Analisi e Gestione del Rischio

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Analisi e Gestione del Rischio

• Lezione 4
• Tecniche di mapping

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Tecniche di mapping
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Dalle posizioni alle esposizioni

• I titoli che sono stati censiti e valutati e che
  costituiscono le posizioni di un intermediario, o
  di una sua business unit, vengono trasformati in
  termini di esposizione ai fattori di rischio
• La trasformazione in termini di esposizione è un
  processo noto con il termine di mapping.
• Il mapping consente di fornire una
  rappresentazione sufficientemente sintetica e
  informativa dei rischi cui è esposto un
  portafoglio, e rappresenta una guida utile per la
  gestione del rischio

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Esposizioni in obbligazioni

• Il mapping delle esposizioni in prodotti
  obbligazionari richiede la rappresentazione di
  ogni titolo su un un numero limitato di bucket.
• Ogni flusso di un titolo obbligazionario che non
  corrisponde esattamente a un bucket viene
  ripartito in due flussi attribuiti alle scadenze
  più vicine.
• La ripartizione è disegnata in modo che i due
  flussi preservino il più possibile le
  caratteristiche finanziarie del flusso originario

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Larte del reporting Quanti bucket?

• Il numero dei bucket dovrebbe riflettere il
  numero dei fattori di rischio che influenzano la
  curva dei tassi.
• Un numero insufficiente di bucket può portare a
  ignorare importanti movimenti della curva
• Un numero eccessivo di bucket può portare troppo
  rumore nei movimenti della curva
• In gran parte dei mercati, tre o quattro fattori
  sono in genere sufficienti a rappresentare la
  grande maggioranza dei movimenti della curva, ma
  in concreto se ne usano dieci/dodici per
  migliorare la rappresentazione dellesposizione.

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Perché più bucket?

• Tipicamente si utilizza un numero maggiore di
  bucket rispetto ai veri fattori di rischio che
  guidano la curva per due motivi
• Il primo un numero limitato di dati aumenta la
  differenza tra le caratteristiche finanziarie del
  portafoglio di partenza ed i flussi mappati
• Il secondo una rappresentazione più di dettaglio
  del profilo temporale dei flussi consente di
  prendere decisioni migliori in termini di
  copertura

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Cash flow-mapping

• La rappresentazioni di un flusso di cash-flow su
  un numero limitato di bucket è noto come
  cash-flow mapping.
• Requisiti
• Il segno delle posizioni deve essere preservato
• Il valore delle posizioni deve essere preservato
• Il rischio delle posizioni deve essere preservato
  

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Cash flow mapping due opzioni

• Opzione Fisher Weil i cash-flow sono ripartiti
  preservando i) il segno ii) il valore di
  mercato iii) la duration
• Opzione RiskMetrics i cash-flow sono ripartiti
  preservando i) il segno ii) il valore di
  mercato iii) la volatilità

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Opzione Fisher Weil

• Sia c? un flusso nominale (positivo o negativo)
  corrispondente alla scadenza ?. Il flusso deve
  essere scomposto in due flussi dello stesso segno
  ci-1 e ci sulle scadenze più vicine ti-1 e ti. La
  soluzione richiede che
• ci-1v(t, ti-1) civ(t, ti) c? v(t, ?)
• (ti-1 - t)ci-1v(t, ti-1) (ti - t) civ(t, ti)
  (? - t) c? v(t, ?)
• N.B. Abbiamo utilizzato la duration di Macaulay,
  ma avremmo potuto utilizzare allo stesso modo la
  duration modificata.

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Fisher e Weil la soluzione

• Risolvendo il sistema abbiamo
• e il valore è della posta è ripartito sui bucket
  in ragione del rapporto tra le duration.

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Opzione RiskMetrics

• Definiamo ?i-1, ?? e ?i le volatilità dei tassi
  sulle scadenze ?, ti-1 e ti rispettivamente e
  ?i,i-1 la correlazione tra i tassi sui due
  bucket.
• Vogliamo ricavare ?, la quota del valore c?v(t,?)
  che verrà allocata al vertice ti-1
• v(t, ti-1)ci-1 ?c?v(t,?) v(t, ti)ci
  (1- ?) c?v(t,?)
• La condizioni sul segno e sul valore della
  posizione originaria rispetto a quelle ottenute
  con il mapping sono dunque verificate per 0 ? ? ?
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• La condizione sulla duration è sostituita da
• ?2Di-12?i-12 (1 - ?)2 Di2?i2
• 2 (1 - ?) ? Di-1Di?i,i-1 ?i?i-1
  D?2 ??2

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RiskMetrics la soluzione

• Il valore di ? è ottenuto risolvendo lequazione
  di secondo grado
• a ?2 b ? c 0 con
• a Di-12?i-12 Di2?i2 - ?i,i-1 Di-1Di ?i?i-1
• b 2(?i,i-1 Di-1Di ?i?i-1 - Di2?i2)
• c Di2?i2 - D?2 ??2
• Viene scelta la soluzione compresa tra 0 e 1,
  ammesso che esista!

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Cash flow mapping pro e contro

• Opzione Fisher Weil vantaggi
• independenza dalla stima della volatilità
• possibile stimare un limite di errore di
  approssimazione
• Opzione RiskMetrics svantaggi
• Se la stima di volatilità è accurata, fornisce
  unapprossimazione migliore
• Coerente con un vasto insieme di movimenti della
  struttura a termine

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Un caso particolare

• Assumiamo che la volatilità sia costante su tutti
  e bucket e che la correlazione sia perfetta
• i) ?i-1 ?? ?i ?
• ii) ?i,i-1 1
• La condizione del modello di RiskMetrics è
• ?2Di-12?2 (1 - ?)2 Di2?2 2 (1 - ?) ? Di-1Di
  ?2 D?2 ?2
• da cui
• ? Di-1 (1 - ?) Di 2 D?2
• e la condizione corrisponde a quella di Fisher e
  Weil

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(No Transcript)
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La nuova opzione RiskMetrics

• Recentemente RiskMetrics ha lanciato una proposta
  basata sullinterpolazione lineare della curva
  dei tassi
• r(t,?) ? r(t, ti-1) (1 ?) r(t, ti)
• I requisiti del modello sono
• Il mapping è utilizza tre fondi anziché due due
  posizioni sui bucket adiacenti e una in cash.
• Il mapping è costruito in modo che la sensitività
  del valore della posizione originaria rispetto al
  tasso di ognuno dei due bucket sia uguale alla
  sensitività delle poste di quel bucket.
• Lidea è quella di far sì che se anche i due
  tassi si muovono in modo non correlato la
  sensitività complessiva della posizione ottenuta
  con il mapping sia la stessa del flusso
  originario.

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Le tre equazioni
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La soluzione
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Reporting sul rischio azionario

• Le posizioni sul mercato azionario non sono
  distribuite su uno scadenzario, ma ripartite su
  mercati omogenei per paese o settore.
• Scelte per il reporting
• Esposizione al mercato valore della posizione
• Esposizione al mercato rischio sistematico
• Esposizione al titolo rischio complessivo

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Reporting del rischio azionario

• Secondo il CAPM o il modello APT a un fattore, il
  cosiddetto market model, il rendimento di periodo
  rS sul titolo S può essere scomposto come
• rS (1 - ?) rf ? rM ?S o, in parole
• rS risk-free
• rischio sistematico
• rischio idiosincratico

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Scelte di reporting

• La scelta di reporting
• Assumere beta pari a 1 e nessun rischio
  idiosincratico consigliabile per esposizioni
  modeste
• Utilizzare il calcolo del beta, o beta-book
  disponibili dai data-provider per distinguere
  lesposizione al rischio sistematico e a quello
  idiosincratico
• Utilizzare la volatilità complessiva del titolo.

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Reporting sul rischio di cambio

• Per posizioni su titoli di debito e capitale
  nella valuta straniera j, caratterizzata dal
  tasso di cambio ej rispetto alla valuta di
  riferimento, lesposizione al rischio di tasso o
  di mercato si somma a quella al rischio di cambio
• La variazione percentuale di periodo di ogni
  esposizione i, dal punto di vista della valuta di
  riferimento, può essere infatti scomposta come
• ri ri re dove ri e re sono rispettivamente
  le variazioni percentuali della posizione in
  valuta straniera e quella del cambio

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Esposizione al rischio di cambio

• Data la scomposizione della variazione
  percentuale del valore, la varianza della
  posizione è
• ?i2 ?i2 ?e22?ie?i?e
• Ogni esposizione in titoli in valuta implica
  quindi unesposizione al rischio di cambio per
  una cifra pari al valore marking-to-market della
  posizione
• Si noti che nel caso estremo in cui ?ie 1
• ?i ?i ?e