Funciones

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Funciones

• Continuidad de una función
• Tipos de discontinuidad
• Funciones definidas a trozos

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• Una función f(x) es continua en un punto x a si
  cumple

• Existe f(a)

Si una función no cumple alguna de estas
condiciones, decimos que la función es
discontinua en x a
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Ejemplo Estudiar la continuidad de la función
Tenemos que el dominio de la función es R-2,
por lo tanto x 2 será una punto de
discontinuidad.
Estudiemos como no se cumple la definición de
continuidad y que tipo de discontinuidad tenemos.
No se puede dividir por 0
Evidentemente no existe f(2)
Calculamos los limites a la izquierda y derecha
de x2
Como los límites izquierda y derecha son
distintos tenemos una función discontinua en x
2 de 1ª especie con salto infinito (diferencia
entre los límites laterales)
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Cuando me acerco a 2 la función va hacia 8
Cuando me acerco a 2- la función va hacia -8
Aquí tendremos Una Asíntota vertical De ecuación
x2
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Veamos el siguiente ejemplo con una
función definida a trozos
Así que solo procederemos a estudiar la
continuidad en los casos x 2 y x 5 . Que
son los puntos donde puede ocurrir algún cambio
respecto a la continuidad
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Si nos fijamos en la gráfica de esta
función veremos que
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Estudiamos analíticamente el caso de x 2
Como tenemos que el limite por la izquierda y el
limite por la derecha en x2 son distintos
tenemos que f(x) es discontinua de 1ª especie en
x 2, donde se produce un salto de 3 unidades.
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Estudiamos analíticamente el caso de x 5
Como tenemos que el limite por la izquierda y el
limite por la derecha en x5 son iguales tenemos
que f(x) continua de en x 5
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Veamos algún caso con una discontinuidad del tipo
Evitable
Tenemos que Dominio de f R - 1
Solo tendríamos que estudiar el caso x 1
1. f(1) no existe ya que x 1 no está en el
dominio
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Veamos ahora la gráfica de la función
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Otro ejemplo de una función con discontinuidad
de 1ª Especie con salto 8
Tenemos que Dominio de f R - 3
Solo tendríamos que estudiar el caso x 3
1. f (3) no existe ya que x 3 no está en el
dominio
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Veamos ahora la gráfica de la función
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Otro ejemplo de una función con discontinuidades
Tenemos que Dominio de f R - -1, 1
Si estudiamos caso x -1
1. f (-1) no existe ya que x -1 no está en el
dominio
Pero el limite no es igual que la imagen en x -1
ya que no existe f(-1)
f(x) es discontinua evitable en el infinitode 1ª
especie en el infinito
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Otro ejemplo de una función con discontinuidades
Tenemos que Dominio de f R - -1, 1
Si estudiamos caso x 1
1. f (-1) no existe ya que x 1 no está en el
dominio
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Veamos la gráfica de esta función
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Fin del ejercicio