Scambi fra donatori di reni:

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Scambi fra donatori di reni

• modellizzazione e mechanism design

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Liste dattesa per un trapianto di reneal 31
dicembre 2005

• Iscritti 6362
• Tempo media dattesa 2,99 anni
• Percentuale mortalità 1,52

Trapianti di rene nel 2005

• 1662 interventi
• 75 da donatore vivente

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Liste dattesa rene fegato - cuore
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Idea alla base del lavoro

• Implementare scambi tra coppie donatore-paziente
  tra di loro non compatibili

Donatore2
Paziente1
Paziente2
Donatore1
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Semplificazioni al problema

• Scambi tra coppie
• Modello statunitense compatibilità 0-1

Modellizzazione del problema

• N 1,2,,n insieme di pazienti
• Di donatori per il paziente i
• A insieme dei matching
• R insieme dei preordini degli elementi di N
  sullinsieme A

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Matching in A
il paziente i non viene associato
i viene associato a j, se cè compatibilità avverr
à lo scambio
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• Consideriamo

• Le preferenze di i sono

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Consideriamo
Razionalità individuale
scambio tra i e j
il paziente i non riceve un rene

• Pareto-efficienti massimali

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Implementiamo la social choice rule
attraverso il meccanismo di priorità
Ordine di priorità permutazione dei pazienti in
modo che il k-esimo giocatore abbia la k-esima
priorità
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Meccanismo di priorità

• Consideriamo un ordine di priorità (1,2,,n) sui
  pazienti

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Definendo la game form attraverso il meccanismo
di priorità, una strategia dominante consiste nel

• dichiarare come accettabile lintero insieme di
  giocatori
• dichiarare interamente il proprio insieme di
  donatori

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Decomposizione di Gallai-Edmonds
Underdemanded patients
Overdemanded patients
Perfectly matched patients
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Esempio di gioco
3
2
12
13
4
1
14
Overdemanded
5
16
15
6
9
11
10
8
7
Underdemanded
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Meccanismo egualitario

• Lotteria distribuzione di probabilità
• sullinsieme dei matching

• Meccanismo stocastico procedura sistematica che
  seleziona una lotteria

• Matrice di allocazione riassume la probabilità
  che i sia associato con j

• Profilo di utilità

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• Chiamiamo D linsieme delle componenti dispari
  tra gli underdemanded patients, riordinate in
  ordine decrescente di priorità

• Consideriamo

Definiamo linsieme dei vicini di in I

• Per ogni definiamo

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Partizioniamo in e
in
nel seguente modo
Passo 1
Passo k
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Profilo di utilità egualitario
Costruiamo nel modo
seguente
Il profilo di utilità egualitario è fattibile.
Nel nostro esempio
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Esempio di gioco
3
2
12
13
4
1
14
Overdemanded
5
16
15
6
9
11
10
8
7
Underdemanded
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Dominanza secondo Lorenz

• Riordiniamo il vettore in ordine crescente

Diciamo che il profilo di utilità egualitario
domina secondo Lorenz ogni altro profilo di
utilità fattibile, cioè che
per ogni v profilo di utilità fattibile ordinato
in ordine crescente
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Curva di Lorenz
Per una popolazione di cardinalità n, alla quale
viene attribuita una sequenza di valori
in ordine crescente, la curva di Lorenz è la
poligonale che congiunge
dove
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Per il nostro esempio
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Indice di Gini
Coefficiente di Gini
Nel nostro esempio
Lindice di Gini per il nostro problema è quindi
dell 8,85