèles.

Condition de compression pure
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Courbe dévolution contrainte / déformation
Résultats analogues à une sollicitation de
traction

• - déformation élastique
• déformation permanente
• rupture

• pas de palier plastique
• pas de striction

Modes de rupture
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- cisaillement
Configuration initiale
Configuration déformée
g est l angle de glissement
contrainte tangentielle moyenne
module de COULOMB
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- sollicitation de flexion
Calculer l effort tranchant et le moment
fléchissant le long de la poutre
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diagramme du moment fléchissant et de l effort
tranchant
Entre B et C
Flexion pure sur BC
déformée en arc de cercle de courbure constante
R (sections planes et normales à la fibre
moyenne)
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On considère un tronçon de poutre situé dans la
partie BC
Hypothèses

• chaque section tourne d un angle dq
• dx AA1 et GA V
• OG R rayon de courbure
• angle dq est petit et négatif

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Déformation longitudinale
Loi de HOOKE
Équilibre d une section
Or, le rayon de courbure R est tel que
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Évaluation de la contrainte de cisaillement
Contrainte tangentielle de cisaillement
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- sollicitation de torsion uniforme
contraintes tangentielles
autour de l axe porté par
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Ch 3 Théorèmes énergétiques
I. Définition II. Énergie de déformation III.
Théorèmes énergétiques
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I. Définition
déformation élastique de la poutre
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Exemple cas dune sollicitation de traction
Hypothèses

• effort de traction variable
• proportionnalité entre leffort et lallongement

Aire du triangle OAB
Travail de leffort de traction
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- Équilibre dun tronçon de longueur dx
Loi de HOOKE
Énergie de déformation élémentaire
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II. Énergie de déformation
D une manière générale
Effort normal traction/compression
Effort tranchant Ty ou Tz
Moment fléchissant My ou Mz
Moment de torsion Mx
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- Cas général
effort normal effort tranchant moment
fléchissant moment de torsion
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III. Théorèmes énergétiques
III.1. Théorème de Clapeyron
Travail des forces extérieures
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III.2. Théorème de réciprocité de Maxwell - Betti
Théorème

Flèche dans la section S1 due à la charge P en S2
Flèche dans la section S2 due à la charge P en S1
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III.3. Théorème de Castigliano
Théorème le déplacement du point dapplication
dune force dans sa direction (ou la rotation
dun couple) est égale à la dérivée partielle de
lénergie de déformation par rapport à cette
force (ou à ce couple) 
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III.4. Théorème de Ménabréa
Théorème  la dérivée partielle de lénergie de
déformation par rapport à chacune des inconnues
surabondantes est nulle, à condition que les
points dapplication des forces ne bougent pas
(Ui 0) ou que les sections ne tournent pas (qi
0)
Structure hyperstatique d inconnues
surabondantes Ri
Wd f(Ri)
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III.5. Calcul du déplacement d un point non
chargé
Poutre sur 2 appuis
Flèche en G ?
Théorème de CASTIGLIANO