Sila Lorentza

1
Sila Lorentza
W przestrzeni istnieje pole magnetyczne o
indukcji B. Na ladunek próbny q0 poruszajacy sie
w tej przestrzeni z predkoscia v dziala sila F
wyrazona wzorem
(1)
2
Wartosc bezwzgledna tej sily wyraza sie wzorem
(1a)
F ? B F ? v
z
y
B
F
?
v
x
3
q lt 0
B
v
q 0
q
q gt 0
4
Wiazka elektronów w polu B
5
Dzialanie pola magnetycznego na przewodnik z
pradem
Prad jest uporzadkowanym ruchem ladunków
elektrycznych, nalezy sie spodziewac, ze pole
magnetyczne bedzie wywierac sile na przewodnik,
przez który plynie prad. Jezeli w jednostce
objetosci przewodnika znajduje sie n elektronów,
to w przewodniku o przekroju S i dlugosci l
zawartych jest N nSl elektronów.
(2)
Na kazdy elektron dziala sila opisana wzorem (1
). Wartosc wypadkowej sily dzialajacej na
przewodnik wyniesie F evBsin? nSl
(3)
6
Natezenie pradu i mozna okreslic jako ladunek
przeplywajacy w jednostce czasu przez przekrój
poprzeczny tego przewodnika S, mozemy zapisac to
wzorem i enSv
(4)
Z porównania wzorów (2, 3, 4) otrzymujemy F
ilBsin?
(3a)
Wzór ten w zapisie wektorowym ma postac F i(l
? B)
(5)
Na podstawie tego wzoru mozna wyznaczyc sile
wzajemnego oddzialywania dwóch przewodników z
pradem.
7
Andr?-Marie Amp?re (1775-1836)
Fizyk i matematyk francuski Odkryl zwiazek
magnetyzmu z przeplywem pradu
8
Prawo Amperea
Cyrkulacja wektora natezenia pola magnetycznego
jest równa sumie algebraicznej natezen pradów
plynacych wewnatrz konturu calkowania.



I
B
9
C
i2
i1
i3

dl
B
(6)
i i1 - i2 i3
i - suma pradów wewnatrz linii C
10
?B?dl ?0 i
(7)
C
Przenikalnosc magnetyczna prózni ?0 4??10-7
T?m/A B - wektor indukcji magnetycznej i -
natezenie pradu dl - wektor przesuniecia
(drogi) wzdluz linii C
11
Indukcja magnetyczna wokól przewodnika z pradem
i
dl
i
B
r
(8)
B dl
?B? dl ?0 i B ?dl B2?r
(7a)
12

d
a

b
F
(9)
l
B
ia
ib
13
Prawo Biota - Savarta
(10)
i
dl
?
i
r
dB
P
14
(10)
Przyklad 1. Korzystajac z prawa Biota - Savarta
obliczyc wektor indukcji magnetycznej B dla
dowolnego punktu lezacego na zewnatrz
prostoliniowego, cienkiego, nieskonczenie
dlugiego przewodnika, przez który plynie prad o
natezeniu i.
15
P
(11)
a
i
d?
(12)
?
r
(13)
rd?
dl
? ?
16
Michael Faraday (1791-1867)
Fizyk i chemik angielski Odkryl indukcje
elektromagnetyczna i samoindukcje.
17
Prawo indukcji Faradaya
(14)
L


E
Indukowana w obwodzie SEM jest równa szybkosci,
z jaka zmienia sie strumien pola B, przechodzacy
przez ten obwód. Znak - dotyczy kierunku
indukowanej SEM.
18
Pole B
E - Sila elektromotoryczna
19
Jezeli podane równanie zastosowac do zwojnicy o N
zwojach, to w kazdym z nich pojawi sie SEM i te
sily elektromotoryczne dodadza sie.
(14a)
Strumien pola magnetycznego definiowany jest w
sposób nastepujacy
(15)
20
Regula Lenza
S S S S S S
N N N N N N
S
N
i
v
W przewodzie zaczyna plynac prad o natezeniu
i. Powstajace pole przeciwdziala ruchowi magnesu.
Linie pola B wybiegaja z bieguna N
21
Przyklad 2. Jaka sila elektromotoryczna SEM
powstanie w w obwodzie o ksztalcie prostokata
przesuwanym z predkoscia v w jednorodnym polu
magnetycznym B?
x
B ? F ? SEM ? i
F3
i
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
F1 ? 0
v
F2 F3
F1
l
B
(16)
?B Blx
F2
(17)
22
Jezeli opór obwodu wynosi R, to w obwodzie
zacznie plynac prad o natezeniu i.
(18)
Sila F1 przeciwdzialajaca przesuwaniu sie obwodu
(19)
F1 il ? B
Moc tracona
(20)
23
Sila elektromotoryczna indukowana w zmiennym
polu magnetycznym
Szybkosc zmian pola B
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
poniewaz
r
zwój
E
(21)

B
? ?
Zmienne pole ? magnetyczne wytwarza pole
elektryczne E
(22)
24
Indukcyjnosc
Sila elektromotoryczna indukowana w cewce o N
zwojach
(14a)
Strumien pola magnetycznego cewki oddalonej od
wszelkich materialów magnetycznych jest
proporcjonalny do natezenia pradu i plynacego
przez cewke.
(23)
L - indukcyjnosc, wspólczynnik proporcjonalnosci
miedzy natezeniem pradu a strumieniem pola
magnetycznego cewki
25
Korzystajac z prawa Faradaya indukowana SEM mozna
przedstawic nastepujaco
(24)
A stad indukcyjnosc L
(25)
Jednostka indukcyjnosci jest
26
Kierunek SEM mozna otrzymac z reguly Lenza.
EL
a)
Wyobrazmy sobie, ze nawinelismy cewke.
Zauwazamy rózne kierunki sily elektromotorycznej
EL .
i?
EL
b)
i?
W przewodzie a) prad maleje, a w przewodzie b)
rosnie. EL - sila elektromotoryczna w obu
przypadkach przeciwdziala zmianie pradu.
27
a) Aby zapobiec zmniejszeniu sie pradu,
indukowana SEM musi miec ten sam kierunek co
prad. b) Jezeli prad wzrasta, indukowana SEM musi
miec kierunek przeciwny.
Obliczanie indukcyjnosci cewki.
Indukcyjnosc scisle nawinietej cewki
(26)
Dla dlugiego solenoidu o dlugosci l, przekroju S
i ilosci zwojów na jednostke dlugosci n
(27)
Na podstawie prawa Amperea mozna wykazac, ze
indukcja B solenoidu wynosi
(28)
28
Indukcja solenoidu
h
Przekrój cewki
n - ilosc zwojów na jednostke dlugosci
B? dl B ?dl Bh nµ0ih
B nµ0i
29
Wstawiajac B do wyrazenia na strumien ?B i
przeksztalcajac otrzymujemy L solenoidu
(29)
(30)
Obwód RL
R
R - wartosc oporu L - indukcyjnosc E - SEM
baterii EL - SEM cewki i - natezenie pradu
i ?
E ?
L
EL
30
Na podstawie II prawa Kirchoffa zapisujemy
równanie obwodu w postaci
(31)
(32)
Rozwiazaniem równania rózniczkowego (31) jest
(34)
(33)
gdzie
? nazywamy stala czasowa
Równanie (32) po pomnozeniu przez i. Skladniki
maja wymiar mocy.
(32a)
31
Szybkosc z jaka gromadzi sie energia w polu
magnetycznym dWB/dt
Iloczyn pradu i napiecia na cewce
(35)

Po scalkowaniu tego wyrazenia otrzymamy calkowita
energie pola magnetycznego zawarta w cewce o
indukcyjnosci L.
(36)
32
Przyklad 3 Wyznaczyc gestosc energii pola
magnetycznego wB cewki o dlugosci l i przekroju S.
(37)
(37a)
L ?0 n2lS
Po uwzglednieniu tych zwiazków otrzymujemy
gestosc energii pola magnetycznego wB.
(38)
33
Indukcja wzajemna
Nawijamy teraz dwie cewki, umieszczamy je w
blisko siebie.
i1
E
E2
i2
34
Dwie cewki umieszczone blisko siebie moga na
siebie oddzialywac wzajemnie. Staly prad i1
plynacy w jednej cewce utworzy strumien pola
magnetycznego ? obejmujacego druga cewke. Jezeli
zmienimy prad i1 w czasie, to w drugiej cewce
pojawi sie sila elektromotoryczna E. Zjawisko to
nazywamy indukcja wzajemna.
Cewka 2 jest oddzielnym zamknietym obwodem
elektrycznym, która obejmuje strumien ?21.
Definiujemy indukcje wzajemna cewki 2 wzgledem 1
jako
(38)
(39)
Po zrózniczkowaniu wzgledem czasu otrzymamy
35
Prawa strona tego równania jest zgodnie z prawem
Faradaya sila elektromotoryczna E2 pojawiajaca
sie w cewce 2 dzieki zmianom pradu w cewce 1.

Jezeli zamienimy cewki rolami - odlaczymy zródlo
napiecia z obwodu cewki 1, a umiescimy je w
obwodzie cewki 2, która teraz wytworzy strumien
?12, to w obwodzie cewki 1 pojawi sie SEM.
(40)
SEM w jednej z cewek jest proporcjonalna do
szybkosci zmian pradu w drugiej cewki. Zwykle tez
M21 M12 M
(41)
36
Indukowane pole magnetyczne, pelne prawo Amperea
-

E
?
?
B
i
?
?
?
?
?
?
R
Prad i doplywa do okladek
Pole elektryczne E i indukowane pole magnetyczne
B w trakcie ladowania kondensatora plaskiego.
37
(42)
Pole magnetyczne jest wytwarzane przez
zmienny strumien pola elektrycznego
przeplyw pradu
Wczesniej przy obliczaniu indukcji wokól
przewodnika z pradem zakladano, ze strumien pola
elektrycznego jest równy zeru.
To wyrazenie ma wymiar pradu i nosi nazwe pradu
przesuniecia.
38
Prad przesuniecia
(42a)
Koncepcja pradu przesuniecia pozwala na
utrzymanie zasady ciaglosci pradu.
(44)
(43)
Rózniczkujemy po czasie
(45)
39
Prad przesuniecia jest równy pradowi przewodzenia
w obwodzie zewnetrznym.
(46)
Przyklad 4. Obliczyc prad przesuniecia
kondensatora o okladkach kolowych, promien
okladek R 5 cm, pole elektryczne zmienia sie z
szybkoscia dE/dt 1012 V/(ms).
(47)
40
WEKTORY MAGNETYCZNE

• B - Indukcja magnetyczna wszelkie prady
• H Natezenie pola magnetycznego prady
  rzeczywiste
• M Namagnesowanie (dipolowy moment magnetyczny
  na jednostke objetosci)

41
Zwiazek miedzy wektorami magnetycznymi
(48)
indukcja
namagnesowanie
natezenie pola
42
Indukcja magnetyczna B
Def. Jezeli dodatni ladunek próbny porusza sie w
strone punktu P z predkoscia v i jezeli na ten
ladunek dziala sila F, to w punkcie p istnieje
pole B, gdzie B jest wektorem spelniajacym
zwiazek
43
Prawo Ampera moze byc zapisane w sposób
nastepujacy
(49)
gdzie H jest wektorem zaleznym tylko od pradów
rzeczywistych. W prózni obowiazuje zaleznosc (50)
, dla materialów magnetycznych (51), µm
przenikalnosc magnetyczna osrodka.
(50)
(51)
44
W obecnosci materialów magnetycznych prawo Ampera
moze byc zapisane z uwzglednieniem iM - pradu
magnesujacego
(52)
Równowazna postac równania po uwzglednieniu
wektora magnetyzacji M
(48)
45
Równania Maxwella
(54)

• Prawo Gaussa dla elektrycznosci
• Prawo Gaussa dla magnetyzmu
• Prawo indukcji Faradaya
• Prawo Amperea