Tabelle di frequenza

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Tabelle di frequenza

• Disporre i seguenti dati in una serie ascendente
  e poi in una distribuzione di frequenze
• 1,40, 1,43, 1,50, 1,51, 1,53, 1,46, 1,50 , 1,40,
  1,46, 1,46, 1,50, 1,52, 1,52, 1,53, 1,40, 1,40,
  1,48, 1,50, 1,43, 1,46, 1,44, 1,46, 1,44, 1,50,
  1,50, 1,48, 1,43, 1,40.

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Altezza in metri Frequenza ?i Frequenze relativa ?i/n Percentuale ?i/n
1.40 5 5/28
1.41 0 0/28
1.42 0 0/28
1.43 3 3/28
1.44 2 2/28
1.45 0 0/28
1.46 5 5/28
1.47 0 0/28
1.48 2 2/28
1.49 0 0/28
1.50 6 6/28
1.51 1 1/28
1.52 2 2/28
1.53 2 2/28
? 28
? ????????
0.1786 0.0 0.0 0.1071 0.0714 0.0 0.1786 0.0 0.0714
0.0 0.2142 0.0357 0.0714 0.0714
17.86 0 0 10.71 7.14 0
17.86 0 7.14 0 21.42 3.57
7.14 7.14
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Distribuzione di frequenze raggruppate

• Può succedere che risulta più conveniente
  raggruppare le distribuzioni di frequenza.
  Questo raggruppamento viene fatto riunendo i
  valori sulla scala di misura riunendoli in gruppi
  della stessa unità.
• I gruppi si chiamano classe e la rappresentazione
  intervallo di classe.

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Distribuzione di frequenze raggruppate

• Le tabelle contenenti i gruppi (le classi)
  saranno formate da diverse colonne corrispondenti
  agli intervalli di classe, limiti della classe,
  estremi della classe, valore centrale della
  classe, conteggio e frequenza.

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Distribuzione di frequenze raggruppate

• I limiti della classe sono la misura minima di
  una classe (limite inferiore della classe) e la
  misura massima
• di una classe
• (limite superiore della classe) e definiscono
  lintervallo
• della classe.

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Distribuzione di frequenze raggruppate

• Gli estremi (o confini) della classe
  rappresentano lintervallo di approssimazione
  della classe. Il calcolo dei confini serve a
  rendere contigue le classi. Possiamo calcolare la
  misura dellestremo inferiore di una classe e la
  misura dellestremo superiore di una classe
• considerando il limite superiore di una classe e
  il limite inferiore della classe successiva.
• Opereremo come segue
• 141142
• 2

141.5
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Distribuzione di frequenze raggruppate

• Il valore centrale della classe è il punto medio
  (centro esatto) della classe. Possiamo ottenere
  questo valore dividendo per due il risultato
  della somma del limite inferiore e il limite
  superiore della classe di interesse
• 142144
• 2

143
mi
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Altezza in metri Limiti inferiori-superiori della classe Estremi inferiori-superiori della classe Valore centrale della classe mi (min) Conteggio ?i
1.39-1.41 1.39-1.41 1.385-1.415 1.40 IIII 5
1.42-1.44 1.42-1.44 1.415-1.445 1.43 IIII 5
1.45-1.47 1.45-1.47 1.445-1.475 1.46 IIII 5
1.48-1.50 1.48-1.50 1.475-1.505 1.49 IIII III 8
1.51-1.53 1.51-1.53 1.505-1.535 1.52 IIII 5
? 28
Le colonne del conteggio e frequenza sono
essenzialmente le stesse delle distribuzioni di
frequenze non raggruppate ma rappresentano il
numero di misure di ciascuna classe piuttosto che
ciascun livello.
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Distribuzione di frequenze raggruppate

• Lampiezza della classe è il numero di livelli
  che formano una data classe. Possiamo ottenere
  questo valore dal risultato della differenza tra
  il limite inferiore (o superiore) di una classe
  il limite inferiore (o superiore) della classe
  successiva
• 144-1413
• Ci sono tabelle costituite da classi di ampiezze
  uniformi. In questo caso oltre al metodo appena
  descritto possiamo calcolare lampiezza
  utilizzando Mi

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Distribuzione di frequenze raggruppate

• Anche in questo caso è possibile calcolare il
  valore delle frequenze relative, e delle
  corrispondenti di frequenze relative.
• ?i
• N
• Nel caso di una popolazione avremo ?i
• N
• La verrà calcolata
• ?i
• n
• ?i
• N

? ? ???????
? ? ???????
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Trasformazione di distribuzione di frequenze non
raggruppate in raggruppate principali regole.

• Usare non meno di 5 classi e non più di 20
• Se possibile usare classi equi-ampie
• Le ampiezze delle classi possono essere numeri
  pari o dispari, ma è preferibile un numero
  dispari in modo che il valore centrale della
  classe sia una delle unità della scala di misura.
• Nel caso in cui le ampiezze delle classi siano
  uniformi bisogna accertarsi che
• (campo di variazione) lt numero delle classi
  usate ampiezza delle classi
• Bisogna che la classe con il limite inferiore
  minimo includa xmin e che la classe con il limite
  superiore massimo includa xmax
• Più grande è il campione (o la popolazione)
  maggiori sarà il numero di classi da utilizzare

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Classi aperte

• Vengono utilizzate nei casi in cui si lavora con
  misure molto grandi o molto piccole, lontane dal
  punto in cui si concentrano la maggior parte dei
  dati. Presentano un solo limite della classe, il
  limite inferiore o il limite superiore. Qualsiasi
  distribuzione raggruppata abbia una classe aperta
  a uno od entrambi gli estremi viene definita
  distribuzione raggruppata aperta.

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Classi aperte

• Esempio di distribuzioni raggruppate di classi
  aperte

Altezza (metri) Alunni della scuola media a.s. 2002/2003
meno di 1.40 106
1.41-1.45 168
1.46-1.50 120
1.51-1.55 56
1.56-1.60 23
Oltre 1.61 12
Ha un limite superiore della classe (1.39) ma
non ha un limite inferiore
Ha un limite inferiore della classe (1.61) ma
non ha un limite superiore
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Classi aperte
Altezza in metri Limiti inferiori-superiori della classe Estremi inferiori-superiori della classe Valore centrale della classe mi (min) Ampiezza classe Alunni della scuola media a.s. 2002/2003 ?i
Meno di 1.40 ?-1.40 ?-1.405 ? ? 106
1.41-1.45 1.41-1.45 1.405-1.455 1.43 5 168
1.46-1.50 1.46-1.50 1.455-1.495 1.48 5 120
1.51-1.55 1.51-1.55 1.495-1.555 1.53 5 56
1.56-1.60 1.56-1.60 1.555-1.605 1.58 5 23
1.61 e oltre 1.61-? 1.605-? ? ? 12
? 485
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Classi aperte

• Nelle distribuzioni raggruppate aperte vengono
  normalmente utilizzate classi con ampiezza non
  uniformi in modo tale da mettere in risalto
  raggruppamenti particolari nel caso di indagini
  statistiche a sfondo politico o demografico. E
  comunque sempre consigliabile evitare luso di
  classi aperte perché quando si lavora con esse
  abbiamo che le proprietà non sono totalmente
  definite e risulterà quindi difficile la
  rappresentazione dei dati.

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Distribuzione cumulata

• Una distribuzione di frequenze non raggruppate
  può essere trasformata in una distribuzione di
  frequenze cumulate. Ciò avviene quando le
  frequenze vengono cumulate (aggiunte al totale)
  dalla categoria più piccola, xmin, alla categoria
  più grande, xmax.

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Distribuzioni cumulate minore di

• Mostrano quanti valori di un insieme di dati
  siano inferiori a qualsiasi valore considerato.
  Se i miei dati sono rappresentati da misure
  continue (approssimate) la cumulazione va fino
  allestremo superiore dellintervallo di
  approssimazione di una categoria di misura. Ad
  ogni estremo superiore la cumulazione darà come
  risultato finale il numero di misure del nostro
  campione inferiori al valore estremo.

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Distribuzioni cumulate maggiore uguale

• Si ragiona in maniera opposta alle distribuzioni
  di frequenze cumulate minore di. La cumulazione
  va da xmax a xmin considerando quanti valori sono
  uguali o maggiori allestremo inferiore
  dellintervallo di approssimazione della
  categoria.

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Distribuzioni cumulate raggruppate

• minore uguale in cui consideriamo i valori
  minori o uguali alla categoria stessa (misure
  esatte) o minori o uguali allestremo superiore
  dellintervallo di approssimazione della
  categoria
• (misure approssimate).
• maggiore di in cui utilizziamo i valori
  maggiori alla categoria stessa (misure esatte) o
  maggiori allestremo inferiore dellintervallo di
  approssimazione della categoria
• (misure approssimate).

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Distribuzioni cumulate raggruppate

• Per raggruppare i dati in classi in modo da
  organizzare distribuzioni cumulate raggruppate
  minore di dobbiamo considerare sia lestremo
  superiore di una classe che lestremo inferiore

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Altezza in metri Limiti inferiori-superiori della classe Estremi inferiori-superiori della classe Valore centrale della classe mi (min) Conteggio ?i
1.39-1.41 1.39-1.41 1.385-1.415 1.40 IIII 5
1.42-1.44 1.42-1.44 1.415-1.445 1.43 IIII 5
1.45-1.47 1.45-1.47 1.445-1.475 1.46 IIII 5
1.48-1.50 1.48-1.50 1.475-1.505 1.49 IIII III 8
1.51-1.53 1.51-1.53 1.505-1.535 1.52 IIII 5
? 28
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Distribuzioni cumulate raggruppate minore di
Altezza in metri Frequenza cumulata
Meno di 1.385 0
Meno di 1.415 5
Meno di 1.445 10
Meno di 1.475 15
Meno di 1.505 23
Meno di 1.535 28
23
Distribuzioni cumulate raggruppate

• Stesso discorso vale per le distribuzioni
  cumulate raggruppate maggiore uguale dove le
  classi possono essere cumulate considerando uno
  qualsiasi dei due estremi (superiore o inferiore)

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Distribuzioni cumulate raggruppate maggiore
uguale
Altezza in metri Frequenza cumulata
1.385 o più 28
1.415 o più 23
1.445 o più 15
1.475 o più 10
1.505 o più 5
1.535 o più 0
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Distribuzioni cumulate raggruppate

• Proviamo ad inserire nella distribuzione
  cumulata minore di da noi organizzata la
  frequenza relativa cumulata e la percentuale
  della frequenza relativa.