Pit

1
Pitágoras, Fermat y Wiles Una
historia de 2500 años
2
Pitágoras

• Siglo VI AC

3
Y su famoso teorema
a2 b2 c2
4
Demostrando el teorema de Pitágoras
c
a
b
5
Demostrando el teorema de Pitágoras
c
b
c
a
b
a
6
Demostrando el teorema de Pitágoras
b
a
a
c
b
c
c
b
c
a
b
a
7
Demostrando el teorema de Pitágoras
b
a
Calculando el área
a
c
(ab)2 c22ab
b
c
Es decir
a2b22ab c22ab
c
b
O sea
c
a
a2b2 c2
b
a
8
Los números para Pitágoras
5/6
1/2
Pero
2/3
2 ??
1
5
3
1
4
9
Las ternas Pitagóricas

• (3,4,5) 32 42 52
• (2.3,2.4,2.5) (2.3)2 (2.4)2 (2.5)2
• (3.3,3.4,3.5) (3.3)2 (3.4)2 (3.5)2
• (k.3,k.4,k.5) (k.3)2 (k.4)2 (k.5)2
• Hay otras de las que son en serio?
• Sí por ejemplo (5,12,13) 52
  122 132

10
Hay muchas ternas de las que son en serio?

• Escribo todos los números
• 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
  12 13 14 15 16 17 18 19

11
Hay muchas ternas de las que son en serio?

• Escribí todos los números
• 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
  12 13 14 15 16 17 18 19
• Los elevo al cuadrado
• 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112
  122 132 142 152 162 172 182 192
• Lo que da
• 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144
  169 194 225 256 289 324 361

12
Hay muchas ternas de las que son en serio?

• Escribí todos los números
• 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
  12 13 14 15 16 17 18 19
• Los elevé al cuadrado
• 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112
  122 132 142 152 162 172 182 192
• Lo que dió
• 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144
  169 194 225 256 289 324 361
• Le resto a cada cuadrado el cuadrado anterior
• 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23
  25 27 29 31 33 35 37

13
Hay muchas ternas de las que son en serio?

• Escribí todos los números
• 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
  12 13 14 15 16 17 18 19
• Los elevé al cuadrado
• 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112
  122 132 142 152 162 172 182 192
• Lo que dió
• 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144
  169 194 225 256 289 324 361
• Le resté a cada cuadrado el cuadrado anterior, y
  dió
• 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23
  25 27 29 31 33 35 37

14
Hay muchas ternas de las que son en serio?

• Escribí todos los números
• 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
  12 13 14 15 16 17 18 19
• Los elevé al cuadrado
• 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112
  122 132 142 152 162 172 182 192
• 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144
  169 194 225 256 289 324 361
• Le resté a cada cuadrado el cuadrado anterior, y
  dió
• 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23
  25 27 29 31 33 35 37
• 3 5 7 32 11 13 15 17 19 21 23
  52 27 29 31 33 35 37

15
Hay infinitas ternas de las que son en serio

• 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
  12 13 14 15 16 17 18 19
  20
• 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112
  122 132 142 152 162 172 182 192
  202
• 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144
  169 194 225 256 289 324 361 400
• 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23
  25 27 29 31 33 35 37 39
• 32
  52
• Es decir
• 52 42 32 52 32 42
  132 122 52 132 52
  122
• Así (3,4,5) , (5,12,13) , (7,24,25) ,
  (9,40,41) , (11,60,61) ,
• Estos no son los únicos, aún más por ejemplo
  (8,15,17) (Euclides)

y
16
Pierre de
Fermat

• 1601-1665

17
(No Transcript)
18
Cubum autem in duos cubos, aut
quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et
generaliter nullam in infinitum ultra quadratum
potestatem in duos eiusdem nominis fas est
dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane
detexi. Hanc marginis exigitas non capere.
Es imposible para un cubo escribirse como suma
de dos cubos, o para una potencia cuarta
escribirse como suma de dos potencias cuartas, o
en general, para cualquier número igual a una
potencia superior a dos escribirse como la suma
de dos potencias iguales. Tengo una prueba
maravillosa de este hecho pero no cabe en este
margen estrecho.
Pierre de Fermat, 1937
19
El último teorema de Fermat

• No existen a , b , c tales que
• a3 b3 c3,
• o tales que
• a4 b4 c4.
• O más generalmente, para cualquier ngt2,
• no existen a , b , c tales que
• an bn cn

20
Extendiendo los números
Para resolver a2 b2 c2, se hace a2 c2
b2, O sea a2 (c - b) (c b) (c 1 . b) (c
( -1 . b)) Para resolver a3 b3 c3, se
hace a3 c3 b3 y ??
w -1/2 v 3 /2 i y w2 -1/2 - v 3 /2
i Vale w3 1. Entonces a3 c3 b3 es lo
mismo que a3 (c - b) (c - w b)
(c w2 b)
w
1
-1
w2
21
Y se trabaja en el conjunto
x y w z w2 con x , y , z números
enteros
Pero esos conjuntos pueden ser tramposos
Por ejemplo si trabajamos en el
conjunto x y v3 i con x , y
números enteros, Se tiene
4 2 . 2 ( 1 v3 i ) ( 1- v3 i )


22
Andrew Wiles

• 1953
• 1993/1994

23
Para terminar recomiendo mucho
Muchas Gracias!!!