Diapositiva 1

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El mundo de la Integral
2
La Integral

• En pocas palabras la Integral es la operación
  inversa a la Derivada
• Tiene muchas formas de trabajar y variadas
  aplicaciones

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Tipos

• Integral definida
• Integral indefinida

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Integral definida

• Sirve para calcular el área de debajo de una
  curva lineal en un intervalo

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• Dada una función continua en un intervalo a,b
• se define la integral definida entre a y b de la
  función f como el área S limitada por las rectas
  xa, xb, el eje de abscisas y la curva definida
  por la representación gráfica de f. Se denota por

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• Por ejemplo, si f es la función constante f(x)3,
  entonces la integral de f entre 0 y 10 es el área
  del rectangulo limitado por las rectas x0, x10,
  y0 y y3. El área corresponde al producto de la
  anchura del rectángulo por su altura, por lo que
  aquí el valor de la integral es 30.
• Si se tiene una primitiva (integral indefinida)
  de la función f
• entonces, y según la Regla de Barrow
• Siempre y cuando ni la integral ni la función
  integrada no presenten singularidades en el
  intervalo de integración.
• A esta relación entre la integral indefinida y la
  superficie bajo la función se le denominaTeorema
  fundamental del calculo integral
• 
  
  tipos

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Integral Indefinida

• Dada una función F(x) tal que su derivada es
  F'(x) f(x), entonces decimos que F es la
  integral o primitiva de f, definiendo así la
  integración como la inversa de la derivación.
  Simbólicamente, se denota por
• Una función dada no tiene una única integral
  indefinida. Por ejemplo, para la función f(x) x
  2, las siguientes funciones son todas
  primitivas de la misma
• En general, si F(x) es una primitiva de f(x),
  entonces cualquier función de la forma F(x)c,
  siendo c una constante cualquiera, es también una
  primitiva de f(x).
  
  tipos

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Teorema fundamental del calculo

• Teorema Si una función f es continua en el
  intervalo a,b, entonces
• donde F es cualquier función tal que F(x) f(x)
  para todo x en a,b.
• La función f se llama el integrando y las
  constantes a y b son los límites de integración.
  El proceso de hallar el valor de una integración
  definida se llama evaluar el integral.
• 
  
  precursores

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• Resumiendo
• Teorema
• -cuando c es una constante.

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Propiedades de integración

• donde k es una constante
• donde altcltb

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Aplicaciones

• A) Cálculo de Áreas
• B) Cálculo de volúmenes

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A)1.-Area de una región comprendida entre dos
curvas 

• Si f y g son funciones continuas en el intervalo
  a,b y
• para todo x en a,b, entonces el área de la
  región limitada por y f(x), y g(x),
• x a y x b. es

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• Donde f(x) representa la curva de arriba y g(x)
  representa la curva de abajo. En la ilustración a
  continuación, f(x) es la parábola que abre hacia
  abajo (observa que es la curva de arriba en la
  región limitada por ambas funciones) y g(x) es la
  parábola que abre hacia arriba (esta es la curva
  de abajo en la región limitada por ambas
  funciones). 

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Pasos para hallar el área de una región
comprendida por una curva arriba y otra abajo

•  1) Dibuja las gráficas. Esto permite
  visualizar qué curva está arriba y cuál está
  abajo.
• 2) Halla los límites de integración, los cuales
  se leen en el eje x.
• 3) Halla

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A)2.-Región limitada por curva derecha y curva
izquierda

• El proceso para calcular el área de una región
  limitada por una curva a la derecha y otra a la
  izquierda es similar al anterior. Se recomienda
  dibujar las gráficas para visualizar qué curva
  está a la derecha y cuál a la izquierda. Los
  límites de integración se leen en el eje y, y se
  halla de la forma
• Donde en esta ocasión f(y) representa la curva de
  la derecha y g(y) la curva de la izquierda.
• 
  aplicaciones

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B).-Volúmenes de cuerpos de revolución

• Los sólidos de revolución son sólidos que se
  generan al girar una región plana alrededor de
  ejes. Por ejemplo el cono es un sólido que
  resulta al girar un triángulo recto alrededor de
  uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un
  rectángulo alrededor de uno de sus lados.
• El volumen de un cono y de un cilindro se puede
  calcular por medio de fórmulas geométricas. Pero
  existen otros sólidos de revolución como la
  paraboloide donde no se dispone de una fórmula
  para hallar su volumen. La paraboloide surge al
  girar una región parabólica alrededor de una
  recta.
• Cono
  
  paraboloide

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B)1.-Volumen de un sólido de revolución cuya
rotación es alrededor del eje x por el método de
discos

• El volumen de un sólido que se genera al girar la
  región entre la gráfica de una función continua y
  f(x) y el eje x de x a a x b alrededor del
  eje x es

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B)2.-Volumen de un sólido de revolución cuya
rotación es alrededor del eje y por el método de
discos

• El volumen de un sólido que se genera al girar la
  región entre la gráfica de una función continua y
  el eje y de y c a y d alrededor del eje y
  es

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B)3.-Volumen de un sólido de revolución que no
tiene borde en el eje de rotación por el método
de arandelas

• Si la región que se gira para generar un sólido
  no tiene borde en el eje de rotación, entonces el
  sólido tiene un agujero. El volumen se determina
  por
• donde R es el radio exterior y r es radio
  interior.

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B)4.-Volumen de un sólido de revolución por el
método de capas (cascarones cilíndricos)

• Se conoce como el método de capas o cascarones
  cilíndricos porque utiliza capas cilíndricas. Un
  cascarón cilíndrico es un sólido acotado por dos
  cilindros circulares rectos concétricos. Para
  hallar el volumen de un sólido de revolución por
  el método de capas se utilizan las siguientes
  fórmulas
• I.- Si el eje de rotación es horizontal,
  entonces
• Donde y representa el radio de la capa cilíndrica
  y g(y) la altura de la misma. El intervalo de
  integración se lee en el eje de y.

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• II.-Si el eje de rotación es vertical, entonces
• Donde x representa el radio de la capa cilíndrica
  y f(x) la altura de la misma. El intervalo de
  integración se lee en el eje de x
• 
  aplicaciones

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Precursores

• Isaac Barrow, Isaac Newton y Gottfried Leibniz,
  fueron los que dieron forma al Teorema
  fundamental del calculo
• Isaac Barrow formulo reglas sobre la integral y
  se llamaron reglas de Barrow

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Teorema de Barrow

• Dada una funcion f continua en el intervalo a
  b y sea F(x) cualquier función primitiva de f,
  es decir F' f
• volver

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• Francisco Fernández Robles 4ºC 2007