Modos deslizantes de orden superior

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Modos deslizantes de orden superior
Análisis del chattering

• Alfonso Monroy Olascoaga
• Asesor Dr. Leonid Fridman

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Índice

• Introducción
• Antecedentes
• Motivación
• Modos deslizantes
• Chattering
• Modos deslizantes de orden superior
• Controlador twisting
• Controlador super twisting
• Definición
• Análisis de chattering
• Función descriptiva
• Conclusiones
• Trabajo abierto

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Introducción
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Antecedentes

• 1932, Kulebakin control por relevadores de un
  generador de CD.
• 1934, Nikolski relevadores para controlar el
  movimiento de un barco.
• Inician en Rusia, gracias a los trabajos de
  Emelyanov y Barbashin, en los primeros años de
  la década de los 60s. Se conocieron fuera de
  Rusia gracias a Itkis (1976) y Utkin (1977).
• Los modos deslizantes pueden aparecer en
  cualquier tipo de sistema con discontinuidades en
  las ecuaciones de movimiento. Existen
  naturalmente (ej. fricción seca) y en
  aplicaciones (ej. convertidores de potencia).

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Motivación

• Considérese el sistema
• con a(t) lt k1 k2 lt b(t) lt k3 desconocidas.
• El problema consiste en diseñar una ley de
  control u para estabilizar asintóticamente el
  origen en presencia de a(t) y b(t), que
  representan incertidumbres en el modelo y
  perturbaciones.

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Motivación

• Para lograrlo se propone la superficie
• y se busca que la trayectoria del estado quede
  confinada a la misma. A la superficie propuesta
  se le conoce como superficie de deslizamiento y a
  la trayectoria del estado en ella, como modo
  deslizante.

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Motivación

• Lo anterior puede lograrse con un control
  discontinuo del tipo

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Motivación

• Modo deslizante ideal
• Convergencia a s 0 en tiempo finito
• Frecuencia de conmutación infinita

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Modos deslizantes

• La entrada de control puede tomar sólo dos
  valores y genera discontinuidades sobre la línea
  s 0.
• La trayectoria interseca la línea
• en tiempo finito y una vez que lo hace no puede
  salir de ella. El vector de estado decae
  exponencialmente según la solución de la ecuación
  diferencial.
• Debe notarse que la superficie deslizante no
  depende de los parámetros de la planta ni de la
  perturbación insensibilidad a perturbaciones y
  variaciones paramétricas.

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Chattering

• La desventaja más importante del control por
  modos deslizantes es el fenómeno conocido como
  chattering.
• Se presenta debido a que al modelar, no se
  consideran constantes de tiempo despreciadas en
  planta, sensores o actuadores.
• La conmutación en el control excita las dinámicas
  no modeladas y generan oscilaciones en el vector
  de estado a muy alta frecuencia.
• Afecta la precisión del control, genera pérdidas
  y puede provocar posibles daños a la planta.

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Chattering

• Efecto producido por histéresis en los actuadores

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Chattering

• Efecto producido por retardo en los actuadores
• retardo 10 ms

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Chattering

• Aproximación continua de la función signo

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Resumen

• El control por modos deslizantes convencionales
  tiene las siguientes ventajas
• Reducción de orden
• Insensibilidad a variación paramétrica o
  perturbaciones
• Su principal desventaja es el chattering.

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Modos deslizantes de orden superior
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Controlador twisting

• Para el sistema
• con
• a(t) lt k1 k2 lt b(t) lt k3, altk4, bltk5
• un controlador que elimina el chattering está
  dado por

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Controlador twisting

• Modo deslizante de orden 2 descrito por

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Controlador super-twisting

• Para el sistema
• con
• considérese el control

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Controlador super-twisting

• Modo deslizante de orden 2 descrito por

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Definición

• Los modos deslizantes de orden superior es una
  generalización del concepto de modo deslizante
  convencional.
• El orden del modo deslizante es el número de
  derivadas continuas de s en la vecindad del modo
  deslizante.
• Un modo deslizante de orden r está determinado
  por las ecuaciones

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Análisis del chattering

• Función descriptiva
• Se utiliza el método de la función descriptiva
  para determinar si el sistema en lazo cerrado
  presenta oscilaciones periódicas.
• Otros métodos perturbaciones singulares,
  ecuación promedio.

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Función descriptiva

• Controlador twisting (función descriptiva)
• Si la planta tiene un grado relativo mayor a dos,
  pueden presentarse oscilaciones periódicas.

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Función descriptiva

• Controlador super-twisting (función descriptiva)
• Si la planta tiene un grado relativo mayor a uno,
  pueden presentarse oscilaciones periódicas.

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Conclusiones

• Se presentó una visión general del concepto y
  características más importantes del control por
  modos deslizantes convencional.
• La insensibilidad a perturbaciones y variación
  paramétrica es su principal ventaja. El
  chattering es la desventaja más importante de los
  modos deslizantes de primer orden.
• Al generalizar el concepto de modo deslizante se
  obtienen los modos deslizantes de orden superior.
  Se presentaron dos controladores por modos
  deslizantes de segundo orden. Éstos garantizan
  convergencia al origen en tiempo finito y
  eliminación de chattering.
• El método de la función descriptiva es un método
  general para análisis del chattering.

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Trabajo abierto

• Análisis del chattering considerando efecto de
  actuadores
• Análisis del chattering para otros controladores
  de orden superior.

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Referencias

• 1 Utkin, V., Güldner,J., Shi, J.Sliding mode
  control in electromechanical systems. Taylor
  Francis, 1999.
• 2 Sabanovic, A., Fridman, L., Spurgeon,S.
  (Eds.) Variable structure systems from
  principles to implementation, IEE Books (por
  salir).
• 3 Edwards, C., Spurgeon, S.K. Sliding Mode
  Control. Theory and applications. Taylor
  Francis, 1988
• 4 Boiko, I., Fridman, L. Universal chattering
  test for the second order sliding modes
  algorithms Proceedings of the 8th Workshop of
  Variable Structure Systems, Septiembre 2004, (por
  salir).
• 5 Boiko, I., Fridman, L., M.I. Castellanos
  Analysis of second-order sliding mode algorithms
  in the frequency domain. IEEE Transactions on
  Automatic Control, Junio 2004, (por salir) .
• 6 Yu, X., Xu, J. (Eds.) Variable structure
  systems Towards the 21st. century.
  Springer-Verlag, 2002.

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Ejemplo

• Planta
• Actuador

primer orden primer orden twisting twisting super-twisting super-twisting
? Amp ? Amp ? Amp
1) ? 0 75 2.53e-6 66.16 2.33e-4
2) 100 1.3e-4 53.52 9.48e-6 55.18 4.81e-4
(Boiko, Fridman, 2004)
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Existencia del modo deslizante

• Se propone una superficie de deslizamiento
  atrayente.
• Para garantizar la existencia del modo deslizante
  debe satisfacerse
• Intituivamente