Estructura hexagonal de las modalidades

1
Estructura hexagonal de las modalidades óntica en
Aristóteles

• Julián MOLIAN ZAMBRANO

2

• La lógica modal es una de las partes más
  difíciles de la lógica de Aristóteles.
• Se presenta en dos libros para los enunciados en
  Peri Hermeneia (12 y13) y en los Primeros
  Analíticos (I, 3 y 13), para los silogismos en
  los Primeros Analíticos (I, 8-22).
• En estos textos, encontramos dos sentidos de
  posibilidad o contingencia, que están en el
  origen de confusiones.

3
Las modalidades

• El modo es triple (1) uno determina al sujeto de
  la oración (un hombre blanco corre), (2) otro
  determina al predicado (Sócrates es un hombre
  blanco), y (3) el tercero determina a la
  composición del predicado con el sujeto (Que
  Sócrates corra, es posible). Y sólo del tercer
  tipo es que la oración se denomina modal.

4
Los modos

• Los modos son seis verdadero, falso, necesario,
  posible, imposible y contingente. Sin embargo,
  verdadero y falso no añaden nada a la
  significación, porque indican lo mismo cuando se
  dice Sócrates corre que cuando se dice es
  verdad que Sócrates corre, igualmente Sócrates
  no corre y es falso que Sócrates corre.

5

• Como el predicado determina al sujeto, es
  necesario que, para tener una oración modal, el
  verbo de la unión del sujeto y el predicado, se
  tome como sujeto. En latín el verbo de la
  proposición se pone en infinitivo y el sujeto en
  acusativo (Socratem currere en lugar de Socrates
  currit). A esto se denomina dictum. Ahora bien,
  cuando el dictum se toma como sujeto y el modo
  (necesario, imposible, posible y contingente)
  como predicado, tenemos una oración modal
  Socratem currere est possibile.

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De dicto y de re

• Las oraciones modales pueden ser del dictum o de
  las cosas. Las modales de dicto toman al dictum
  como sujeto y al modo como predicado (Socratem
  currere est possibile). Las modales de re se
  originan cuando el modo se coloca dentro del
  dictum (Socratem possibile est currere).
• Todas las oraciones de dicto son singulares,
  mientras que las de re se conciben como
  universales, particulares, singulares e
  indefinidas según el sujeto del dictum.

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• Las modales de re corresponde a la estructura
  aristotélica, donde el modo no determina a la
  composición del sujeto y el predicado mediante
  el verbo, sino al predicado o al modo como el
  atributo determina al sujeto.
• A es posiblemente B se puede analizar en si x
  es A entonces x es posiblemente B.
• Las modales de dicto tienen la estructura de
  Teofrasto Es posible que A sea B.

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Sobre la Interpretación

• de Aristóteles

9
Comentario de santo Tomás

• Este libro se titula Sobre la interpretación,
  como si se dijera Sobre la frase enunciativa,
  porque es en ella donde se encuentra lo verdadero
  y lo falso El enunciado es un discurso que
  significa lo verdadero o lo falso.

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Su finalidad

• La lógica se dice ciencia racional. Su
  consideración trata necesariamente sobre lo que
  pertenece a las tres operaciones de la razón. Lo
  que pertenece a la primera operación de la
  inteligencia, es decir, lo que es concebido por
  una inteligencia, Aristóteles lo trata en el
  libro de las Categorías.

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Comentario de santo Tomás

• Lo que pertenece a la segunda operación, a
  saber, a la enunciación afirmativa y negativa, el
  Filósofo lo trata en el libro Sobre la
  interpretación. Enseguida, lo que pertenece a la
  tercera operación, lo trata en el libro de los
  Primeros Analíticos

12
Comentario de santo Tomás

• Es por lo que, en conformidad con el orden
  mencionado de las tres operaciones, el libro de
  las Categorías está ordenado al libro Sobre la
  interpretación, el cual está ordenado al libro de
  los Primeros Analíticos y siguientes.

13
C. W. A. Whitaker

• Esta visión no es correcto. El libro De
  Interpretatione no presupone las Categorías. Más
  bien, comienza con lo básico y proporciona en los
  capítulos del 1 al 6 los elementos necesarios
  para el trabajo real, contenido en los capítulos
  del 7 al 14. Tampoco es una preparación para los
  Primeros Analíticos.
• El tema central del De Interpretatione no es la
  proposición, vista como el elemento básico del
  silogismo, sino los pares contradictorios y sus
  implicaciones.

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• El tratado está orientado así a los Tópicos y a
  los Elencos Sofísticos, que trata de las
  preguntas y respuestas de las cuestiones
  dialécticas, con el fin de refutar una tesis.
• El dialéctico debe ser capaz de clasificar las
  proposiciones en pares contradictorios debe
  conocer la contradictoria de la tesis, ambas
  contradictorias debe conocerlas para responder a
  la cuestión.

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Estrategia didáctica

• Con el supuesto de Whitaker de que se debe buscar
  los pares contradictorios y sus implicaciones,
  trataremos de comprender cómo se forman, si no
  los pares contradictorios, sí las oposiciones que
  operan entre las modalidades, así como determinar
  sus implicaciones existen entre ellas.

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La negación de las modalidades

• Las negaciones de las proposiciones asertóricas
  se forman al agregar no a la cópula. Las
  aserciones contradictorias están marcadas por
  es y no-es (21ª38).
• En el capítulo 10, Aristóteles la aplica primero
  a las aserciones que contienen la cópula es, y
  luego lo extiende a los verbos.
• Las aserciones que contienen un verbo en lugar de
  es operan de la misma manera el verbo es lo
  que es dicho en lugar de ser y su negación es
  similar (21b5-10).

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Primera dificultad

• Aristóteles declara que la negación de ser
  posible es no ser posible (21b23). En este
  caso, de manera diferente a las aserciones, la
  negación consiste no en negar la copula ser,
  sino el operador modal.
• Los operadores modales son vistos en el lugar de
  la copula, y así son la parte propia de la
  negación del enunciado modal, si una negación
  debe formarse.

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• Es posible que P tiene como negación no es
  posible que P.
• La negación de no es posible que no-P no es es
  posible que P, sino es posible que no-P.
• El mismo análisis vale naturalmente para el resto
  de las modalidades contingente, necesario y
  imposible.

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Las negaciones modales

• Es posible que P No es posible que P
• Es contingente que P No es contingente que P
• Es necesario que P No es necesario que P
• Es imposible que P No es imposible que P
• Por ahora sabemos cómo realizar la negación.

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Segunda dificultad

• Existen pares de enunciados singulares sobre el
  futuro que, siendo en apariencia contradictorios,
  son verdaderos.
•  Socratem currere est possibile y Socratem non
  currere est possibile, son ambas verdaderas,
  porque Sócrates puede correr y puede no correr, y
  la posibilidad es verdadera respecto de ambos
  enunciados. Por lo tanto, una no es afirmativa y
  la otra negativa . Comentario de santo Tomás

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• Algo es capaz de caminar, no necesita en acto
  estar caminando todo el tiempo, y así debe ser
  capaz de no caminar también. Ambas afirmaciones
  pueden ser simultáneamente verdaderas del mismo
  sujeto, y por tanto no pueden ser contradictorias
  (21b17).
• Es la naturaleza de la cosa afirmada como el
  sujeto de las dos aserciones que les permite a
  ambos ser verdadera.

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• Hay cuatro posibilidades de verdad de dos
  enunciados sobre futuros contingentes
• 1. Ambos enunciados son verdaderos.
• 2. Ambos enunciados son falsos.
• 3. Uno es verdadero y el otro falso en el
  presente.
• 4. Uno es verdadero y el otro es falso en
  potencia.

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• 1. Si asumimos el Principio de no-Contradicción,
  entonces el par de futuros contingentes no pueden
  ser los dos verdaderos.
• 2. Si aceptamos el Principio de Tercero Excluido,
  entonces no pueden ser los dos falsos.
• 3. Si el Principio de Bivalencia tiene validez
  universal, entonces uno es verdadero y el otro es
  falso en el presente.
• Posición aristotélica uno es verdadero y el
  otro es falso en potencia, por ello el Principio
  de Bivalencia debe restringirse y, además, se
  debe evitar de tener por necesarios
  (absolutamente) a los enunciados sobre futuros
  contingentes.

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• Aristóteles rechaza la tesis megárica de la
  necesidad del ser por la verdad (P ? ?P si P
  sucede, entonces es necesario que P suceda), lo
  que significa que todos los futuros son o
  necesarios o imposibles.
• La negación de este necesitarismo implica
  restringir el Principio de Bivalencia para los
  futuros contingentes, es decir, la verdad de un
  enunciado depende del ser, siendo el futuro un
  ser en potencia, no puede declararse.

25

• El mundo sublunar consta de seres contingentes
  que no existen siempre en acto, pero cuando una
  propiedad se actualiza se debe a una necesidad
  condicional, esto es, el predicado determina al
  sujeto durante el presente en que se actualiza.
  Por ejemplo, el sol se eclipsa por la luna.
• Por lo tanto, no se puede mantener que toda
  enunciado sobre el futuro sea verdadero o falso,
  restringiendo así el Principio de Bivalencia.

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• Parece que Aristóteles propone una asimetría,
  privilegiando el principio de no contradicción y
  al tercero excluso, pero dejando de lado al
  principio de bivalencia.

27
Dos sentidos de lo posible

• La palabra posible tiene dos sentidos (1) su
  sentido propio es la negación contradictoria de
  lo imposible, y en esta acepción lo que es
  necesario es posible, es decir, lo necesario
  implica lo posible, y (2) lo que no es ni
  imposible ni necesario, es decir, lo que puede
  ser (lo no-imposible) y también lo que puede no
  ser (lo no-necesario).
• Para evitar confusiones, diremos en el primer
  caso que tratamos con un puro posible, en el
  segundo con un posible bilateral.

28

• La posibilidad pura o unilateral es lo que no es
  imposible, es decir, la necesidad la implica.
• La posibilidad bilateral es lo que ni es
  necesario ni necesariamente no es, esto es, lo
  que no es necesario ni es imposible.

29
Cuadrado

•  Necesario
  Imposible
• ?P
  ?P
• ?P
  ?P
• Posible
  Contingente puro 
• ?P
  ?P
• ?P
  ?P

30

• En los Primeros Analíticos, el estudio de los
  silogismos modales requiere, de manera previa,
  una teoría de la conversión de los enunciados,
  puesto que una de las maneras de justificar los
  silogismos imperfectos hace alusión a esta
  operación. Lo posible y lo contingente son
  tomados siempre como sinónimos, pero esta vez en
  sentido bilateral.

31

• Por ser contingente y por lo contingente,
  entiendo lo que no es necesario y puede ser
  supuesto existir sin que haya en eso de
  imposibilidad (Primeros Analíticos, I, 13 32 a
  18-19.)

32
Organización triangular de las modalidades en los
Primeros Analíticos
33

• Un ejemplo típico es Wittgenstein que en su
  Tractatus (4.464) llamó a una proposición (Satz)
  lo que puede ser verdadero y puede ser falso, en
  oposición a las tautologías y a las
  contradicciones. Por esta razón, dice que la
  verdad de una proposición es posible.
• En general, no se distingue entre lo contingente
  y lo posible como resultado de la conjunción de
  Posible y Contingente.

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Lo contingente

• Esta misma ambigüedad la encontramos en la
  palabra contingente. En un primer sentido, es
  tomado como la negación contradictoria de lo
  necesario, es decir, lo no-necesario. Pero
  frecuénteme se le entiende también como lo que
  puede no ser. Éste es un contingente bilateral,
  cuyo sentido se confunde con el del posible
  bilateral.

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Lo posible-contingente

• Aristóteles emplea las dos nociones de posible
  (dynatón) y contingente o admisible
  (endéchomenon) indistintamente, por lo cual
  algunos autores prefieren usar la expresión
  posible-contingente.
• El uso indistinto que hace el estagirita
  propicia ambigüedades en el vocabulario y con
  ello su teoría modal resulta afectada.

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• En el lenguaje natural lo posible corresponde a
  la conjunción de dos proposiciones opuestas.
  Cuando alguien dice que es posible que llueva,
  quiere decir que es posible que llueva y también
  es posible que no llueva, es decir, que no es
  necesario que llueva.
• N.B. no se debe confundir con el razonamiento
  inductivo.

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Compromiso metafísico

• La división de las proposiciones en necesarias y
  no-necesarias está en relación con la noción de
  accidente, que se define como lo que puede
  pertenecer o no pertenecer al objeto considerado.

38
Potencia siempre asociada al acto

• En la metafísica hay dos clases de potencia y en
  consecuencia en su lógica hay dos clases de
  posibilidad. A la potencia de los seres eternos y
  necesarios corresponde la posibilidad que es
  implicada por lo necesario, porque no hay en
  ellos potencia exterior para lograr el acto lo
  que es necesario tiene la potencia de ser.

39
Potencia disociada del acto

• Al contrario, los seres móviles tienen la
  potencia unida al acto (el hombre que corre tiene
  la potencia de realizar el acto de correr) y la
  potencia disociado del acto (el hombre sentado
  tiene la potencia de correr junto con la potencia
  de permanecer sentado).
• Esta segunda potencia (disociada del acto)
  excluye la necesidad.

40

• Las modalidades ónticas se organizan en un cuadro
  como en un triángulo.
• El cuadrado de modalidades se expone en el De
  Interpretatione, donde aparece la posibilidad
  unilateral con la particularidad que las cuatro
  modalidades se pueden a partir de una, tomada
  como primitiva.

41

• En cambio en los Primeros Analíticos la
  posibilidad que entra en juego es la bilateral,
  la cual, junto con las modalidades necesarias y
  no-necesarias (imposible), se organizan en una
  estructura triangular.
• Las tres modalidades retenidas son incompatibles
  de dos en dos. Por lo que respecta a lo necesario
  y lo imposible su situación es la misma que en el
  cuadrado.
• La novedad es que la estructura de la modalidad
  interna ya no es simple.

42

• Otra novedad reside en que la negación del
  contingente bilateral es él mismo.
• Es contingente que P si y sólo si es contingente
  que no-P.
• Ya que lo contingente no es necesario, y que lo
  no-necesario puede no pertenecer, es evidente
  que, si es contingente que A pertenezca a B, es
  contingente también que no le pertenezca
  (Primeros Analíticos,13, 32 a 36-38)

43
Segundo triángulo

• No-contingente
• ?P ? ?P
•  Necesario
  Imposible
• ?P
  ?P
• Posible
  Contingente puro 
• ?P
  ??P
•  
• ?P ? ?P
• Contingente bilateral 

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(No Transcript)
45

• Lo determinado U, es decir, lo necesario o lo
  imposible, y el lugar de lo bilateralmente
  posible Y equivale a la conjunción de I y O.

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Implicación

• Ahora bien, si se toman dos de los seis términos
  dados (A, E, I, O, U, o Y) con la condición de no
  elegir dos que sean la negación uno del otro
  (A-O E-I U-Y), se podrán construir (por medio
  de la negación, de la conjunción y la disyunción)
  relaciones de razonamientos. En estas
  condiciones, de entre las quince relaciones
  posibles que se pueden formular con los seis
  lugares del hexágono, once de ellas se hacen
  estrictamente tautologías

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• Si se eligen A y E como los dos términos
  primarios, podremos formular las siguientes
  definiciones
• I ? ? E, O ? ? A, U ? A ? E, y Y ? ? A ? E.
• Las once tautológicas a las que se reducen las
  combinaciones entre los seis lugares son

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A ? O que es equivalente a A ? ? A
E ? I E ? ? A
U ? Y (A v E) ? (? A ? E)
A ? Y A ? (? A ? E)
E ? Y E ? (? A ? E)
I ? U ? E ? (A ? E)
O ? U ? A ? (A ? E)
A ? U A ? (A ? E)
E ? U E ? (A ? E)
Y ? I (? A ? E) ? ? E
Y ? O (? A ? E) ? ? A
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• De la misma manera podemos partir de A e Y, y así
  tendremos las siguientes definiciones
• O ? ? A (Lo contingente ? lo no- necesario)
• U ? ? Y (Lo determinado ? lo no-bilateralmente
  posible)
• I ? A ? Y (Lo posible ? lo necesario o
  bilateralmente posible)
• E ? ? A ? Y (Lo imposible ? Lo no-necesario y
  lo no bilateralmente posible)

50
Bibliografía

• Aristóteles, Tratados de lógica (Órganon) II.
  Sobre la interpretación, Analíticos primeros y
  Analíticos segundos, Biblioteca Clásica Gredos,
  1ª reimpresión 1995.
• Aristóteles, Categorías, De Interpretatione,
  Tecnos, 1999.
• Aristotle, The Categories, On Interpretation,
  Harvard University Press, reimpresión 1996, tomo
  I.
• I. M. Bochenski, Historia de la Lógica Formal,
  Gredos, 2ª reimpresión, 1985.

51
Bibliografía

• Robert Blanche y Jacques Dubucs, La logique et
  son histoire, Armand Colin-Masson, 1970.
• Jean-Louis Gardies, Essai sur la logique des
  modalités, PUF, 1979.
• William Kneale y Martha Kneale, The Development
  of Logic, Clarendon Press, 11ª ed., 1991.
• C. W. A. Whitaker, Aristotles De
  Interpretatione. Contradiction and Dialectic,
  Oxford University Press, 1996.