Cap

1
O Romance das Equações Algébricas Gabriela
Luciana Marcello Samuel
2
Gilberto Geraldo Garbi (1944 - )?

• De Taquaritinga SP
• Engenheiro eletrônico pelo ITA
• Empresário
• Autor de
• A Rainha das Ciências.

3

• Estou convicto de que a Matemática pode e ser
  deve ser ensinada de forma espontânea, leve,
  humana e, em alguns casos, até mesmo alegre, para
  que se torne fonte de prazer intelectual e
  conquiste um número cada vez maior de adeptos.
• G.G.Garbi

4

• Equações
• - Equacionar
• - Igual e igualdade
• Equações algébricas são aquelas em que a
  incógnita aparece apenas submetida às chamadas
  operações algébricas como soma, subtração,
  multiplicação, divisão, potenciação inteira e
  radiciação.

5
Euclides (ca. 300 a.C.)?

• a) Coisas iguais a uma terceira são iguais entre
  si.
• b) Se iguais forem somados a iguais, os
  resultados serão iguais.
• c) Se iguais forem subtraídos de iguais, os
  resultados serão iguais.
• d) Coisas coincidentes são iguais entre si.
• e) O todo é maior do que a parte.
• f) Iguais multiplicados ou divididos por iguais
  continuam iguais.

6
Equações do 1º grau
Pela noção c) Pela verdade f)


7
Equações do 2º grau

• Shidhara(991)?
• Bhaskara (1.114 -1.185)?

8

ou Pergunta Como
extrair a raiz quadrada de , se
este binômio não é um quadrado perfeito? A
solução estava em somar aos dois lados da
igualdade alguma coisa que tornasse o lado
esquerdo um quadrado perfeito.
9
A quantidade a ser somada é Usando novamente a
noção de Euclides e organizando os termos temos o
quadrado perfeito. Basta apenas extrair as
raízes, mas
10
O que os babilônio não perceberam é que a
extração de raízes quadradas geram sempre duas
alternativas, uma com sinal e outra com sinal
Logo
11
Equações do 3º grau

• Niccolò Fontana Tartaglia (1499-1557)?
• (1501-1576) Girolamo Cardano

12
Cardano

• Nascido em Pavia em 1501 e falecido em Roma em
  1576 e escreveu a Ars Magna.
• Definiu-se como desbocado, espião, melancólico,
  traidor, invejoso, solitário, obsceno, desonesto,
  vicioso e portador de total desprezo pela região.

13
-Tartaglia, nascido em Bréscia, em 1501. Desde a
infância teve a vida marcada pelo infortúnio,
pelas lutas, pelas asperezas e por toda a sorte
de dificuldades. Demonstrou desde cedo grande
amor pelos estudos e infinita vontade de
aprender. Foi professor de ciência em Verona.
14
Scipione del Ferro, encontrou uma forma geral de
resolver as equações do tipo Mas Tartaglia
além de resolver as tipo citado acima, também
achou a fórmula geral para as do tipo
15
Equações do 3º grau

• Ludovico Ferrari

16
Capítulo XI

• François Viète
• recorre à trigonometria

17
B3 in A quad D plano in A A cubo aequator Z
solido

• Em In artem analytivam isagoge inova no
  simbolismo algébrico
• (vulgo 3BA² DA A³ Z)?
• usa vogais para as incógnitas e consoantes para
  as constantes.
• Nas equações de 3º grau fazia substituições
  trigonométricas, ex.
• x k cos ?
• daí não enfrentava as famigeradas raízes
  negativas.

18
Capítulo XII

• Descartes e Fermat
• inventam a geometria analítica

19
Um pouco de Diofanto (ca. 250 d.C.)?

• Regra de sinais
• Na pág. 65 justifica
• X X
• Álgebra retórica
• Em um terreiro existem cabras e galinhas, sendo
  32 cabeças e 88 patas. Quantos animais de cada
  tipo existem em tal terreiro?

20
Pierre de Fermat (ca. 250 d.C.)?

• Jurista por formação
• Magistrado por profissão
• Matemático por gosto.
• Trocava cartas com
• Pascal,
• Descartes,
• Wallis,
• Roberval,
• Huygens et al.

21
Citação no livro de Diofanto

• É impossível decompor um cubo em dois cubos, um
  biquadrado em dois biquadrados e, de um modo
  geral, qualquer potência acima de dois na soma de
  duas potências de igual expoente. Para isso eu
  descobri uma demonstração verdadeiramente
  maravilhosa, mas a margem é pequena para contê-la.

22
A geometria analítica

• Associou equações a linhas geométricas
• Métodos para
• traçar retas tangentes curvas e
• determinar métodos de máx. e mín.
• Não divulgou seu trabalho
• Suas ideias foram expostas no livro de publicação
  póstuma
• Ad locos planos et solidos isagogue

23
René Descartes (1596-1650)?

• Discours de la méthode pour bien conduire sa
  raison, et chercher la vérité dans les sciences
• Je pense donc je suis

24
Géométrie

• Apenas um apêndice do Discurso.
• Não tem nem os eixos cartesianos!
• Mostrou que a álgebra podia ser aplicada no
  estudo da geometria.
• oposto do que ocorrera na Antiguidade Clássica

25
Géométrie

• As útimas letras (X,Y,Z) para represenar
  icógnitas
• As primeiras letras (A,B,C...) para os
  parâmetros
• Potência era escrita da forma X³, X4, X5...
• porém, X² era escrito como XX
• Sinal de igualdade a (só q ao contrário!)?
• Batizou as raízes negativas
• nem sempre as raízes verdadeiras positivas ou
  falsas negativas de uma equação são reais. Às
  vezes elas são imaginárias.

26
Géométrie

• Apenas um apêndice do Discurso.
• Não tem nem os eixos cartesianos!
• Mostrou que a álgebra podia ser aplicada no
  estudo da geometria.
• oposto do que ocorrera na Antiguidade Clássica

27
Géométrie

• Apenas um apêndice do Discurso.
• Não tem nem os eixos cartesianos!
• Mostrou que a álgebra podia ser aplicada no
  estudo da geometria.
• oposto do que ocorrera na Antiguidade Clássica

28
Descartes, pessoa humilde

• Jamais conheci alguém que me parecesse conhecer
  tão bem a geometria como o senhor Fermat

29
ou não?

• e eu espero que a posterioridade me seja grata,
  não apenas pelas coisas que eu aqui expliquei mas
  também por aquelas que omiti voluntariamente, a
  fim de deixar-lhe o prazer de inventá-las

30
Capítulo XIII

• Newton entra em cena

Disse Deus faça-se Newton! E tudo foi luz.
31
Sir Isaac Newton (1642-1727)?

• Matemático
• físico
• astrônomo
• alquimista
• filósofo natural e
• teólogo
• Obs. não foi o autor do tal binômio de Newton

32
Newton e a maçã

• Conforme Newton relatou em uma carta escrita
  muitos anos depois, foi também em 1666, após ver
  uma maçã desprender-se de um ramo que ele começou
  imaginar que a gravitação estendia-se até a
  órbita da Lua e mais além.

33
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)?

• Diplomata
• Foi orientado em matemática por Christian Huygens
• Trocou cartas de ofensas com Newton hehehe

34
Teoria das fluxões

• Obra de 1687
• Sob a influência de Edmond Halley
• Publicou após os trabalhos de Leibniz
• Se apoiou no trabalho de Fermat.
• PS. o autor defende muito Newton!

35
Newton e as raízes

• Por aproximação
• Método de Newton-Raphson
• Critérios para as raízes
• Regras de exclusão de Newton
• Cotas inferiores e superiores.
• - não é um método algébrico

36
Capítulo XIV

• Euler domina os
• números complexos

37
Leonard Euler (1707-1783)?

• Gentil, bem humorado afável, generoso...
• Discípulo de
• Jean Bernoulli
• Publicou mais de 800 trabalhos!

38
Evolução na notação

• 1525 2cub'p5reb'aequalis 17
• 1525 sit3Z 5??aequatus 21
• 2 1
• 1572 3U p 5U Equale á 21
• 1590 3q 5N aequatur 21
• 1637 3ZZ 5Z a 21
• 1693 3XX 5X 21
• 2009 3x²5x21

39
Símbolos de Euler

• Somatória
• Função
• Combinação

• i
• Pi p
• e

40
Números complexos

• Trabalhou com as operações básicas
• Soma e subtração
• Produto e divião
• Potenciação e exponenciação
• Módulo
• Argumento

41
(No Transcript)
42

• Lisez Euler, Lizer Euler, c'est notre maître à
  tous!
• - Laplace

• e pi 1 0

43
Capítulo XV

• Gauss demonstra o
• Teorema Fundamental da Álgebra

44
Carlos Frederico Gauss (1707-1783)?

• Prodígio desde criança
• Matemática ou filologia?
• Construiu um polígono regular de 17 lados aos 18
  anos!

45
Teorema Fundamental da Álgebra

• Toda equação polinomial de coeficientes reais ou
  complexos tem, no campo complexo, pelo menos uma
  raíz.
• Sua tese de doutoramento
• D'Alembert já havia feito uma tentativa
• Gauss elaborou outras 3 três provas.

46
Gauss e o último teorema

• Confesso que o último teorema de Fermat, como
  proposição isolada, tem muito pouco interesse
  para mim, já que eu facilmente poderia fazer uma
  multidão de tais proposições que ninguém poderia
  provar ou utilizar.

47
Capítulo XVI

• Raízes estranhas

48

• X1 equivale a x³1?
• Observe que a segunda equação pode ser escrita
  x³-10 ou (x-1)(x²x1)0
• e suas raízes são x1, x(-1v-3)/2 e
  x(-1- v-3)/2
• Por que aparecem essas raízes estranhas?
• Descoberta de Euler diferentemente da
  potenciação, a radiação não é unívoca (um número
  tem n raízes enézimas). No retorno da potenciação
  alguns caminhos não conduzem a equação original.
  Estes correspondem as raízes estranhas.
• Efeito oposto a perda de raízes.

49
Capítulo XVII

• De volta às Equações do 3º Grau

50
Dada uma equação do 3º grau, com uma raiz
complexa do tipo (abi), assim (a-bi) também
será. A terceira é obrigatorimente real, chamamos
de c. Faremos (abi)(a-bi)c0 (para que
inexista o termo do 2º grau).Teremos 2ac0,
logo c-2a Da forma x³pxq0 que tenha raízes
complexas pode ser escrita (x-abi)(x-a-bi)(x
2a)0desenvolvendo teremosx³x(b²-3a²)2a(a²b
²)0 , logo, ?
(-q/2)²(p/3)³ ,desenvolvendo,
temos ? 81(a²)²b²18a²(b²)²(b³)²
27isto é sempre positivo, exceto para ab0.
51

• Portanto ficou provado que
• Equações do tipo x³pxq0, sendo
• ?lt0 as três raízes são reais e distintas
• ?gt0 uma raiz é real e duas são complexas
• ?0 as três raízes são reais mas pelo menos duas
  delas são coincidentes

52
Capítulo XVIII

• Modificando as raízes das equações

53

• É possível transformar uma equação
  polinomial P(x)0 (equação primitiva) em Q(y)0
  (equação transformada) de modo que as raízes y
  relacionem-se com as raízes de x através da
  função yf(x) (função transformatriz). Quando
  cada raiz da transformada for obtida pela
  aplicação da função em cada uma das raízes da
  primitiva, a transformação é dita de 1º espécie
  ou de Viète.
• Principais transformações de primeira
  espécie
• Aditiva
• Multiplicativa
• Simétrica
• recíproca

54

• Transformação aditiva- as raízes da nova equação
  são as de uma equação original somadas de uma
  quantidade h.
• Ex Seja x³5x²4x-80, queremos a
• transformada de x somado ao 2.
• Dividamos P(x) por x2 (Por Ruffini-Horner) e
• obtem-se x³5x²4x-8(x2)(x²3x-2)-4 e
• x²3x-2 (x2)(x1)-4 (x2)(x2-1)-4
• Voltando a e fazendo a substituição acima,
• teremos x³5x²4x-8(x2)³-(x2)²-4(x2)-4
• Evidentemente a equação transformada será
  y³-y²-4y-40.

55

• Transformação multiplicativa- consiste em
  encontrar uma equação cujas raízes sejam as de
  uma original multiplicadas por um fator k. O
  método consiste em substituir em f(x) a incógnita
  x por y/k. Obtem-se a transformada desejada.
• Tranformação simétrica- quando k-1, ou seja,
  y-x.
• Ex 3x³2x²x1 e sua tranformada simétrica
• -3x³2x²-x1.
• Transformação recíproca- aquela em que y1/x.

56
Capítulo XIX

• As tragédias de Niels Abel e Évariste Galois

57

• Niels Henrik Abel
• Nasceu em 5 de agosto de 1802, na
• pequena cidade de Finnöy, Noruega,
• filho e neto de pastores protestantes,
• teve quatro irmãos e uma irmã.
• Foi notado pelo então professor, que mais
  tarde veio a se tornar grande amigo, Bernt
  Michael Holmboe, na Escola Catedral.
• Dos 17 aos19 anos desenvolveu pesquisas no
  campo das equações e chegou a acreditar que
  houvesse encontrado uma fórmula geral para as do
  5º grau.

58

• Por volta de 1823, demontrou que, exceto em
  casos particulares, de um modo geral, é
  impossivel resolvê-las utilizando-se apenas
  operações algébricas.
• Má alimentação, desgaste intelectual e
  infindável tensão emocional já eram sua rotina
  desde vários anos. Quando em 1826, chegou a
  Paris. Onde cintilava a maior constelação de
  astros das ciências exatas do mundo.
• Bouvard, Hachette, Poisson, Fourier,
• Ampère, Lacroix, Cirichlet, Laplace,
• Legendre e o mais ativo de todos,
• Augustin-Louis Cauchy.

59

• Cauchy era um gênio universal, o pai da
  moderna teoria das funções de variável complexa.
• Legendre trabalhava em pesquisas sobre as
  funções elípticas. Abel chegou estar com ele.
• Em 30 de outubro de 1826, finalmente,
  Fourier, secretário perpétuo da Academia, leu ao
  plenário a introdução de um trabalho de Abel.
  Para julgá-lo, Cauchy, presidente da Academia e
  Legendre. O trabalho era tão profundo e inovador
  que mesmo esses homens precisaram esforçar-se
  bastante para compreendê-lo.
• Cauchy deixou-o em sua gaveta para
  estudá-lo quando tivesse tempo, fato que só
  ocorreu após a morte de Abel.

60

• Em 1828, Abel viu-se envolvido em uma disputa
  de prioridade com um nascente matemático alemão,
  Carl Gustav Jacob Jacobi, para ver qual dos dois
  avançaria mais nas profundezes das funções
  elípticas.
• Apesar de vencer a batalha, as finanças e a
  saúde de Abel continuavam a se deteriorar
  rapidamente.
• Em 06 de abril 1829, depois de dois dias do
  falecimento de Abel por tuberculose, chegava a
  carta de Berlim, do seu amigo Crelle, informando
  a admissão para ocupar um cargo de trabalho.
• Porém Holmboe, seu professor, conseguiu
  publicar as obras completas de Abel.

61

• Évariste Galois
• Nasceu dia 25 de outubro de 1811,
• na cidade de Bourg-la-Reine, a 10 km
• de Paris. Teve contato inicial com a
• Matemática em 1825, aos 14 anos.
• Em 1828, incidindo curiosamente no mesmo erro
• de Abel, acreditou ter encontrado a solução
  geral
• para as equações de grau 5. Em 1829, publicou
• seu primeiro artigo Demonstração de um teorema
• sobre as frações contínuas periódocas. Em outubro
• do mesmo ano foi admitido na École Normale
• Supérieure. Da qual foi expulso, em janeiro de

62

• 1831, por ter publicado uma carta atacando
  diretor por ter
• proibido que seus alunos de lutarem nos Três
  Gloriosos.
• Entre 14 de julho de 1831 e 16 de março de 1832,
  período
• em que esteve preso por problemas políticos, deu
  inicio a
• um trabalho intitulado Duas Memórias de Análise
  Pura. Ao
• cumprir parte da pena a que foi sentenciado em um
  Hos-
• pital, devido um surto de cólera, apaixona-se
  pela sobrinha
• do médico. Acaba por duelar com um amigo pela
  moça
• morrendo nesse combate.
• Em setembro de 1832, o matemático Joseph
  Liouville,
• publicou em seu jornal Obras Matemáticas de
  Évariste
• Galois.

63
Capítulo XX

• Soluções de Equações Especiais

64

• Teorema
• Se um número racional N/D, com N e D primos
  entre si, a
• raiz da equação polinomial de coeficientes
  inteiros P(x)0,
• então a0 é divisível por D e an é divisível por
  N.
• Consequências
• Toda equação polinomial de coeficientes inteiros
  cujo coeficiente do termo de maior grau é 1, se
  possuir raízes racionais, elas serão todas
  inteiras.
• Uma equação polinomial de coeficientes inteiros,
  cujo coeficiente do termo de maior grau for
  diferente de 1 depois de estarem todos os
  coeficientes divididos pelo seu máximo divisor
  comum, não pode ter somente raízes inteiras.

65

• c) Toda raiz inteira de uma equação polinomial de
  coeficientes inteiros é divisor do termo
  independente.
• Teoremas
• Toda recíproca de 1º espécie e grau ímpar admite
  -1 como raiz (eventualmente dupla)?
• Toda equação recíproca de 2º espécie e grau par
  admite 1 e-1 como raízes (eventualmente
  múltiplas).
• Toda equação recíproca de 2º espécie e grau
  ímpar admite 1 como raiz (eventualmente
  múltipla).

66
Capítulo XXI

• Construções Geométricas com régua e compasso

67

• Cinco questões investigadas pelos gregos não
• Encontaram resposta dentro do conjunto de conhe
• -cimentos disponíveis na época. Tiveram que
• aguardar a evolução da Teoria das Equações Al-
• Gébricas. Foram eles
• Construção da aresta de um cubo cujo volume
• seja o dobro do volume de outro (duplicação do
• cubo).
• Construção de um segmento de reta cujo
• comprimento seja igual ao perímetro de uma
• dada circunferência.(retificação da
  circunferência).

68

• Construção de um quadrado de área igual à de
• um dado círculo. (quadratura do círculo)
• Divisão de um ângulo qualquer em três partes
  iguais (trissecção do ângulo).
• Contrução de polígonos regulares(divisão da
  circun-ferência em n partes iguais).
• Os Três Problemas Clássicos
• As três primeiras contruções são sempre
  impossíveis se
• apenas régua e compasso forem admitidos. A
  trissecção
• só é exequível em alguns casos particulares
• (45º,90º,180º,etc). E para a divisão da
  circunferência
• em n partes iguais Gauss deu uma resposta só é
  possível
• se n é da forma dois elevado a s vezes p1
  elevado a r1
• vezes p2 elevado a r2... onde s é inteira não
  negativo, p1,
• p2... são primos da forma (2ª )²1 e r1,r2,...
  são, cada
• um deles, zero ou um. Resta dúvida, não se sabem
  se para
• agt4 existem ou não primos dessa forma.

69

• Foi possível aplicar a Teoria das Equações
  àque-
• les mistérios da Geometria, pois no caso das
  retas
• e das circunferências as respectivas equações são
• Algébricas.
• Pierre Laurent Wantzel (1814-1848)?
• Um elemento geométrico é construtível com régua
• e compasso quando e apenas quando os números
• que o definem derivam dos dados do problema
• através de uma quantidade finita de operações de
• soma, subtração, multiplicação, divisão e
  extração
• de raízes quadradas.

70

• Pierre era linguista e engenheiro da École
  Polytechnique.
• Pouco conhecido nos dias de hoje, mas sua obra
  repre-
• senta um marco na história da Ciência.
• Trissecção do ângulo e duplicação do cubo,
  demonstrou
• A condição necessária e suficiente para que as
  três raízes
• de uma mesma equação do terceiro grau. De
  coeficientes
• racionais, sejam construtíveis por régua e
  compasso é que
• uma delas seja racional.
• Construção do polígono de 17 lados
• xª-10, denominada Equação Ciclotômica, foi
• intensamente estudada no final do século XVIII e
• início de XIX, principalmente por Gauss.

71

• O dia foi 29 de março de 1796 e o acaso não
  teve qualquer
• participação. Antes disto, em verdade, durante o
  inverno de
• 1796 (meu primeiro semestre em Göttigen), eu já
  havia des
• coberto tudo relativamente à separação das raízes
  da equação
• (xª-1)/(x-1)0 em dois grupos. Após intensas
  considerações
• sobre o relacionamento de todas as raízes umas
  com as outras,
• em bases Aritméticas, eu consegui, durante um
  feriado em
• Braunschuweig, na manhã do mencionado dia (antes
  de sair da
• cama), vialumbrar aquelas relações da forma mais
  clara, de
• modo que pude imediatamente aplicá-las ao caso
  dos 17 lados
• e as verificações numéricas.
• Gauss, apesar de modesto, sabia a importância de
  sua façanha
• e manisfestou o desejo de após sua morte, ter
  sobre seu túmulo
• o desenho de um polígono regular de 17 lados.

72
Questão natural comparação entre abundância de
algébricos e transcendentes Dificuldade devido
ao infinito Georg Ferdinand Ludwing Philip
Cantor (1845-1918) números transfinitos Naturais
como uma espécie de unidade Cardinalidade ?
enumerabilidade Racionais e algébricos como
enumeráveis Reais não enumeráveis
73
Capítulo XXII
Números algébricos e números transcendentes
74
Pitagóricos existência de não racionais Método
de redução ao absurdo já utilizado nos
Elementos Abrangência do método Cálculo
Diferencial (séc XVII) funções e números como
séries infinitas e limn?8 (1 1/n)n 1 1
1/(1!) 1/(2!) 1/(3!) ... p 4(1 1/3
1/5 1/7 1/9 1/11 1/13 1/15 ...
75
Euler questiona-se e, e² irracionais Euler não
foi adiante, mas a pesquisa sobre o tema sim, e
no campo das equações algébricas racionais e
irracionais como raizes de equações algébricas
com coeficientes inteiros. racional do tipo
a/b é raiz de uma equação na forma ax b
0 o irracional (2)1/2 (3)1/2 é raiz de uma
equação algébrica de coeficientes inteiros de
quarto grau mostra-se que irracionais como
(3)1/3 (2)1/2 são raizes de uma euqação
algébrica de coeficientes inteiros de sexto grau.
76
Ideia dos reais em duas categorias são ou não
raizes de equações polinomiais de coeficientes
inteiros. Algébricos X Transcendentes (Joseph
Liouville 1844)? Charles Hermite (1873) prova
transcendência do e, e algo mais. Porém, desiste
do p perto do sucesso, pois Ferdinand von
Lindemann (1852-1939) prova a transcendência do p
com base em seus trabalhos sobre o
e. Consequência impossibilidade da Retificação
da Circunferência e da Quadratura do círculo,
apenas com régua e compasso.
77
Questão natural comparação entre abundância de
algébricos e transcendentes Dificuldade devido
ao infinito Georg Ferdinand Ludwing Philip
Cantor (1845-1918) números transfinitos Naturais
como uma espécie de unidade Cardinalidade ?
enumerabilidade Racionais e algébricos como
enumeráveis Reais não enumeráveis
78
Consequência existência dos transcendentes, e
em maior abundância Cantor foi além! (intervalo
real, pontos num segmento)? Richard Dedekind
contribuiu na teoria dos números reais
79
Capítulo XXIII
Pensar
80
O universo é um grande livro que não pode ser
compreendido a menos que antes se aprenda a
entender a linguagem e a ler as letras nas quais
ele está escrito. Ele está escrito na linguagem
da Matemática. (Galileu Galilei)? O fato mais
incompreensível do mundo é que ele pode ser
compreendido. (Albert Einstein)? Matemática
meio de comunicação com o mundo
81
Detestada pelas pessoas? Valorização da
Matemática (natureza / pensamento)? 10
Maravilhas do Pensamento Tales mede a grande
pirâmide proporcionalidade das sombras Euclides
e os números primos provou a existência de
infinitos números primos
82
Eratóstenes calcula a circunferência da Terra
sol a prumo em Siena, ao meio dia do solstício de
verão. Ideia da forma da Terra. Estimativa
aproximadamente 7, ou 1/50 de 360 Arquimedes
calcula o número p via noção de limite, aproxima
a circunferência por polígonos Arquimedes
conquista a esfera via física, calcula a área e
o volume Pascal, com genialidade, descobre outro
método para medir a esfera
83
Roberval calcula a área da ciclóide com o auxílio
da companheira e ideias de cálculo Leibniz
inventa o sistema binário de numeração apesar da
genialidade, à epoca pareceu mera curiosidade sem
qualquer aplicação prática Newton e as séries
infinitas Há muito se conheciam sequências
pitagóricos e P.A. / dedução de Gauss Soma
finita de séries infinitas resposta ao paradoxo
de Zenão
84
Newton desenvolvendo funções em séries infinitas,
impulsiona o ramo sen(x) x x3/3! x5/5!
x7/7! x9/9! - ... cos(x) 1 x2/2! x4/4!
x6/6! x8/8! - ex 1 1 x2/2! x3/3!
x4/4! ... Supondo x imaginário puro x i?,
Euler chega a ei? cos? isen? (fórmula
conhecida que deu origem a eip 1 0)?
85
Euler decifra um mistério Séries infinitas e
Convergência Nicole Oresme e a divergência da
série harmônica. Mais tarde, Jean
Bernoulli. Jack Bernoulli e a série dos inversos
dos quadrados dos naturais Euler em meio a briga
dos irmãos, demonstra a convergência para p2/6,
Jean também o faz, por outro caminho. Apesar da
grandiosidade dos pensamentos, fogem dos padrões
modernos do rigor matemático, o que não tira o
mérito de ambos.
86
Capítulo XXIV
O fim
87

• Se enxerguei mais longe foi porque me apoiei
  sobre ombros de gigantes.
• Sir Isaac Newton

88
(aplausos)?