Il piano fattoriale a due fattori

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Il piano fattoriale a due fattori

• Esempio di piano fattoriale il caso della
  progettazione robusta di batterie

Tipo di Materiale Temperatura (F) Temperatura (F) Temperatura (F) Temperatura (F) Temperatura (F) Temperatura (F)
Tipo di Materiale 15 15 70 70 125 125
1 130 155 34 40 20 70
1 74 180 80 75 82 58
2 150 188 136 122 25 70
2 159 126 106 115 58 45
3 138 110 174 120 96 104
3 168 160 150 139 82 60

1. Che effetti hanno il tipo di materiale e la
   temperatura sulla durata delle batterie?
2. Cè una scelta di materiale suscettibile di dare
   una durata elevata, indipendentemente dalla
   temperatura (batteria robusta al D temperatura)

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Il piano fattoriale a due fattori

• Piano completamente causalizzato

Fattore B
1
2

b
1
2
Fattore A

a
Osservazione generica alla k-esima replicazione
yijk
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Il piano fattoriale a due fattori

• Piano completamente causalizzato

Fattore B
1
2

b
1
2
Fattore A

a
Modello a fattori fissi con effetti dei
trattamenti definiti come scarti dalla media
generale
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Il piano fattoriale a due fattori

• Linteresse è rivolto a valutare ipotesi
  sulleguaglianza di effetti di riga, colonna e di
  interazione

H0 Nessun Effetto
H1 Presenza Effetto
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Il piano fattoriale a due fattori
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Il piano fattoriale a due fattori

• La somma dei quadrati totale corretta può essere
  scritta come

Giacché i sei prodotti incrociati che provengono
dallo sviluppo del lato destro sono nulli, si
noti che la somma dei quadrati totale è stata
scomposta in una somma dei quadrati dovuta alle
sole righe, alle sole colonne, allinterazione
tra i fattori A e B e allerrore
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Il piano fattoriale a due fattori

• Il numero di gradi di libertà associati a
  ciascuna somma dei quadrati è

I gradi di libertà dei fattori sono pari al
numero di livello meno 1. I gradi di libertà
delle interazioni sono dati dal numero delle
celle 1 a cui vanno sottratti i gradi di
libertà dei singoli fattori. Infine, il grado di
libertà dellerrore è dato dal grado di libertà
di ciascuna casella del piano sperimentale, cioè
n-1, moltiplicato il numero di caselle ab.
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Il piano fattoriale a due fattori

• Ciascuna somma dei quadrati divisa per i propri
  gradi di libertà è un quadrato medio con valore
  atteso E(MS) dato da (D.C. Montgomery,
  Progettazione ed Analisi degli Esperimenti, pp.
  74-79)

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Il piano fattoriale a due fattori
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Il piano fattoriale a due fattori

• Per verificare la significatività di entrambi i
  fattori e della loro interazione è sufficiente
  dividere il corrispondente quadrato medio per il
  quadrato medio dellerrore.
• Valori elevati di tale rapporto stanno ad
  indicare che i dati non confermano lipotesi
  nulla H0 e che quindi vige lipotesi H1

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Il piano fattoriale a due fattori

• Se i termini di errore eijk sono distribuiti
  normalmente ed indipendentemente con varianza
  costante s2

Origine della variabilità Somma dei quadrati Gradi di libertà Media dei Quadrati F0
A trattamenti SSA a-1 MSA SSA/(a-1) MSA/MSE
B trattamenti SSB b-1 MSB SSB/(b-1) MSB/MSE
Interazione SSAB (a-1)(b-1) MSAB SSAB/(a-1)(b-1) MSAB/MSE
Errore SSE ab(n-1) MSE SSE/(ab(n-1))
Totale SST abn-1
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Il piano fattoriale a due fattori

• Le somme dei quadrati possono essere anche
  calcolate manualmente, comunque si suggerisce
  luso di un calcolatore

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