Gestion de portefeuille 3-203-99 Albert Lee Chun

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Gestion de portefeuille3-203-99 Albert Lee Chun
Construction de portefeuilles Markowitz et la
frontière efficiente

• Séance 4

25 Sept 2008
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Plan de la séance

• Une petite révision
• Portefeuille optimal des N titres risqués
• - Le problème de Markowitz
• - La frontière efficiente
• - Le théorème des deux fonds
• Portefeuille optimal des N titres risqués et 1
  titre sans risque
• - Droite du marché des capitaux
• - Portefeuille de marché
• - Le théorème de séparation
• - Différents taux demprunt et de placement

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Une petite révision
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Nous avons commencé par un univers avec 1 titre
sans risque et 1 titre risqué
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Décision de répartition du capital
Chaque investisseur se placera à un point
différent sur la CAL. La proportion investie dans
lactif risqué va dépendre de laversion au
risque. wlt 1 Prêteur
wgt 1 Emprunteur.
E(r)
Droite de répartition du capital (CAL)
E
Emprunteur
Rf
Prêteur
?
?p 22
Lallocation optimale est le point de tangence
entre CAL et la fonction dutilité de
linvestisseur.
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Maximiser lutilité de linvestisseur
La solution est
w est lallocation optimale.
7
Après ça, nous avons vu un univers avec deux
titres risqués
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Corrélation et risque
f
E(r)
E
g
h
i
j
?DE 1.00
?DE 0.50
k
D
?DE -1.00
?
9
Le portefeuille à variance minimale (PVM)
1gt? gt -1
? -1
? 0
Sil ny pas de ventes à découvert, alors le PVM
est égal à lactif avec le minimum de variance.
? 1
Avec des ventes à découvert, cest possible
davoir 0 variance.
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Le portefeuille optimal
Le proportion de capital à investir dans le
portefeuille D dépendra de laversion au risque
A.
E
P
D
11
Maximisez lutilité de linvestisseur
La solution est
12
Un univers avec 2 titres risqués et 1 titre sans
risque
13
Le portefeuille optimalest le portefeuille
tangent.
D
14
Les pondérations du portefeuille optimal
Trouvez le CAL qui maximise la pente.
La solution est
15
Le portefeuille optimal
Emprunteur
w gt1
Le proportion de capital à investir dans le
portefeuille risqué P dépendra de laversion au
risque A.
E
Prêteur
wlt1
D
16
Maintenant, imaginez un univers avec une
multitude de titres risqués
17
Harry Markowitz
1990 Prix Nobel déconomie Pour avoir
développé la théorie de la diversification
efficiente des portefeuilles. The
multidimensional problem of investing under
conditions of uncertainty in a large number of
assets, each with different characteristics, may
be reduced to the issue of a trade-off between
only two dimensions, namely the expected return
and the variance of the return of the portfolio.
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Frontière efficiente de Markowitz
Frontière efficiente
E
µ
D
s
19
Le problème de Markowitz I
Soumis à la contrainte de
La somme de la pondération égale à 1
Le maximum de rendement avec la contrainte de la
variance du portefeuille égalera le niveau de
risque cible.
20
Le problème de Markowitz II
Soumis à la contrainte de
La somme de la pondération égale à 1
Le minimum de variance avec la contrainte du
rendement du portefeuille égalera le niveau de
rendement cible.
21
Est-ce que le risque dun seule titre est
important?

• Est-ce quun titre qui a un grand risque demande
  une prime de risque élevée?
• Le modèle de Markowitz démontre quun risque
  idiosyncrasique nest pas important par rapport à
  la contribution de cet actif dans lensemble du
  portefeuille.
• Mais le modèle de Markowitz nexplique pas
  comment les rendements sont déterminés.

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Citation de Markowitz

• So about five minutes into my defense,
  Friedman says, well Harry Ive read this. I
  dont find any mistakes in the math, but this is
  not a dissertation in economics, and we cannot
  give you a PhD in economics for a dissertation
  that is not in economics. He kept repeating that
  for the next hour and a half. My palms began to
  sweat. At one point he says, you have a problem.
  Its not economics, its not mathematics, its
  not business administration, and Professor
  Marschak said, Its not literature. So after
  about an hour and a half of that, they send me
  out to the hall, and about five minutes later
  Marschak came out and said congratulations Dr.
  Markowitz.

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Le théorème des deux fonds
Fait intéressant Nimporte quelle combinaison
de 2 portfeuilles efficients générera la courbe
de frontière efficiente!
D
Chaque point de la frontière efficiente est une
combinaison de portfeuilles efficients A et B, A
et C, C et D, etc
B
C
A
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Imaginez un univers avec une multitude de titres
risqués et 1 titre sans risque
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Droite du marché des capitaux
CML maximise la pente.
Droite du marché des capitaux
Portefeuille tangent
E
M
D
rf
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Théorème de séparation de Tobin

• Dans un article de 1958, James Tobin a dit que si
  on a un portefeuille risqué, et que si on peut
  emprunter et prêter au même taux, la frontière
  efficiente est une combinaison de portefeuille de
  marché et dun actif sans risque.
• Le théorème de séparation dit quon peut diviser
  le problème de choix du portefeuille optimal en 2
  parties.
• Premièrement, on peut déterminer le
  portefeuille risqué de tangence. Ce portefeuille
  est optimal pour les investisseurs quelle que
  soit leur aversion au risque. Cest la décision
  dinvestissement.
• Deuxièmement, la répartition du capital
  entre lactif sans risque et le portefeuille de
  tangence est la décision de financement, laquelle
  dépend de lattitude de linvestisseur par
  rapport au risque.

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Portefeuille de marché
Tobin a ensuite démontré que sil y a un
portefeuille tangent et un actif sans risque, qui
permet demprunter et de prêter au même taux, le
portefeuille de tangence équivaut au portefeuille
de marché.
Droite du marché des capitaux
Portefeuille de marché
E
M
M
D
rf
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Théorème de séparation de Tobin
Droite du marché des capitaux
Emprunteur
Prêteur
M
Séparation de la décision dinvestissement de la
décision de financement.
rf
29
Qui détient le portefeuille de marché?
Emprunteur AltAM
Droite du marché des capitaux
AAM
Prêteur AgtAM
M
rf
30
Remarquez quon a réduit la complexité de cet
univers à 2 points
31
Seulement un taux de placement
Le niveau daversion au risque minimum à partir
duquel on veut investir au taux sans risque.
Prêteur
ML
rL
32
Frontière efficiente
Le portfeuille de marché peut être nimporte où
ici
Prêteur
rL
33
Différents taux demprunt et de placement
Emprunteur
MB
Prêteur
rB
ML
rL
34
Qui sont les prêteur et les emprunteurs?
Emprunteur
AltAMB
MB
Prêteur
rB
ML
AgtAML
rL
35
Qui sont les prêteur et les emprunteurs?
Emprunteur
AltAMB
MB
Prêteur
rB
ML
AgtAML
rL
36
Qui détient seulement un portefeuille risqué?
Emprunteur
AltAMB
AMB ltAltAML
MB
Prêteur
rB
ML
AgtAML
rL
37
Frontière efficiente
Emprunteur
AltAMB
AMB ltAltAML
MD
Prêteur
rB
ML
AgtAML
rL
38
Ou est le portfeuille de marché?
Le portfeuille de marché peut être nimporte où
ici
rB
rf
39
Pour la semaine prochaine

• La semaine prochaine on va
• - faire quelques exemples, à la fois numériques
  et dans Excel.
• discuter de l'appendice A sur la diversification.
• discuter de larticle dans recueil.
• finir de parler du chapitre 7 et commencer à
  parler du modèle dévaluation des actifs
  financiers.

40
Le pouvoir de diversifier
90 des bénéfices de la diversification des
actions obtenues après 12-18 actions.
Lécart type de rendement
Risque non systématique (idiosyncratique,
diversifié)
Risque total
Lécart type de marché (risque systématique)
Risque systématique
Nombre dactions dans le portefeuille