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• 2001. 4.14
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• E-Mail msrhee_at_dankook.ac.kr
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2
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• Eratosthenes??
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3
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• Euclid? ??
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• Dirichlet? ??
• anb?? ?????? ??? ?? ??? ??.
• (gcd(a,b)1, n? ??)
• ??? ??? ?? ?
• 213
• 2x317
• 2x3x5131
• 2x3x5x71211
• 2x3x5x7x1112311
• 2x3x5x7x1x1313003159x509

4
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• ??? ??? x? ??? 1? x??? ??? ??? ?(x)? ??
• ?(x)?(x/lnx)
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• 100?? ??? ??? ?, ??? ????
• (?(10100)- ?(1099))/(100?? ??? ??)
• (10100/ln 10100)- (1099/ ln1099)/(10100-
  1099)/2
• ?1/115

5
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• Mersenne? ??
• Mn2n-1?? ???? ??(n? ???)
• Mn? ?? ? n? ??
• ???? ??? ?? 38?
• Fermat? ??
• Fn22n1?? ???? ??(n? ???)
• F0 3, F15, F2 17, F3257, F466537,
  F5641x6700417

???? 1952? 1961? 1979? 1992? 1999?
??? 157 1281 13395 227832 2098960
?? M521 M4253 M44497 M756839 M6972593
6
????(Quadratic residue)

• a? n? ??? ?? ?? ?? (Quadratic residue)
• x2 a mod n? ?? ?? ? a? n? ??? ?? ?? ??
• a? n? ??? ?? ????? (Quadratic non-residue)
• x2 a mod n? ?? ?? ?? ? a? n? ??? ?? ?? ???
• Z7 1,2,3,4,5,6
• 7? ??? ?? ?? ?? ? 1,2,4
• 7? ??? ?? ?? ??? ? 3,5,6

Z7? ?? 1 2 3 4 5 6
x2 mod n 1 4 2 2 4 1
7
Legendre ??

• Legendre ??(p??)
• x2 a mod 7??
• Legendre ??? ??
• a p? ??? ?? ?? ?? ? a(p-1)/2 1 mod p
• a p? ??? ?? ?? ??? ? a(p-1)/2 -1 mod p

8
Legendre ??? ??

• 1, , 1
• (-1)(p-1)/2 ?
• (-1)(p2-1)/8 ?
• (-1)(p-1)/2(q-1)/2

9
Legendre ??? ?

• x2 7 mod 61? ?? ???
• (-1)(61-1)/2(7-1)/2

10
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• Jacobi ??? ??
• np1,p2,,pr (p1,p2,,pr ??? ?? )
• Legengre??? ??? ??? ??
• Legendre???? ???
• 1 ??? ?? x2 a mod n? ?? ???? ? ? ??.
• ?

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• Zp 1,2,3,,p-1(p ??)
• x2 a mod p ? ?? ??? 2?(a?Zp)? ??
• x2 a mod p ? ?? ?? a? ?? ½
• Zpq (p,q ?? ?? ??)
• x2 a mod pq ? ?? ??? 4?(a?Zp )? ??
• x2 a mod pq ? ?? ?? a? ?? ¼
• 1?? ?? ?? ?? ½ (npq)
• Zpqr (p,q,r ?? ?? ??)
• x2 a mod pq ? ?? ??? 8?(a?Zp )? ??
• x2 a mod pq ? ?? ?? a? ?? 1/8
• 1?? ?? ?? ?? ¼ (npqr)

12
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• Fermat? ??
• n? ???? (b,n)1?? bn-1 1 mod n
• n b? ?? ???? ? bn-1 1 mod n
• n Carmichael number
• ? (b,n)1? ?? ?b? ?? ????
• ? 5613x11x17
• Carmichael number? ??
• n? Carmichael number ?? n? ??? 3?? ?? ?? ??? ?
• RSA?? ???? n? Carmichael number ? ???
• n b? ?? Euler ???? ? b(n-1)/2 mod n
• n b? ?? Euler ???? ? n b? ?? ????

13
?? ????(Strong pseudoprime)

• n b? ?? ?? ????
• ??? n? b? ?? ????? ???? n-12st (t ??)? ???
• bt 1 mod n ??
• 0 r lt s? r? ???? b2rt -1 mod n
• n b? ?? ?? ???? ? n b? ?? Euler ????
• n 3 mod 4??
• n b? ?? ?? ???? ? n b? ?? Euler ????

14
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• Zn?? ????? ?? ?? (npq)
• ??? b? ?? ????? ?? ½
• ??? b? ?? Euler ????? ?? ½
• ????? ??(?????)
• ??? n(pq)? ??? ??? ?? b1,b2,,bk ? ???
• bin-1 1 mod n ? ?? (½)k
• Bi(n-1)/2 mod n ? ?? (½)k
• n? 5?? ??? ?? ??? ?????? ?? n? ?????? ?????? ???
  ??? (½)5 1/32 ??? n? ??? ? ??? ????.

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?? ????(Strong pseudoprime)

• n b? ?? ?? ????
• ??? n? b? ?? ????? ???? n-12st (t ??)? ???
• bt 1 mod n ??
• 0 r lt s? r? ???? b2rt -1 mod n
• n b? ?? ?? ???? ? n b? ?? Euler ????
• n 3 mod 4??
• n b? ?? ?? ???? ? n b? ?? Euler ????
• ??? n? ??? b? ??? ??? b? ?? ?? ????? ?? ¼

16
???? ????

• ????(decision problem)
• ?? ??? ??? "?" ?? "???"? ???? ??
• ??? ???? ????(Deterministic Algorithm)
• Eratosthenes ??
• Euclid ???
• Fermat ??
• Wilson??
• APR??
• ??? ???? ????(Probabilistic Algorithm)
• Solovay-Strassen ????
• Lehmann-Peralta ????
• Miller-Rabin????

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??? ???? ????

• Eratosthenes ??
• n ?? ? pin (pi ?n ?? ?? ??)
• Euclid ???
• gcd(p1p2pr, n)?1 ? n ??? ???. (p1,p2,,pr ??
  )
• Fermat ??
• Fermat? ?? ??
• n ?? ? (b,n)1?? bn-1 1 mod n
• Wilson??
• Wilson? ?? ??
• n ?? ? (n-1)! -1 mod n
• APR??
• 1983? Adelman, Pomerance? Rumley? ??
• ??? ? ???? ????? ??? ???? ???

18
??? ???? ????

• Yes-biased Monte Carlo ????
• ??? ????? ?? "?"?? ?? ?? ?? ????? "???"?? ?? ??
  ??? ?? ? ?? ????? ?? ??? ????
• No-biased Monte Carlo ????
• ???? ?? ?? Yes-biased Monte Carlo ????
• ??? Yes-biased Monte Carlo ?????? ?? ??? ?? ???
  ???? ? ?? ?? ?? ????
• ???? ?? Solovay-Strassen ?????? ???? 1/2? ???
  ???? ?? Yes-biased Monte Carlo ????

19
Solovay-Strassen ????

• Euler ????? ??
• n? ???? a(n-1)/2 mod n
• n? ????? a(n-1)/2 mod n? ??? ??? ½????
  ??
• Solovay-Strassen ????
• Step 1 ??? ?? a(1ltaltn)? ????.
• Step 2 gcd(a,n)?1?? Step 1?? ??
• gcd(a,n)1?? Step 3?? ??
• Step 3 a(n-1)/2 mod n? ????.
• Step 4 "?" ?? ???? "???" ?? ?????.

20
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• Lehmann-Peralta ???
• 1? n??? k?? ??? ?? ai? ????
• Ai ai (n-1)/2 mod n (i 1,2,,k)
• ? ??? ??? ?? ??? ?? ????
• ?? i? ??? Ai 1 mod n?? ??? ?? 1- (1/2)k? ??? n?
  ???? ????.
• ??? ??? i? ???? Ai ? 1 mod n?? Ai ? -1 mod n??
  n? ???? ????.
• ?? i? ??? Ai 1 mod n ?? Ai -1 mod n?? ??? ???
  i? ???? Ai -1 mod n?? ??? ?? 1- (1/2)k? ??? n?
  ??? ????.

21
Lehmann-Peralta ???? ?

• 6601? ?????
• 15, 21, 110, 150, 297 ? ??
• 153300 4509 mod 6601
• ? 6601? ??? ???. (6601 7x 23x 41)
• 224527? ?????
• 15, 21, 110, 150, 297 ? ??
• 15112263 1 mod 224527
• 21112263 1 mod 224527
• 110112263 -1 mod 224527
• 150112263 -1 mod 224527
• 297112263 -1 mod 224527
• ? ?? 31/32? 224527? ????.

22
Miller-Rabin ????

• Solovay-Strassen ?????? ???? ??
• 1976? Miller? ??? ??, 1980? Rabin? ??
• 1993?? ??? ????? ??? n? k?? ??? ??? ??? ????
  ????, ??? n? ??? ??? ??? 1-(1/4)k? ?? ????

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Miller-Rabin ????

• Step 1 n-1 2k m (m? ??)?? ??
• Step 2 ??? ?? a (1ltaltn)? ??
• Step 3 gcd(a,n)?1?? Step 2?? ??
• gcd(a,n)1?? Step 4?? ??.
• Step 4 b am mod n? ??
• Step 5 b 1 mod n?? ????? ????.
• ??? ??? Step 6?? ??.
• Step 6 b -1 mod n?? ????? ????.
• ??? ??? Step 7?? ??.
• k-1? ?? ??? ??? Step 8 ? ??.
• Step 7 b2 ? ???? b? ?? Step 5? ??.
• Step 8 n? ?????.

24
Miller-Rabin ????? ?

• 6601? ?????
• 6601-18x825
• 15? ???? gcd(15,6601)1
• 15825 1954 mod 6601, 151650 2783 mod 6601
• 153300 4509 mod 6601, 156600 1 mod 6601
• ? 6601? ??? ???.
• ??? 21? ?????? gcd(21,6601) 7??? ? ?? ??? ??? ??

25
Miller-Rabin ????? ?

• 1193? ?????
• 1193-18x149
• 15? ????
• gcd(15,1193)1,15149 -1 mod 1193
• 21? ????
• gcd(21,1193)1,21149 1 mod 1193
• 110? ????
• gcd(110,1193)1
• 110149 831 mod 1193, 110298 1007 mod 1193,
  110596 -1 mod 1193
• 150? ????
• gcd(150,1193)1
• 150149 831 mod 1193, 150298 1007 mod 1193,
  150596 -1 mod 1193
• 297? ????
• gcd(297,1193)1
• 297149 362 mod 1193, 297298 1007 mod 1193,
  297596 -1 mod 1193
• ? 1193? ??? ?? 1023/1024?? ????.