M

1
Métodos Analíticos para Simulação Dinâmica de
Corpos Rígidos Não-penetrantes

• Autor David Baraff
• FonteSIGGRAPH 1989
• Webhttp//www.pixar.com/companyinfo/research/deb/
  

2
Objetivo

• Apresentar de maneira sucinta Método Heurístico
  utilizado por David Baraff, para Simulação
  Dinâmica de Corpos Rígidos Não-penetrantes.

3
Heurístico ?

• Do grego heuristike achado, descoberta
• Relacionado a heurística, ie, uma hipótese de
  trabalho adotada provisoriamente como idéia
  diretriz na pesquisa de fatos
• Método Heurístico Técnicas (ex auto-educação)
  que servem como ajuda na solução de um problema
  para o aprimoramento da performance.

4
Roteiro

• Introdução
• Motivação
• Revisão alguns conceitos físicos
• Simulação utilizando Métodos Analíticos
• Modelando Contatos
• Calculando Dinamicamente forças de contato
  corretamente
• Solução Heurística
• Restrições Adicionais
• Conclusão

5
Introdução

• Muitos trabalhos utilizam as leis dinâmica
  Newtoniana para simular sistemas de corpos
  rígidos (CR)
• Toda simulação realística de corpos rígidos exige
  que não haja inter-penetração de dois quaisquer
  corpos
• Foco do Paper Dado um número de corpos rígidos
  poliédricos, calcular as forças que naturalmente
  surgem para prevenir a interpenetração.

6
Motivação

• Moore e Hahn fizeram os primeiros trabalhos
  (1988) utilizando métodos analíticos p/ cálculo
  de forças (impulso) entre CR
• O método utilizado p/ corpos em repouso,
  entretanto, era não analítico. Modelo Utilizado
  p/ corpos em repouso série de colisões ocorrendo
  freqüentemente. ? Modelo Analítico de forças que
  não é válido
• Platt e Barr utilizaram Penalty Forces e
• Moore e Wilhelms utilizaram forças elásticas.

7
Motivação (continuação)

• Métodos Errôneos
• Vantagens
• fácil de implementar
• pouco complexidade e
• extensível p/ corpos não rígidos.
• Desvantagens
• as simulações apresentam resultados aproximados
• a correção da simulação é difícil de se verificar
  em alguns casos e
• requer ajustes para condições diferentes na
  simulação.

8
Motivação (continuação)

• Métodos Analíticos
• Vantagens
• dão respostas exatas
• produzem E.D.O. que requerem bem menos passos no
  tempo durante simulação e
• a correção da simulação é fácil de se verificar
  (baseadas diretamente da dinâmica Newtoniana).
• Desvantagens
• -são muito mais complexos de derivar e
  implementar.

9
Revisão

• Centro de Massa
• Momento Linear
• Força
• Torque
• Momento Angular
• Momento de Inércia

10
Simulação via Métodos Analíticos

• Tratamento diferenciado entre forças de colisão e
  forças de contato em repouso.
• Forças de colisão
• forças descontínuas (impulsivas)
• dimensão m?v e
• causam descontinuidades na velocidade do CR.
• Forças de contato
• são contínuas em algum intervalo não-nulo
• dimensão m?a e
• não causam descontinuidades na velocidade do CR.

11

• Simulador interage na solução de um par de EDO
  acopladas, via uso do método numérico de
  Runge-Kutta de 4º Ordem ou Adams-Moulton
• Ao integrador é passado todas condições iniciais
  dos corpos
• Métodos Analíticos introduzem descontinuidades
  nas velocidades dos corpos quando há colisão. Não
  teremos boa solução se integrarmos sobre estes
  intervalos...
• Solução
• Devemos descobrir o tempo no qual uma colisão
  ocorrerá!!!
• Foi utilizado o método descrito por Moore e
  Wilhelms.

12

• Resolvendo uma Colisão
• uma vez determinado o tempo da colisão, o
  integrador é parado
• faz-se o cálculo das novas forças
• calcula-se as novas velocidades dos corpos em
  colisão (novas condições iniciais) e
• reinicializa-se o integrador.

13
Modelando Contatos

• Contatocolidindo ou em repouso
• Dois corpos A e B se tocam em um número finito de
  contatos (pontos de contato)
• pa(to)posição de um ponto de contato de um CR A
  no instante t0
• Sejam dois pontos a e b dos CR A e B que
  estão em contato
• pa (t0)ppb (t0)

14

• Características pa(to) e pb(to)
• Variáveis no tempo
• Variam de acordo com os movimentos
  independentemente dos CR A e B respectivamente e
• indica
• colisão
• repouso ou
• separando-se,

15

• Associado a cada ponto de contato
• Força (possivelmente nula) e
• Um vetor unitário normal a superfície .
• Contatos tipo Vértice-Plano
• Corpo A vértice e
• Corpo B plano com normal em pb.
• Contatos tipo Aresta-Aresta
• Um corpo é definido como Corpo A arbitrariamente.
• N é mutuamente perpendicular as arestas em
  contato e direcionado se afastando de B.
• Obs. na ausência de atrito é colinear com
  .

16
(No Transcript)
17

• Pontos de Contato Degenerados
• Obs usualmente estes casos existem apenas
  instantaneamente, e a escolha para n tem pouco
  efeito na simulação.

18
Pontos de Contato Degenerados

• Cálculo da intensidade nestes casos é um
  problema NP-completo (teorema de Palmer)
• Solução extensão de um plano local em B, e dá-se
  o tratamento de contatos tipo Vértice-Plano.
• Restrição dos Pontos de Contato
• Pontos extremos
• Vértices do segmento de reta e
• Polígono de contato das regiões.

19
Restrição Pontos de Contato

• n número de pontos de contato
• vetor normal a superfície do iésimo ponto de
  contato
• intensidade da força do iésimo ponto de
  contato

20
Calculando dinamicamente forças de contato
corretamente

• Um vetor é uma força de contato de magnitude
  correta se
• não permite que os corpos interpenetrem-se
• a força de contato empurra mas não puxa
• forças de contato ocorrem apenas nos pontos de
  contato e
• visto como uma função do tempo, as forças de
  contato são contínuas.

21
Restrições p/ Não-Penetrações

• É suficiente examinar o movimento relativo dos
  corpos em cada ponto de contato
• Seja a função característica

22

• Quem seriam e ?
• Seja to o instante no qual há o choque entre os
  CR A e B.
• - ? A e B estão colidindo
  (nunca acontecerá)
• - ? A e B estão se separando
  (fi0)
• - ? se ?i (to) lt0, ?i está diminuindo
  em to e uma interpenetração é eminente, e
  portanto devemos ter

23

• Exemplo 1

24

• Exemplo 2

25
Matriz formulação das condições (1) e (2)

• 
  , para 1 i n
• (não há inter-penetração)
• fi 0, para 1 i n (forcas somente
  empurram)

26

• Podemos escrever a representação matricial,
  portanto, da seguinte forma

27
Programação Linear (PL)

• Encontrar um vetor que satisfaz Mx c (M é
  matriz e c é um vetor) que minimiza uma função
  linear z(x) é um exemplo de um problema típico de
  PL
• Se existem x que satisfazem todas as restrições
  dizemos que o sistema é realizável e cada x é uma
  solução realizável
• Se x é uma solução realizável que minimiza z, são
  ditos sistemas limitados e x uma solução ótima.
• PL é um problema polinomial no tempo
• Se, entretanto, é explorado o fato de A ser
  tipicamente uma matriz esparsa, a solução é O(n)

28
Formulação das condições (3) e (4)

• Uma f que atenda a e , não
  será necessariamente correta!!!
• Exemplo 1 fmgcos(?) é a única solução correta,
  porém f2mgcos(?) é solução realizável que
  previne a inter-penetração, porém acelera
  incorretamente, afastando o CR A de B.

29

• Sabemos que se para o i-ésimo ponto de contato,
  se
• então é estritamente crescente e os CR A e
  B estão se
• separando.
• Para atendermos (3) devemos ter

30

• Para 1 i n, nossas restrições passam a ser
  escritas como
• Ou

31

• O termo que envolve a forma é quadrático
  em fi
• Programação Quadrática, diferentemente de PL é um
  problema NP-difícil de um modo geral
• Modelando contatos sem atrito A é positivamente
  semidefinida (PSD), e programas quadráticos podem
  teoricamente ser resolvidos em tempo polinomial
  (não existe tal algoritmo...)
• Não há porque acreditar que com atrito A
  continuará sendo PSD...
• SOLUÇÃO desenvolvimento de um algoritmo
  heurístico para este problema...

32
Solução Heurística

• Uma determinada configuração de corpos tem
  apenas uma configuração de movimentos corretos.
• Seja V e C os conjuntos de pontos que estão
  deixando de existir e não estão deixando de
  existir, ou seja
• Vj ponto de contato que está sumindo
• Ck ponto de contato que não está sumindo

33

• Sabemos que para qualquer solução correta
  
• Podemos escrever

34

• Exemplo Seja um sistema quadrático com
  restrições em quatro pontos de contato, com
  V1,3 e C2,4

35
Como achar V ?
36

• 1) Solução mais simples VØ
• Não existem pontos de contato que estão deixando
  de existir, e f está sujeito às seguintes
  restrições
• Através de diversas simulações constatou-se que
  a solução VØ é correta para a grande maioria dos
  casos.

37

• 2) Predizendo um conjunto não-vazio de V
• Se for encontrado uma configuração com pontos de
  contatos que estão deixando de existir, a
  adivinhação de que VØ resultará em um sistema
  indeterminado.
• Solução encontrar uma solução aproximada fa que
  satisfaça às restrições
• Seja o vetor residual

38

• Se fa for uma solução correta, para todos pontos
  j,
• que estão deixando de existir,
  ,
• e para todos os outros pontos k,
  .
• 2.1) Encontrando fa Aproximadas
• A heurística utilizada para encontrar a solução
  aproximada é escolha fa que minimiza a seguinte
  função
• 
  ,
• sujeita às seguintes restrições

39

• 2.2) Tratando com Predições Incorretas
• -Tendo n pontos de contatos, deveríamos testar
  todas as 2n possibilidades ?
• - A implementação desenvolvida leva em
  consideração que pontos deixando de existir
  ocorrem com pouquíssima freqüência...
• - Energia é adicionada ao sistema, produzindo
  resultados incorretos...

40

• - ... porém o (d)efeito é mascarado pelo fato de
  que estas configurações são singulares, ou seja
  é aplicado apenas por um período pequeno no
  tempo.
• - Descobriu-se que, no pequeno intervalo de tempo
  na qual é aplicado, levando-se em conta que
  é usualmente uma boa aproximação da solução
  correta produziu resultados satisfatórios.

41
Restrições Adicionais

• Restrições Holonômicas (figuras articuladas)
  podem ser adicionadas de uma maneira consistente
• Barzel e Barr mantiveram restrições holonômicas
  pela introdução de forças de restrição que
  satisfaziam ao sistema linear
• Todo o sistema é resolvido conforme descrito
  anteriormente , à exceção do somatório mínimo das
  forças, o qual levará em consideração tão somente
  as restrições não holonômicas das forças.

42

• É consistente com a formulação proposta, uma vez
  que programação linear permite restrições com
  igualdades
• Não estão sujeitos as condições (2)
• Todo o sistema é resolvido conforme metodologia
  apresentada, à exceção do somatório mínimo de
  forças, o qual levará em questão apenas as forças
  de restrições não-holonômicas e
• Utilizado pacote de PL esparsa p/ resolver em
  O(n).

43
Exemplos
44
(No Transcript)
45
(No Transcript)
46
Conclusão

• A solução proposta para encontrar as forças de
  contato entre corpos poliédricos, foi baseada em
  uma heurística, cuja solução é encontrada via uso
  de técnicas de Programação Linear
• A solução proposta permite trabalhar com
  restrições holonômicas
• O grande esforço computacional do algoritmo é
  voltado na solução de um sistema linear de
  desigualdades e
• O algoritmo heurístico utilizado ocasionalmente
  falhará e uma solução aproximada é utilizada.
  Isto adiciona energia a simulação mas não resulta
  em nenhum efeito visual insatisfatório.