Rappresentazioni numeriche

1
Rappresentazioni numeriche

2
Introduzione

• Un calcolatore elettronico dispone di uno spazio
  finito per memorizzare le cifre che esprimono un
  valore numerico
• Esempio disponiamo di p3 cifre decimali
• Linsieme S di valori rappresentabili è
  S0,..,999
• Quali sono le differenze fra S e linsieme dei
  numeri interi?
• In generale si perdono le proprietà di chiusura
  delle operazioni
• Ad esempio se a,b sono interi ? ab è un intero

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Perdite di proprietà

• Esempio p3 cifre decimali, valori
  rappresentabili S0,..,999
• di chiusura dovuta ad overflow (risultato
  maggiore del valore massimo rappresentabile)
• 600 600 1200 (1200 ? S)
• 50 x 50 2500 (? S)
• di chiusura dovuta ad underflow (risultato minore
  del valore minimo rappresentabile)
• 3-5 -2 (? S)
• Perdita proprietà associativa
• a(b-c) ? (ab)-c
• 700 (400-300) ? (700400)-300 700400?
  Overflow!
• Perdita proprietà distributiva
• a x (b-c) ? a x b a x c

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Sistema di Numerazione Posizionale

• E definito da una coppia (A,B) dove Bgt1 è un
  intero, detto base del sistema, ed A un insieme
  di simboli distinti, le cifre, con AB, esempi
• sistema decimale, B10, A0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
• sistema binario, B2, A0,1
• sistema ottale, B8, A0,1,2,3,4,5,6,7
• sistema esadecimale, B16,
  A0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
• Ogni cifra rappresenta un numero distinto
  compreso fra 0 e B-1
• Es B16
• 1? uno, 2?due,.., A ?10

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Numeri e numerali
Entità astratta
Numero
Numerale
Numerale
Trasformazione fra Rappresentazioni
Esempio numerali dodici, 12, XII,
Analogia gatto e cat denotano la stessa entità
in due lingue differenti
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Sistema Numerazione Posizionale

• Un valore numerico è rappresento da una sequenza
  di cifre (rappresentazione o allineamento)
  appartenenti ad A
• dk-1..d2d1d0.d-1d-2d-p
• Lindice associato alla cifra denota la posizione
  della cifra che esprime il peso della cifra
• Valore di di V(di) di x Bi
• PARTE-INTERA . PARTE-FRAZIONARIA

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Esempio sistema decimale (base 10)

• 10 cifre, A0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
• Esempio 743.234
• d27, d14, d03, d-12, d-23, d-34
• V(734) 7 x 102 3 x 10 4
• V(0.234) 2 x 10-1 3 x 10-2 4 x 10-3

102
10-3
103
101
100
10-1
10-2

1000 100 10 1 0.1 0.01 0.001
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Notazione

• Per evidenziare la base B del sistema di
  numerazione si usa la seguente notazione
• (X)B (X in base B)
• Negli esempi seguenti, se omessa vale 10
• La cifra più a sinistra è detta cifra più
  significativa, quella a destra cifra meno
  significativa
• Se B2 si usano gli acronimi MSB (Most
  Significant Bit) ed LSB (Least Significant Bit)

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Sistema Binario (base 2)

• Utilizzato dai circuiti elettronici dei
  calcolatori,
• 2 cifre (bit) d ? A 0,1
• V(N) dk-1 x 2k-1 dk-2 x 2k-2 ..... d1 x 21
  d0 x 20 d-1 x 2-1 ...... d-p x 2-p
• (1010.101)2 1 x 23 1 x 21 1 x 2-1 1 x 2-3
  (10.625)10

22
2-3
23
21
20
2-1
2-2

8 4 2 1 0.5 0.25 0.125
10
Potenze di 2 ricorrenti

• 224
• 238
• 2416
• 2532
• 2664
• 27128
• 28256
• 29512
• 2101024 (K) KKilo
• 220 1024K (M) MMega
• 230 1024M (G) GGiga
• 240 1024G (T) Tera
• 250 1024T (P) Peta

• 21665536 64 K
• 232 4 G

osservazione 1 Kb gt 103bit, tuttavia le bande
dei bus-link di comunicazione vengono misurate in
bits/sec in base decimale p.e. 1 Kb/s 1000
b/s ciò proviene dalla tradizione del mondo
della trasmissione analogica
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Conversione da una base ad unaltra

• Problema dato un valore rappresentato
  dallallineamento N in base B1 trovare la
  rappresentazione N in base B2
• (N)B1 ? (N)B2
• Nel seguito, se chiaro dal contesto, N denota sia
  il valore che lallineamento di cifre
• Bisogna convertire separatamente le parti intera
  (NI) e frazionaria (NF)
• (N)B1(NI.NF)B1
• (NI)B1 ? (NI)B2
• (NF)B1 ? (NF)B2

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Conversione

• I metodi dipendono dalla scelta di usare la base
  di partenza (B1) o quella di arrivo (B2)
• Casi notevoli
• B1?10 e B210
• B110 , B2?10
• Poiché si ha familiarità con la base B10 quando
  le due basi sono diverse da 10 conviene (più
  intuitivo) fare due trasformazioni successive
• da B1 a base 10
• da base 10 a B2

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Conversione da B (2, 8, 5) a Decimale

• Già visto
• (1010.101)2 1 x 23 1 x 21 1 x 2-1 1 x 2-3
  (10.625)10
• (721)8 ? 7 x 82 2 x 81 1 x 80 7x64 16
  1
  448 17(465)10
• (134) 5 ? 1 x 52 3 x 51 4 x 50 25 15 4
  
  
  (44)10

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Conversione da base 10 a B (NIgt0, intero)

• Sia (NI)10 il valore in decimale dellintero che
  vogliamo convertire in altra base, tale valore è
  pari a
• (NI)10 dk-1Bk-1 .. d1B d0
• Dobbiamo trovare i valori di
• dk-1Bk-1 .. d1B d0 B(dk-1Bk-2 .. d1)
  d0
• quindi dividendo per B abbiamo che
• d0 è il resto e dk-1Bk-2 .. d1 è
  il quoziente
• cioè
• d0NI mod B, e dk-1Bk-2 .. d1 NI / B
• Le altre cifre si identificano in modo analogo
• p. e. d1 (NI / B ) mod B

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Algoritmo di conversione da base 10 a B (N intero)
Esempio (25)10 (??)2
N intero da convertire, B base di arrivo
i?0 while Nltgt0 do 1. di? N mod B 2.
N?N/B 3. i?i1 endwhile
N N / 2 N mod 2 Cifra
25 12 1 d01 d10
12 6 0 d20
6 3 0 d31
3 1 1 d41
1 0 1
(25)10 (11001)2
16
Esempio
(30)10 (??)16
N N/2 N mod 2 Cifra
30 15 0 d00
15 7 1 d11
7 3 1 d21
3 1 1 d31
1 0 1 d41
N N / 16 N mod 16 Cifra
30 1 14 d0E
1 0 1 d11
(30)10 (1E)16
(30)10 (11110)2
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Conversione da base 10 a BParte frazionaria

• Sia (NF)10 il valore in decimale della parte
  frazionaria che vogliamo convertire in altra
  base, tale valore è pari a
• (NF)10 d-1B-1 d-2B-2. d-mB-m ..
• Moltiplicando per B
• (NF)10 B d-1B0 d-2B-1 .. d-mB-m1
  
• Quindi d-1 parte intera di NFB ( trunc(NFB) )
• N NFB - d-1 (d-2B-1 .. d-mB-m1 .. ..)
• Le altre cifre si isolano in modo analogo
• d-2 parte intera di NB
• Finché precisione voluta oppure N0

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Algoritmo di conversione da base 10 a B (0ltNlt1)
Nlt1 valore frazionario da convertire, B base di
arrivo, m cifre (precisione) i?1 while Nltgt0
and i?m do 1. d-i ? trunc (NB) 2. N?NB - d-i
3. I?i1 endwhile
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Esempio (12.25)10 ? (..)2

• 12/2 6 resto 0 ? d00
• 6/2 3 resto 0 ? d10
• 3/2 1 resto 1 ? d21
• 1/2 0 resto 1 ? d31
• 0.25 x 2 0.50, parte intera 0 ? d-10
• 0.50 x 2 1.0, parte intera 1 ? d-21

(12.25)10 ? (1100.01)2
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Esempio numeri periodici
N 2N Trunc(2N) Cifra
0.2 0.4 0 d-10
0.4 0.8 0 d-2 0
0.8 1.6 1 d-3 1
0.6 1.2 1 d-4 1
0.2
Esempio (0. 2)10 (??)2
(0.2)10 (0.0011)2
Se un numero è periodico in base 10 allora lo è
anche in base 2 Laffermazione opposta non è vera
21
Altre basi notevoliBasi 8 e 16

• Esempio
• (721)8 ? 7 x 82 2 x 81 1 x 80 7x64 16
  1 448 17(465)10
• (0.1)8 ? 1/8 (0.125)10
• Esempio
• (721)16 ? 7 x 162 2 x 161 1 x 160 7x 256
  32 1 1792 33 (1825)10
• (0.1)16 ? 1/16 (0.0625)10
• Nota nel caso rappresentazioni esadecimali è
  prassi anteporre 0x, oppure il suffisso H
• Ex 0x721, 721H

22
Relazione fra le basi 2/8/16
Da base 16(2) a 2(16)
(E54)16
(1110 0101 0100)2
Da base 8(2) a 2(8)
(621)8
(110 010 001)2
(E54)16
(1110 0101 0100)2
(111 001 010 100)2
(7124)8
Da base 16(8) a 8(16)
23
Riepilogo
divisioni successive (N intero )
prodotti successivi (Nlt1)
B?10
10
sviluppo del polinomio
2
8
16
24
Rappresentazione valori interi negativi

• Esistono diversi metodi
• Modulo e segno
• Complemento a uno (obsoleto)
• Complemento a due
• Eccesso 2m-1

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Modulo e segno

• E il più immediato da comprendere
• si dedica un bit al segno ed i rimanenti al
  modulo
• di regola 1 denota il segno -
• Esempio
• -15 ? 15 (1111)2 ? -15 (11111)2
• 15 ? (01111)2
• Con k bit lintervallo di dei valori
  rappresentabili è S-2k-1-1,..,2k-1-1
• Doppia rappresentazione di 0

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Complemento a 2

• Fissato un numero kgt1 di cifre binarie, il
  complemento a 2 su k bit di un intero N, N ?
  S-2K-1 ,..2K-1 1 , è

• Una definizione alternativa è C(k,N) (N 2k)
  mod 2k

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Proprietà

• Perché usare la rappresentazione in complemento?
• Semplifica le operazioni aritmetiche
• La differenza X Y può essere calcolata mediante
  la somma dei complementi
• C(x-y)C(x)C(-y)
• In generale la somma algebrica diventa somma
  aritmetica
• Semplificazione dei circuiti elettronici che
  eseguono le operazioni (solo addizioni)

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Calcolo del complemento

• Rappresentare il valore assoluto di N in base
• Invertire tutti i bit ed aggiungere 1
• Esempio rappresentare N25 in complemento su
  k8 bit. -25 25 1681
• 00011001 (25)
• 11100110 (Inverto i bit)
• 1 (sommo 1)
• 11100111 (231)
• Secondo metodo
• Rappresentare il valore assoluto di N in base 2
• Partendo da destra, lasciare invariati tutti i
  bit fino al primo bit 1, poi invertire gli altri

29
Valore espresso in base 2

• Il valore della stringa di bit S(bk-1..b2b1b0),
  supposto che essa esprima un numero in
  complemento a 2 su k bit, è
• V(S)-bk-12k-1 S bi2i
• Pertanto
• bK-1 0 ? numero positivo
• bK-1 1 ? numero negativo
• Attenzione, MSB non è un bit di segno!
• Per ottenere il corrispondente valore di segno
  opposto non e sufficiente invertire solo MSB

30
Altri esempi
Esempio k 4 bit -23 22 21 20?Peso -8 4 2 1
0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1
1 1 1 1 1 0 0 0

• 41 5
• -841 -3
• 1 più piccolo positivo
• 421 7 più grande positivo
• -8421-1 più piccolo negativo
• -8 più grande negativo

31
Altri esempi

• k8 bit, pesilt-128,64,32,16,8,4,2,1gt
• 11110000, rappresenta 128643216 -16
• 10000000, rappresenta 128
• 11111111, rappresenta -1286432168421-1
• 00000000, rappresenta 0

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Differenza di numeri in complemento

• La differenza X Y può essere calcolata mediante
  la somma dei complementi
• C(x-y)C(x)C(-y)
• Esempio X-Y X21 e Y23, con k2 cifre
  decimali
• C(21)21, C(-23)100-2377
• 2177 98 C(-2)
• Ciò vale in generale
• Se YgtX, ossia (X-Ylt0), allora C(X-Y)(def) Bk -
  X-Y Bk -(-(X-Y)) Bk -YX, ma per
  definizione ciò è uguale a C(X)C(-Y)
• Il caso Y?X verrà trattato fra breve
• Nota In questo caso non può mai verificarsi
  overflow

33
Differenza di numeri in complemento

• Eseguiamo ora la differenza fra X23, Y21, con
  k2 cifre decimali
• C(23)23, C(-21)100-2179
• 2379 102 C(2) 100
• Ciò vale in generale
• Se X?Y, ossia (X-Y?0), allora C(X-Y)(def) X-Y
• daltra parte C(X)C(-Y) XBk Y ? Bk
• Pertanto C(X-Y)C(X)C(-Y).. a meno di un fattore
  Bk

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Esempio

• Fissiamo Base B10, k2 ? 102 100
• X23, Y21
• -X-Y ?
• Algoritmo
• Calcolo complemento di X, XC(-23)100-2377
• Calcolo complemento di Y, YC(-21)100-2179
• Eseguo la somma, XY156
• Sottraggo 100 se la somma è gt 100 156-100 56
• Il risultato è il complemento di -X-Y, 56
  C(-44)

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Rappresentazione eccesso 2m-1

• Il valore N viene rappresentato da N2m-1
• Si tratta di una traslazione dellintervallo di
  rappresentabilità verso destra.
• Range di valori -2m-1...2m-11
• Esempio di codifica eccesso 4 dei valori - 4, 3
  
• 0 1 2 3 4 5 6 7
  (eccesso 4)
• -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
  (valore)

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Rappresentazione eccesso 2m-1 (cont.)

• Per passare dalla rappresentazione eccesso 2m-1
  al complemento a 2 su m bit si deve invertire il
  bit MSB
• Esempio precedente
• -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
• rapp. eccesso 4
• 0 0 0 0 1 1 1 1
  (MSB)
• 0 0 1 1 0 0 1 1
• 0 1 0 1 0 1 0 1
• rapp. compl. a 2
• 1 1 1 1 0 0 0 0
  (MSB)
• 0 0 1 1 0 0 1 1
• 0 1 0 1 0 1 0 1

37
Operazioni aritmetiche

• Somma
• Sottrazione
• Prodotto
• Divisione

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Somma binaria

• BASE B2
• 000
• 011
• 101
• 1110 (2)10
• 11111 (3)10

0
0
0
1
1
1
1 1 1 0 0 0 (56)10 0 1 1 1
0 1 (29)10 ----------------------
(85)10
1
0
1
0
1
0
1
La somma di due numeri a k bit e rappresentabile
al piu con k1 bit Se abbiamo a disposizione k
bit ed il risultato richiede k1 bit si ha
overflow
39
Regole per la somma
Somma di due bit A e B
Cout Cin A B
------------ Si
40
Somma algebrica in complemento

• Esprimere gli operandi in complemento alla base
• La rappresentazione in complemento differisce
  solo per i valori negativi
• Eseguire la somma
• Trascurare leventuale riporto
• Se non si è verificato overflow, allora la somma
  rappresenta il risultato espresso in complemento
• Si verifica overflow quando gli operandi hanno lo
  stesso segno ed il risultato ha segno opposto

41
Overflow, esempio

• Eseguire su k4 bit la differenza 3-6
• -3 ? 21 ?
• 0011 ?
• 1101
• -6 ? 42 ?
• 0110 ?
• 1010

42
Rilevazione overflow

• Si e verificato OVERFLOW se
• i due operandi hanno lo stesso segno
• Il risultato ha il segno diverso dagli operandi
• ma.

0100 5 0101 6
0110 ------- gt ----------- 11
01011 gt -5
1000 -3 1101 -6
1010 ------- gt ----------- -9
10111 gt 7
il verificarsi delloverflow implica la
disuguaglianza del riporto in ingresso e quello
in uscita dalla posizione MSB (CinltgtCout) Lover
flow si può rilevare testando la condizione
CinltgtCout di MSB
43
Estensione del segno

• Problema
• Sia dato un intero N, rappresentato in
  complemento mediante k bit
• Rappresentare N usando kq bit (qgt0)
• Soluzione
• Fare q copie di MSB
• Dimostrazione (banale per N positivo)
• Sia Nlt0 (N1bbb , dove b è una cifra binaria)
• Per induzione Sia Nq la stringa con estensione
  di q bit
• q1 Poiché 2K12K 2K1, allora V(N)V(N1).
• qgt1 estendere di un bit la stringa ottenuta da N
  con estensione di q-1 bit ? V(Nq)V(Nq-1)
• Esempio
• -2 (110)2 con 3 bit diventa (111110)2 su 6 bit

44
Moltiplicazione numeri senza segno

• 0 x 0 0
• 0 x 1 0
• 1 x 0 0
• 1 x 1 1

45
Esempio (operandi senza segno)
1 0 0 1 0 (18) 1 0 1
0 (10) ---------------------
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
---------------------- 1 0 1 1 0 1 0 0
gt 27 25 24 22 128 32 16 4 180
46
Prodotto e divisione per 2k

• Il prodotto di N per 2k si ottiene postando di k
  posizioni le cifre a sinistra ed inserendo k bit
  pari a zero
• La divisione di N per 2k si ottiene postando di k
  posizioni le cifre a destra ed inserendo k bit
  pari al valore di MSB (shift aritmetico)
• Esempio -128/8 -16 (823)
• 1000 0000 ? (3 posizioni a destra)
• 1111 0000 (-16)10
• Esercizio verificare tale regola

47
Prodotto e divisione per 2k

• Se N è un numero senza segno, allora il prodotto
  (divisione) per 2k si ottiene spostando (shift)
  le cifre a sinistra (destra) di k posizioni ed
  introducendo 0 nelle posizioni lasciate libere
• Esempio 15 x 4 60 (422,shift 2 posizioni)
• 0000 1111 ?
• 0011 1100
• Esempio 128 / 2 64 (221, shift 1 posizione)
• 1000 0000 ?
• 0100 0000
• Attenzione nel caso di rappresentazioni con
  segno questa regola non vale..

48
Prodotto e divisione per 2k

• N2ndn 2n-1dn-1 d0
• N2N 2n1dn 2ndn-1 2d00
• N2n1dn1 2ndn 2d1 d0
• didi-1(igt0) e d00

49
Esercizi di riepilogo

• Eseguire le seguenti conversioni
• (-16)10 (??)2 complemento a 2, minimo numero
  di cifre
• (-16)10 (??) 2 complemento a 2, k10 cifre
  binarie
• (-126)10 (??) 2 complemento a 2, minimo numero
  di cifre
• (27)10 (??)2
• (1/3)10 (??)3
• (128)10 (??)16 (??)8 (??)2
• (11.111)2 (??)10

50
Esercizi di riepilogo

• Esprimere in base 10 il numero periodico (0,10)2
• Eseguire le operazioni
• 16 - 23, in complemento (k7 bit)
• 16 23 in complemento (k7 bit, k6 bit)
• -16 - 23 in complemento (k7 bit e k6 bit)
• 11101 x 11
• 10101011 / 10