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Gráficos de Ligaduras de Sistemas Mecánicos

• Veremos ahora con algo más de detalle el modelado
  de sistemas mecánicos 1D utilizando gráficos de
  ligaduras.
• En primer lugar, veremos el problema de las
  restricciones holonómicas en sistemas mecánicos.
• Luego, discutiremos como puede construirse una
  librería de gráficos de ligaduras envasados de
  sistemas mecánicos.
• Finalmente, veremos un algoritmo simbólico para
  la selección de estados.

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Contenido

• Variables de estado en sistemas mecánicos
• Restricciones holonómicas
• Envase de gráficos de ligaduras de sistemas
  mecánicos
• Selección de estados
• Condiciones iniciales
• Variables protegidas
• Ejemplo
• Algoritmo de selección de estados

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Variables de Estado en Sistemas Mecánicos

• Ya hemos visto que las masas (inercias) pueden
  modelarse usando inductores de gráficos de
  ligaduras, mientras que los muelles pueden
  modelarse utilizando capacidades. Luego, las
  variables de estado naturales para una
  descripción en gráficos de ligaduras de sistemas
  mecánicos son las velocidades (angulares)
  absolutas de los cuerpos y las fuerzas (pares de
  torsión) en los muelles.
• En el modelo de un sistema mecánico descrito de
  esta manera, las posiciones (angulares) se
  pierden. Éstas no son necesarias para una
  descripción propia y completa de la dinámica del
  sistema.

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Restricciones Holonómicas I

• Esto causa problemas, ya que es relevante saber
  si dos cuerpos ocupan el mismo lugar en el mismo
  instante, es decir, si los cuerpos chocan entre
  sí.
• También, cuando dos cuerpos están conectados en
  un punto (por ejemplo a través de una
  articulación), no alcanza con decir que las
  velocidades de estos puntos son iguales. Debe
  decirse que las posiciones son idénticas.
• Tales restricciones posicionales, en la
  literatura de la mecánica, se denominan
  restricciones holonómicas.
• Las restricciones correspondientes en la
  velocidad (restricciones no holonómicas) no
  necesitan especificarse por separado ya que
  pueden derivarse automáticamente de las
  restricciones holonómicas.

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Restricciones Holonómicas II

• Por esto, convendría encontrar una descripción
  alternativa que utilice velocidades y posiciones
  absolutas de los cuerpos como variables de
  estado, dejando de lado las fuerzas en los
  muelles.
• Puede hacerse esto en el marco de la metodología
  de los gráficos de ligaduras?
• Sí, y así es como se construyeron las dos
  librerías de gráficos de ligaduras envasados de
  mecánica 1D (para movimientos de traslado y de
  giro).

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Los Conectadores Mecánicos

• Introduciremos dos conectadores de traslado de
  tipo brida. Estos son similares a los de la
  biblioteca estándar, pero no son idénticos ya que
  tienen una segunda variable de potencial la
  velocidad, v.
• Por esto, nuestros modelos mecánicos serán
  incompatibles con los de la biblioteca estándar.
• Ambos modelos de brida son en realidad idénticos.
  Se ofrecen dos conectadores diferentes sólo por
  motivos visuales.

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Los Conectadores Mecánicos II

• También necesitamos un conectador para señales
  reales. Este es similar a los conectadores de
  entrada y salida de la biblioteca de bloques,
  pero la señal es bidireccional en vez de ser
  unidireccional.

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Modelos de Envase

• Necesitamos modelos de envase que conviertan los
  conectadores mecánicos en conectadores de
  gráficos de ligaduras y viceversa.
• Dado que los conectadores de los gráficos de
  ligaduras no pueden incluir la información de la
  posición, ésta debe separarse en un segundo
  conectador de señal.

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Modelos de Envase II

• Dado que el conectador mecánico corresponde a un
  nodo mecánico, es decir, un punto donde la suma
  de las fuerzas (pares de torsión) es cero,
  corresponde a una unión 1 en gráficos de
  ligaduras en lugar de una unión 0.
  Consecuentemente, es aquí que la variable de
  esfuerzo deberá tener signo negativo.

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Modelo de la Masa Deslizante

• Ahora veremos el modelo de una masa deslizante.

Las variables de estado son la variable f del
modelo inductor y la salida del integrador
interno del sensor q.
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Modelo de la Masa Deslizante II

• El modelo está dividido en una parte superior (un
  gráfico de ligaduras) que opera con velocidades y
  fuerzas, y una parte inferior (señal) que trata
  con la información posicional.
• La posición s calculada por el sensor es la
  posición del centro de masa de la barra.
• La posición del conectador izquierdo está a una
  distancia de L/2 hacia la izquierda del centro, y
  el derecho a una distancia L/2 hacia la derecha.
• Estos valores posicionales están distribuidos
  hacia la izquierda y la derecha a través de los
  conectadores mecánicos.

modelo en gráfico de ligaduras (v,f)
modelo gráfico de señal (s)
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Modelo de la Masa Deslizante III

• Las variables de estado naturales de este modelo
  son las internas I.f y sAbs.Integrator1.y.
  Esto no es conveniente.
• El usuario podría preferir usar las variables
  locales v y s del modelo de la masa como
  variables de estado.
• Se le puede indicar a Dymola que modifique, si es
  posible, las variables que se utilizan como
  estados, o sea, las que aparecen en el código de
  simulación con el operador der().
• Discutiremos más adelante en esta clase como
  puede lograrse esto.

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Modelo de la Masa Deslizante IV

• Una pregunta que nos queda es para que variables
  debemos especificar condiciones iniciales.
• Lo hacemos para las nuevas variables de estado s
  y v, o lo hacemos para las variables de estado
  naturales?
• Resulta que podemos hacerlo para cualquiera, pero
  no para ambas.
• Dymola utilizará los valores especificados como
  valores iniciales de iteración e iterará para
  obtener los valores de los nuevos estados
  desconocidos hasta que encuentre un conjunto de
  condiciones iniciales consistente con la
  información especificada por el usuario.

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Modelo del Muelle

• Veremos ahora el modelo de un muelle.

El muelle se modela como una fuente de esfuerzo
modulada, o sea, sin un integrador propio. Éste
toma la información posicional a través de sus
dos terminales.
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Modelo del Muelle II

• El muelle puede describirse utilizando la
  ecuación
• o bien usando la forma derivada
• Hasta ahora, siempre usamos la segunda
  representación, es decir, una capacidad, pero
  ahora estamos utilizando la primera.
• En principio, ambas funcionan igualmente bien.

fx k (xleft xright )
dfx/dt k (vleft vright )
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Modelo del Muelle III

• Hay un problema, sin embargo.
• El nuevo modelo de muelle toma la información
  posicional necesaria a través de sus dos
  terminales.
• Como la información posicional se calcula
  únicamente en las masas y marcos inerciales, este
  modelo puede ser colocado sólo entre dos masas o
  entre una masa y la tierra.
• En particular, no es posible conectar en serie un
  muelle y un amortiguador.

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Modelo del Muelle IV

• El modelo anterior (con una capacidad) no tiene
  esta limitación.
• Por esto, nuestro nuevo modelo de muelle explota
  un pequeño truco.
• el mismo truco que de hecho usa la biblioteca
  estándar, aunque sin ofrecer una interpretación
  en gráficos de ligaduras.

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Modelo del Muelle V

• La capa de las ecuaciones no ofrece ninguna
  sorpresa.
• La posición y velocidad relativa del muelle se
  calculan aquí, ya que estas son variables que el
  usuario podría querer graficar.

El resto de los modelos de la biblioteca son lo
que esperaríamos que fueran, y por lo tanto no
hace falta discutirlos aquí.
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Envase Ajustado Variables Protegidas

• Veamos ahora la vista expandida de la capa de
  ecuaciones del modelo del muelle.
• Coloqué manualmente la palabra protected delante
  de las declaraciones de variables hacia el
  interior de los modelos de envase.
• El objetivo es evitar que dichas variables se
  muestren en la ventana de simulación.
• De esta manera, los parámetros del modelo se
  verán de la misma forma en la ventana de
  simulación que usando la librería estándar.
• Este modelo fue envasado ajustada-mente.

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Ejemplo

• Dado el siguiente sistema mecánico

21
Ejemplo II

• Usando la biblioteca de traslado que forma parte
  de la biblioteca mecánica de la BondLib, el
  sistema puede modelarse como sigue

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Ejemplo III
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Selección de las Variables de Estado

• Hasta ahora siempre usamos los voltajes a través
  de una capacidad y las corrientes a través de una
  inductancia como variables de estado.
• Si tratamos con sistemas multicuerpos, importa
  mucho la selección de las variables de estado,
  porque influye fuertemente la eficacia del código
  de simulación obtenido.
• Si seleccionamos las variables de estado bien, el
  número de ecuaciones de simulación de un sistema
  multicuerpos estructurado como un árbol crece de
  forma lineal con el número de grados de libertad.
• Si seleccionamos mal las variables de estado, el
  número de ecuaciones de simulación crece con la
  cuarta potencia del número de grados de libertad.

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Selección de las Variables de Estado II

• Para esto tendríamos que usar las posiciones y
  velocidades relativas de las articulaciones como
  variables de estado preferidas.
• Dymola soporta el concepto de elegir variables de
  estado diferentes de aquellas que el sistema
  usaría normalmente.
• Para ello, el usuario puede declarar variables de
  estado deseadas de la forma siguiente
• Dymola cumplimenta esta instrucción por medio de
  una versión modificada del algoritmo de
  Pantelides.

Real x(stateSelect StateSelect.prefer)
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Selección de las Variables de Estado III

• Si la variable de estado deseada ya aparece de
  forma derivada, úsala si es posible como variable
  de estado.
• Si la variable de estado deseada no aparece aún
  de forma derivada, se debe derivar la ecuación
  que evalúa la variable deseada, añadirla al
  conjunto de las ecuaciones y generar un nuevo
  integrador para ella.
• Ahora tenemos una ecuación superflua.
• Si hay variables algebraicas adicionales que se
  derivan en el proceso de la diferenciación, se
  derivan las ecuaciones que definen estas
  variables también y se añaden al conjunto de
  ecuaciones sin introducir nuevos integradores
  para ellas.

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Selección de las Variables de Estado IV

• En el proceso de estas diferenciaciones
  adicionales, las nuevas variables y ecuaciones se
  añaden al conjunto de tal manera que al final del
  proceso todavía nos queda una ecuación superflua.
• Si la variable de estado deseada es legítima,
  aparece al menos una de las variables de estado
  seleccionadas antes en el conjunto de las
  ecuaciones derivadas.
• Se elimina el integrador asociado con esta
  variable del sistema. Ahora tenemos de nuevo el
  mismo número de ecuaciones y variables.

27
Selección de las Variables de Estado V

• Dado nuestro circuito eléctrico estándar.
• Ya sabemos como puede obtenerse un conjunto de
  ecuaciones del mismo.

?
28
Selección de las Variables de Estado VI

• Queremos obtener un conjunto modificado de
  ecuaciones de simulación que use la variable uR1
  como variable de estado, eliminando una de las
  variables de estado naturales del conjunto.
• Para mostrar el método aplicaremos manualmente el
  algoritmo de selección de las variables de
  estado.

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Selección de las Variables de Estado VII
duR1/dt dv1 dv2
dU0 df(t)/dt
30
Selección de las Variables de Estado VIII

• Ahora se aplica el algoritmo de Tarjan al nuevo
  conjunto.

?
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Selección de las Variables de Estado IX
?
32
Selección de las Variables de Estado X
?
33
Selección de las Variables de Estado XI
?
34
Selección de las Variables de Estado XII

• Finalizamos con 16 ecuaciones y 16 incógnitas en
  lugar de las 12 ecuaciones y 12 incógnitas que
  había originalmente.
• Esta solución es un poco menos eficiente en
  cuanto al tiempo de ejecución.
• Sin embargo, las variables que aparecen derivadas
  en el modelo son la corriente del inductor iL y
  el voltaje en la resistencia uR1.